ما هي جائزة أبيل؟

لم يكن الكيميائي السويدي الشهير «ألفريد نوبل-Alfred Nobel» مهتمًا بالرياضيات. ولم تكن بالنسبة له مجالًا عمليًّا ويمكن للبشر الاستفادة منه وذلك على عكس القصة الشائعة التي تقول أنه بسبب حبيبته التي تزوجت من رياضي؛ قرر نوبل أن ينتقم ويحرم علماء الرياضيات من جائزته، أو في رواية أخرى، زوجته التي خانته مع رياضيّ. على الرغم من تأكيد الأدلة أنه لم يتزوج قط! إضافةً إلى ما يؤكد زيف القصة هو وجود جائزة اسكندنافية لعلماء الرياضيات في هذا الوقت. فحينها لم تكن هناك حاجة إلى المنافسة مع جائزة أخرى؛ فكان هدف نوبل الرئيس المساهمة بجوائزه للعلوم العملية المتعلقة بالروح البشرية. لكن هنالك جائزة شهيرة تعادل جائزة نوبل -لكن في الرياضيات-، ذائعة الصيت ومستمرة إلى وقتنا هذا. ألا وهي «جائزة أبيل-Abel Prize» لعلماء الرياضيات البارزين.

ما هي جائزة أبيل؟

أُسست جائزة أبيل من قِبل الحكومة النرويجية في عام 2002. تكريمًا لعالم الرياضيات النرويجي «نيلز هنريك أبيل-Niels Henrik Abel» وتدار الجائزة بواسطة الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب. كان من أوائل الداعمين لتأسيس جائزة أبيل هو عالم الرياضيات النرويجي «سوفوس لي-Sophus Lie»، الذي بذل جهودًا في دعم تأسيس صندوق أبيل. وكان من رأيه منح جائزة أبيل كل خمس سنوات لعمل متميز في الرياضيات البحتة وذلك نظرًا لخروج مجال الرياضيات من خطط ألفريد نوبل منذ عام 1897م.

على الرغم من وجود دعم من المراكز الأوروبية الرائدة في الرياضيات ولكن كانت كل تلك الوعود مرتبطة بـ سوفوس لي. فبعد موته؛ ماتت تلك الوعود معه. لكن وضعا عالما الرياضيات «كارل ستورمر-Carl Størmer» و«لودفيج سيلو-Ludwig Sylow» قوانين وقواعد لهذه الجائزة بالتعاون مع الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب. لكن لماذا هذا السعي؟ لقد استغرق وجود جائزة باسم عالم الرياضيات أبيل أكثر من 100 عام. فمن هو نيلز هنريك أبيل؟

من هو نيلز هنريك أبيل؟

ولد نيلز هنريك أبيل في 5 أغسطس 1802م وكان الابن الثاني وكان يعيش مع عائلته في مزرعة في روغالاند جنوب غرب النرويج. انتقل نيلز هنريك في الثالثة عشر من عمره إلى المدرسة الكاتدرائية في «كريستيانيا-Christiania» في خريف عام 1815. ففي القرن التاسع عشر، كانت هناك بعض الإصلاحات التي تخص التعليم من حيث إدراج اللغات والعلوم الحديثة في المناهج الدراسية، ومدرس المادة بدل من مدرس الفصل، والتعامل بإنسانية أكثر مع الطلاب والاهتمام بالأنشطة التعليمية كأولوية. أما في حال وجود عقوبة جسدية؛ فكان ذلك لتعزيز أخلاقيات الطلاب وغيرها الكثير من الاصلاحات.

في تلك الفترة، اشتهر مدرس الرياضيات «هانز بيتر بدر-Hans Peter Bader» بتلك المدرسة بفصوله التي يدرس لها بالطرق التقليدية. وفي نوفمبر 1817، ضرب هذا المعلم تلميذًا بشدة لدرجة أن التلميذ ظل طريح الفراش ومات بعد ثمانية أيام. حينها رفض الطلاب الحضور لهذا المدرس واضطر المدير في البحث سريعًا على مدرس آخر.

فجاء مدرس جديد يدعى «بيرنت مايكل هولمبو-Bernt Michael Holmboe». كان هولمبو متبنيًا لأفكار تربوية جديدة وبدأ في إعطاء تلاميذه مشاريع منفردة وسرعان ما اكتشف قدرات أبيل الاستثنائية وأعطاه دروسًا خصوصية. وقد أذهلت قدرات وحماس أبيل لمشاكل البحث الرياضي معلمه بالفعل.

عبء الأسرة الواقع على أبيل

توفى والد نيلز هنريك أبيل في 1820، ووقع أخيه في الاكتئاب ولم يتعافي نهائيًّا منه. واضطر نيلز لتحمل مسؤوليات عائلته وهو طالب والتي كانت حملًا ثقيلًا. لكن هولمبو ساعده كثيرًا.

وبما أن أبيل تعلم على يد معلمه الكلاسيكيات في الأدب الرياضي واقترح عليه بعض المشاكل الرياضية لحلها ودرس أعمال كل من نيوتن وأويلر ومعاصريه مثل جاوس ولاجرانج، ولم تكن تقدم الجامعة أي درجة علمية في العلوم الطبيعة سوى في علم اللاهوت والطب والقانون. إضافةً إلى أن هولمبو جمع لأبيل الأموال التي مكنته من دخول جامعة أوسلو (كريستيانيا) في 1921. فأكمل أبيل الأربع سنوات في الجامعة واستمر في دراسته على نحو مستقل مع مزيد من المساعدة من هولمبو لاحقًا.

في ربيع 1823م، ظهر بمقالة في أول مجلة علمية في البلاد وهي مجلة (Magazin for Naturvidenskaberne)، وكذلك عملان صغيران آخران نُشرا لأبيل. في نفس العام أتيحت له فرصة السفر إلى كوبنهاغن؛ لزيارة علماء الرياضيات هناك. فشارك أبيل في الحياة الطلابية وعمل قليلًا على نظرية فيرما وبدأ في دراسة الدوال الإهليلجية، إذ عاش مع خالته وزوجها. التقى في حفلة هناك بـ «كريستين كيمب-Christine Kemp» البالغة من العمر 19 والتي جاءت إلى النرويج في العام التالي وخطبها.

في عام 1824، زادت الجهود المبذولة لتزويد أبيل بالتمويل العام إلى أن حصل على منحة حكومية لمدة عامين. إلى جانب الوعد برحلة إلى الخارج لمدة عامين آخرين. في ربيع نفس العام، دفع أبيل من جيبه الخاص لطباعة عمله على معادلات الدرجة الخامسة وكتب هذه الورقة بالفرنسية وضغط الدليل في ست صفحات قصيرة.

نقلة محورية

كتب أبيل رسالة شخصية للملك كارل يوهان ملك السويد واستطاع تقديم تاريخ رحلته إلى الخارج. في سبتمبر 1825، غادر كريستيانيا وشروط المنحة كانت الانتقال من كوبنهاغن؛ لمقابلة عالم الرياضيات جاوس، من ثم باريس. لكن بعد وصول أبيل الى كوبنهاغن، غير مساره إلى برلين.

في برلين، قابل أبيل المهندس المهتم بالرياضيات «ليوبولد كريل-Leopold Crelle» والذي وجد هدفه الذي يسعى إليه في أبيل وهو نشر مجلة رياضية في برلين تنافس مجلات عريقة في فرنسا. فبحلول عام 1826، نُشر العدد الأول وكانت تلك المجلة التي سينشر فيها أبيل معظم أعماله التي تمكن من كتابتها واكتسبت بفضل أبيل شهرة سريعة كواحدة من المجلات الرائدة في أوروبا ومستمرة حتى يومنا هذا ومتمتعة بشهرة دولية، وقضى أبيل أربعة شهور ملهمة في برلين مع كريل وعلماء رياضيات آخرون. فكان تغيير مسار الرحلة بمثابة نقلة محورية في حياة أبيل.

كان العمل الأول الذي نشره أبيل في مجلة Crelle هو نسخة موسعة من الدليل على أن معادلات الدرجة الخامسة العامة لم تكن قابلة للحل عن طريق استخراج الجذور. قطع أبيل شوطًا طويلاً نحو إيجاد حلول مقبولة لهذه المعادلات. لم تكن تلك أعمال أبيل الوحيدة في العام الأول له بالمجلة بل حوالي سبع أعمال أخرى. رافق أبيل في رحلاته علماء نرويجيون شباب، كان معظمهم يدرسون علم المعادن والجيولوجيا. بالنسبة لهؤلاء العلماء.

لم يصل إلى باريس حتى يوليو 1826، إذ على الرغم من أن أبيل قد بدأ الآن في النشر في Crelle’s Journal في برلين؛ لكنه احتفظ ببعض الأعمال التي كان يعتقد أنها رؤى جديدة لأكاديمية باريس. قدم أبيل أطروحته في باريس الخاصة بالدوال الإهليلجية إلى الأكاديمية العلمية في نهاية أكتوبر 1826.

مرض أبيل

استمر في العيش في باريس لبقية العام وفي أثناء انتظاره للإجابة، أكمل عملين آخرين. ومع ذلك، وُضعت أطروحة أبيل في باريس جانبًا ونُسيت. اتضح له أن إقامته في باريس كانت مخيبة للآمال؛ حزن للغاية وكان مصابًا بالحمى والسعال. كان هنالك طالب طب في دائرة العلماء الذين يتردد عليهم أبيل من حين لآخر. اعتقد أن أبيل كان يعاني من مرض السل.

غادر أبيل باريس في نهاية عام 1826 فقيرًا ومرهقًا، وعاد إلى أصدقائه في برلين. عُرض عليه منصب محرر مجلة Crelle؛ لكنه رفضها. كان يشعر بالحنين إلى الوطن وأراد أن يضع قدرته العلمية في خدمة وطنه. واصل كريل بدوره جهوده للحصول على وظيفة آمنة لأبل في برلين.

العودة إلى النرويج

عاد أبيل إلى النرويج في نهاية مايو 1827، قيّمت رحلته بالفشل؛ لم ينشر أي شيء في باريس، ولم يزر جاوس. على الرغم من أعماله التي نشرت في مجلة Crelle. لكن ما هي المكانة التي تتمتع بها هذه المجلة الجديدة في برلين؟ أصبح أبيل غير قادر على تجديد المنحة، فحصل على قرض خاص، لم يقدر على سداده. إضافة إلى إرادته أيضًا في سداد ديون أسرته. لكن مرة أخرى نال أبيل منحة.

كان أخر عام ونصف لأبيل مثمر بسلسلة من الرسائل العلمية التي قدمها إلى كريل في برلين. إذ عمل على المعادلات الجبرية والدوال الإهليلجية والمتسلسلات اللانهائية. وقد قدم مساهمات رائدة في جميع هذه المجالات والتي أرسلت معظمها إلى برلين. في صيف عام 1828، بعد سباق في النشر مع عالم الرياضيات الألماني كارل غوستاف جاكوبي. نشر أبيل أطروحة مهمة عن الدوال الإهليلجية في الملاحظات الفلكية.

تحسن الوضع المالي لأبيل في ربيع عام 1828، حيث عُيّن مؤقتًا كمحاضر، إضافة إلى عددًا من وظائف التدريس الأخرى. قرر أبيل قبول أي وظيفة قد تعرض عليه في برلين. في صيف عام 1828، كان هو وخطيبته يتطلعون إلى أن يتزوجو ويستقرو في برلين.

أطروحة باريس؛ تنشر بعد موته

تشخيص الطبيب الشاب كان صحيحًا، إذ ظل أبيل طريح الفراش ومرض لعدة أسابيع مع عمله المكثف في ذلك الوقت في خريف 1828. بعدها زاد المرض عليه وبدأ يسعل الدم لمدة اثنى عشر أسبوعًا وفي تلك الفترة كان يحاول قدر الإمكان حين تحسنه كتابة ورقة رياضية واحدة وكانت تلك الورقة التي حاول فيها مرة أخرى صياغة الأفكار الرئيسة لأطروحته الشاملة حين كان في باريس. استهلك المرض أبيل في عمر صغير وكان قلقًا على خطيبته؛ فطلب من أحد العلماء الشباب الاعتناء بها وبعد عام ونصف تزوجت من هذا الشاب. توفى أبيل في 6 أبريل 1829. وفي 8 إبريل؛ لم تضع أطروحة باريس وعُثر عليها. طلب العلماء في باريس نشر أعمال أبيل، وبالفعل في عام 1839، نشرت أعماله إلا أطروحة باريس التي نشرت لأول مرة في عام 1841. وذهبت جائزة الأكاديمية إلى والدة أبيل.

الاحتفال بالذكرى المئوية لأبيل

كانت هنالك ثلاث مهام للخطة الرئيسة لتكريم أبيل، وهي الاحتفال على نطاق واسع في العاصمة كريستيانيا مع احتفالات محلية. ثانيًا؛ إقامة نصب تذكاري لعبقرية أبيل، أما ثالثًا؛ الحديث عن إنشاء جائزة أبيل الدولية ونفذت بالفعل المهمة الأولى والثانية. أما الثالثة كما ذكرنا كانت بفضل جهود سوفوس لي في البداية، الذي كان متحمسًا ومؤيدًا لتأسيس جائزة أبيل.

نهاية؛ نظرًا لاسهاماته مثل نتيجته التي تعد أول دليل كامل يثبت استحالة حل المعادلات الخماسية العامة وكان ذلك سؤال مفتوح ولا يوجد حل له لأكثر من 250 عامًا. وكونه مبتكرًا في مجال الدوال الاهليلجية ومكتشف مجموعة أبيليان. أتى ملك السويد أوسكار الثاني الذي أيد وشارك في احتفال أبيل وانجذب إلى فكرة تأسيس جائزة. ففي خلال الاحتفالات في عام 1902؛ أعلن عن رغبته في منح ميدالية ذهبية كل خمس سنوات لأعمال الرياضيات تحت إشراف الجمعية العلمية لكريستيانيا (الآكاديمية النروجية للعلوم والآداب حاليًا).

الفائز بجائزة أبيل لعام 2022

حصل عالم وأستاذ الرياضيات في جامعتي ستوني بروك ومدينة نيويورك «دينيس بارنيل سوليفان-Dennis Parnell Sullivan» على جائزة أبيل لعام 2022؛ لمساهمته في الطوبولوجيا. وتحديدًا جوانبها الجبرية والهندسية والديناميكية، وتقدر الجائزة بـ 7.5 مليون كرونة نرويجية أي ما يعادل 860 ألف دولارًا أمريكيًا.

**دينيس سوليفان؛ الحائز على جائزة أبيل لعام 2022**

كرس سوليفان جزءًا كبيرًا من حياته المهنية لفهم المساحات الطوبولوجية والتي تسمى المتشعبات وقدم تصنيفًا كاملًا للمتشعبات من نوع معين في خمسة أبعاد أو أكثر. كذلك أهتم وأحرز تقدمًا في مشكلة تتعلق بطرق مختلفة لتقسيم الفتحات إلى قطع صغيرة مثلثة. وفي أثناء سعيه طور نظرية تسمى «الجراحة-Surgery» والتي تتضمن تغيير متشعب إلى آخر بواسطة قطع وإعادة تشكيل أجزاء منه. فيتمثل أهم إنجاز لسوليفان في طريقته الجديدة أيضًا لفهم نظرية التماثل -حقل فرعي من الطوبولوجيا– والتي تتنوع تطبيقاتها في الفيزياء والاقتصاد وعلم البيانات…

المصادر

Abel Prize

Stonybrook

حل لغز أويلر كميًا بعد 243 عامًا!

تبهرنا ميكانيكا الكم يومًا بعد يوم، فتحل لنا هذه المرة لغزًا منذ 243 عامًا! ففي عام 1779، طرح عالم الرياضيات السويسري الشهير ليونارد أويلر لغزًا يُسمى (36 ضابط لأويلر). ووضح أويلر بنفسه أنه من المستحيل حله ولكن بعد كل تلك الأعوام. استطاع باحثون حله ولكن ما هو هذا اللغز بالضبط؟ وكيف حُل لغز أويلر كميًا بعد 243 عامًا! هذا ما سنعرفه في السطور التالية من مقالنا.

ما لغز الـ 36 ضابط؟

احضر ورقة وقلم، وتخيل معي أنك تقود جيشًا من ستة أفواج وكل فوج يتضمن ستة ضباط من ست رتب مختلفة. فكيف يمكنك ترتيب الضباط في مربع 6×6 بحيث في كل صف وكل عمود في المربع ضابط واحد فقط من كل فوج ومن كل رتبة؟ بعد تجربتك في حل ذلك اللغز ستجد أنه من المستحيل أن لا تحصل عملية التكرار. على عكس لو جربت ذلك وأنت لديك خمسة أو سبعة أفواج من ضباط من خمس أو سبع رتب، فستجد أن ذلك له حل. ودعني أوضح لك عزيزي القارئ أن أويلر وهو صانع هذا اللغز، وضح أن ذلك الترتيب للستة ضباط مستحيل كما ذكرنا.

قد يذكرك لغز الـ 36 ضابطًا بالمربعات اللاتينية، والمربع اللاتيني هو مجموعة مربعة من الرموز (أرقام أو أحرف…) يظهر فيها كل رمز مرة واحدة فقط في كل صف وعمود أيضًا، وإذا دمجت مربعين لاتينيين من نفس الحجم برموز مختلفة. فسينتج عن ذلك مربع أويلر ويحتوي على أزواج من الرموز. بحيث يظهر كل رمز في الزوج مرة واحدة بالضبط في كل صف أو عمود. فقد تتذكر لعبة السودوكو والتي وجب أن لا تتكرر الرموز فيها. فهنالك العديد من الألغاز المماثلة التي شغلت الناس لأكثر من 2000 عام واستُخدمت هذه المربعات في الفن والتخطيط الحضري وللمتعة.

محاولات لحل اللغز، لكن دون جدوى

أدرك أويلر أن حل اللغز سيعطينا مربعًا لاتينيًا 6×6. فقد جاء الكثيرون بعد أويلر ولم يتمكنوا من حل ذلك اللغز. أيضًا، أثبت عالم الرياضيات الفرنسي «غاستون تاري-Gaston Tarry» أنه ليس هناك طريقة لترتيب 36 ضابطًا في مربع 6×6 دون تكرار. لكن في عام 1960، استخدم علماء الرياضيات الحواسيب؛ لإثبات وجود حلول لأي عدد من الأفواج والرتب الأكبر من اثنين وكان الرقم ستة مُستثنى وكان ذلك غريبًا بالنسبة لهم.

حل لغز ضباط أويلر بعد 243 عامًا!

مؤخرًا، نُشرت ورقة بحثية على الإنترنت وأُرسلت إلى Physical Review Letters. إذ أوضح فيها مجموعة من علماء فيزياء الكم من الهند وبولندا أنه من الممكن ترتيب 36 ضابطًا مع الإيفاء بمعايير أويلر ويمكن الحصول على مزيج كمي من الرتب والأفواج للضباط. فنتيجة ذلك سلسلة من التطويرات في الألغاز والمربعات اللاتينية وليست مجرد متعة ولعب. فعلينا أن نشير أن بداية العصر الجديد من اللغز الكمي عام 2016. حيث بدأ عندما كان لدى «جيمي فيكاري-Jamie Vicary» من جامعة كامبريدج وتلاميذه فكرة حول إمكانية أن تكون الإدخالات التي تظهر في المربعات اللاتينية كمية.

سحر ميكانيكا الكم

قد تبنى علماء الفيزياء النظرية والرياضيين المربعات اللاتينية الكمية. ففي عام 2021، ابتكر الفيزيائيان الفرنسيان «أيون نيتشيتا-Ion Nechita» و«جوردي بيلت-Jordi Pillet» نسخة كمية من سودوكو. فبدلًا من استخدام الأعداد الصحيحة من 0 لـ 9، تأتي لتحوي كل من الصفوف والأعمدة والمربعات الفرعية في السودوكو تسعة متجهات عمودية. ففي ميكانيكا الكم، يمكن للإلكترونات على سبيل المثال أن تكون في (تراكب) لحالات متعددة. فأيضًا مدخلات المربعات اللاتينية الكمية قد تكون في تلك الحالة (حالة التراكب). رياضيًا، تمثل الحالة الكمية بمتجه (له طول واتجاه) مثل السهم والتراكب هو ذلك السهم. فهكذا المدخلات في المربعات اللاتينية قد يكون للمدخل الواحد أكثر من قيمة.

ضباط أويلر كميين

في النسخة الكلاسيكية من اللغز، مطلوب إدخال ضابط من كل رتبة وفوج محددين جيدًا، وسنتصور أن الضباط الـ 36 على أنهم قطع شطرنج ملونة. فيمكن أن تكون رتبتهم ملكة أو ملكًا أو حصانًا (فارسًا) أو جنديًا (بيدقًا) أو قلعة (رخًا) أو غيرها من قطع الشطرنج المتنوعة وتمثل الأفواج الألوان كما بالصورة الأحمر أو البرتقالي أو الأصفر أو الأرجواني أو الأزرق أو الأخضر. فوجب ترتيب تلك القطع داخل مربع 6×6 ولا يحدث تكرار في أي صف أو عمود من فوج أو رتبة.

النسخة الكمية من لغز أويلر

لكن في النسخة الكمية، يتشكل الضباط من تراكبات الرتب والأفواج، كيف ذلك؟ يمكن أن يكون الضابط تراكبًا لملك أحمر وملكة برتقالية مثلًا، أي في الوقت ذاته، قد يكون الضابط شاغلًا لأكثر من رتبة أو فوج. كذلك يحمل الضباط مبدأ التشابك، أي إذا كان الملك الأحمر متشابكًا مع ملكة برتقالية، فحتى لو كان الملك والملكة في حالة تراكب لأفواج متعددة. فإن ملاحظة الملك الأحمر سيخبرك بأن الملكة برتقالية وبسبب غرابة طبيعة التشابك. يمكن أن يكون الضباط على طول كل خط عموديًا.

الآن بعد كل ذلك، كان على مؤلفي الورقة بناء مصفوفة 6×6 مليئة بضباط الكم بمساعدة الحاسوب، فتوصل الباحثون لحل شبه كلاسيكي أي ترتيب الـ 36 ضابطًا كلاسيكيًا مع تكرار عدد قليل من الرتب والأفواج في عمود أو صف. وطبقوا خوارزمية غيرت الترتيب نحو حل كمي وتعمل الخوارزمية مثل حل مكعب روبيك، إذ تصلح الصف الأول، ثم العمود الأول ومن ثم العمود الثاني وهكذا… وعندما كرروا الخوارزمية مرارًا وتكرارًا. في النهاية وصل الباحثون لنقطة يمكنهم فيها رؤية النمط وملء الإدخالات القليلة المتبقية يدويًا.

ما قد يثير الدهشة ونهايةً لمقالنا عزيزي القارئ، أن إحدى السمات المدهشة لهذا الحل وفقًا لأحد المؤلفين المشاركين وهو «سهيل رازر-Suhail Rather» وهو فيزيائي في المعهد الهندي للتكنولوجيا. أن المفاجأة هي المعاملات التي تظهر في مداخل المربع اللاتيني الكمي وكيف أن نسبة المعاملات التي استقرت عليها الخوارزمية كانت Φ أو 1.618 (النسبة الذهبية).

المصادر

مقدمة في نظرية التعقيد الحسابي

ماذا يتبادر إلى ذهنك عند سماع كلمة (التعقيد)؟ شيء صعب، مستحيل، غير مفهوم! فالتعقيد نظرية شهيرة، إذ إن «نظرية التعقيد-Complexity theory» هي نظرية مركزية في علوم الحاسوب، إذ تستخدم نماذج حسابية مثل آلات تورنج للمساعدة في اختبار التعقيد وتساعد علماء الحاسوب على ربط المشكلات وتجميعها وإذا كان من الممكن حل مشكلة ما؛ فإنها ستفتح الطريق لحل مشكلات أخرى معقدة أيضًا ويساعد التعقيد في تحديد مدى صعوبة المشكلة وسبق لنا في مقال سابق أن تحدثنا عن الأنظمة المعقدة على نحو مبسط. لكن هل سبق وسمعت عن نظرية تسمى «التعقيد الحسابي-Computational Complexity»؟ في هذا المقال ستتعرف عليها. لما لها من أهمية عظمى، لكن بدايةً لنبدأ بنبذة عن نشأة وعلماء تلك النظرية…

نبذة عن نشأة نظرية التعقيد الحسابي

وضعا كل من عالم الرياضيات وعالم الحاسوب «يوريس هارتمانيس-Juris Hartmanis» وعالم الحاسوب والرياضيات «ريتشارد ستيرنز Richard E. Stearns» الورقة البحثية الأساسية التي أرست أسس نظرية التعقيد الحسابي.

المحطات العلمية في حياة هارتمانيس

هاجر هارتمانيس إلى ألمانيا في نهاية الحرب العالمية الثانية، ودرس الفيزياء في جامعة فيليبش في ماربورغ قبل انتقاله للولايات المتحدة. نال درجة الماجستير في الرياضيات عام 1951 من جامعة كانساس سيتي ودكتوراه في الرياضيات 1955 من معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا. وبدأ بالتدريس في جامعة كورنيل وجامعة ولاية أوهايو قبل أن ينضم إلى مختبر بحوث جنرال إلكتريك 1958 ومن ثم عاد إلى كورنيل لرئاسة قسم الحاسوب الجديد وتقاعد منه كأستاذ في الهندسة عام 1982. وبعد تقاعده انضم إلى مجلس العلوم في معهد سانتا في وهي مجموعة بحثية مستقلة تأسست في 1984؛ لدعم التعاون في دراسة مبادئ التعقيد.

انتُخب هارتمانس لعدة أماكن علمية مرموقة مثل:

عضوية الجمعية الأمريكية للعلوم عام 1981.

الأكاديمية الوطنية الأمريكية للهندسة عام 1989.

الأكاديمية اللاتفية للعلوم عام 1990.

أخيرًا، الأكاديمية الأمريكية للعلوم والفنون عام 1992.

إضافة إلى فوزه بميدالية بولزانو الذهبية لأكاديمية العلوم بجمهورية التشيك عام 1995 والميدالية الكبرى لإكاديمية لاتفيا للعلوم 2001 وجائزة تورينج.

المحطات العلمية في حياة ريتشارد ستيرنز

نال ستيرنز درجة البكالوريوس في الرياضيات 1958 والدكتوراه 1961 من جامعة برينستون. عمل بعد ذلك في شركة جنرال إلكتريك في المدّة ما بين 1961 و1978. وشغل منصب أستاذ في جامعة ولاية نيويورك SUNY من 1978 لـ 2000.

بالتعاون مع هارتمانيس، نشرا كتاب «حول التعقيد الحسابي للخوارزميات» في مايو 1956 وقدم ستيرنز مساهمات في تحليل الخوارزميات و«نظرية الأوتوماتا-automata theory» ونظرية الألعاب. أيضًا كتب نظرية البنية الجبرية للآلات المتسلسلة عام 1966 بالتعاون مع هارتمانيس ونظرية Compiler design مع أساتذة علوم الحاسوب بجامعة نيويورك.

الحساب والمعلومات

لنفهم نظرية التعقيد الحسابي، دعونا نبدأ بمعرفة ماهية كلمة (الحساب)، ربما الحساب بالنسبة لأغلبنا 1+1=2. وهذا أول تفسير يتبادر إلى أذهاننا وهذا مثال وليس وصفًا أو تعريفًا لتلك الكلمة. ربما نوضح هذا المثال للأطفال عند سؤالهم. فالحساب هو عملية فيزيائية محدودة بوقت ولمجموعة معينة من الدوال المختلفة. يضخم هذا التعريف من العملية الفيزيائية، ونستخدم هذا التعريف إذ إن معظم الأشياء التي تحسب تكون عادة على هيئات مجموعات. فتمثل الحسابات أيضًا معالجة للمعلومات، لكن ما المعلومات؟ المعلومات هي التي تفسر حالة نظام معين (مجموعة ثابتة من الحالات مختلفة)، فأول وصف لكمية المعلومات قدمه عالم الرياضيات الأمريكي كلاود شانون.

خصائص النظم الحسابية

بعدما تعرفنا على كل من كلمتي المعلومات والحساب المرتبطين بنظرية التعقيد الحسابي، حان الآن أن تتعرف على خصائص النظم الحسابية ومن أهم تلك الخصائص الكثيرة هي:

القدرة المعلوماتية (أي كم الدوال في تلك النظم الحسابية ومقدار المعلومات التي يمكن تخزينها).
السرعة (المقصود هنا سرعة معالجة النظم الحسابية لملايين البتات من البيانات في الثانية).

كما نوهنا يوجد خصائص لا حصر لها مثل الدقة وتعددية الاستخدامات وغيرها. نهاية، فالهدف من الحساب إيجاد قيم بعض الدوال.

لننتقل لفهم نظرية التعقيد الحسابي وقبلها وجب أن تكون على دراية بالمقالات السابقة في الخوارزميات وأن هنالك دوال قابلة للحساب وأخرى غير قابلة ودعونا نوضح مثال بسيط، لدينا مجموعة من الرؤوس والأضلاع وهنالك مشكلتي المساران المعروفان في نظرية الرسوم البيانية:

الأول، مسار أويلر: هو ذلك المسار الذي يمر بكل حافة مرة واحدة فقط.

الثاني، مسار هاميلتون: المسار الذي يمر بجميع الرؤوس مرة واحدة فقط.

فحلل العلماء المشكلتين وأنه إذا كان لدينا خوارزمية فعالة فستحل المشكلة الأولى ولن تحل الثانية. فهنالك خوارزميات يمكنها حل مشكلات معينة وأخرى لا وذلك متعلق بقابلية الحساب وأن هنالك دوال قابلة للحساب وأخرى لا.

مثال آخر: مشكلة P وNP. إذ تمثل P مجموعة من المسائل التي لها خوارزمية حل وNP المسائل التي ليس لها خوارزمية حل؛ لذلك يمكنك معرفة المزيد من هذا المقال: ما هي حدسية P=NP؟.

نهاية عزيزي القارئ، تعد نظرية التعقيد الحسابي فرع من علوم الحاسوب وتهتم بدراسة الخوارزميات لحل المشكلات الرياضية. ومن بين أهدافها تصنيف المشكلات حسب درجة الصعوبة، أي مدى صعوبة حلها حسابيًا كمشكلتي مسار أويلر ومسار هامليتون.

المصادر

علم النفس الرياضياتي: أفق جديد للقرن الواحد والعشرين

معظمنا يحب مجال علم النفس، نحب قراءته والتعمق في مختلف مواضيعه، لأنه يلمس إحدى جوانب حياتنا اليومية. قد تساعدنا قراءة مقال ما في علم النفس على فهم أنفسنا بشكل جيد أو حتى في حل مشكلة حياتية متكررة.
بعضنا الآخر يحب الرياضيات. ويحب فهم المعادلات والأنظمة الحسابية وعلاقة المتغيرات ببعضها البعض. بعض الأشخاص يصرحون بأن سبب حبهم لممارسة الرياضيات هو أنها تمثل نهجًا جيدًا وواضحًا لفهم وتفسير العالم. فالرياضيات بكل بساطة تمثل الأبعاد الحياتية المختلفة كالأعداد مثلًا أو المساحات برموز يمكن كتابتها وتمثيلها ووضعها في معادلات واضحة وبالتالي سهولة معالجتها.
ولذلك السبب يتم تطبيق وممارسة النهج الرياضي في العديد من مجالات العلم وأشهرها الفيزياء.

ولكن هل تساءلت من قبل عن إمكانية تطبيق ذلك النهج في علم النفس؟ هل من الممكن استخدام وتطبيق المعادلات الرياضية في النظريات التي تصف السلوك البشري؟

الإجابة هي نعم. وهذا ما يعرف ب«علم النفس الرياضياتي-mathematical psychology»

ماهو «علم النفس الرياضياتي-mathematical psychology»

علم النفس الرياضياتي أو علم النفس الحسابي هو نهج في علم النفس قائم على استخدام وتطبيق المعادلات والمفاهيم الرياضية في تناول النظريات في علم النفس. عن طريق بناء نماذج حسابية لقياس العمليات الإدراكية والفكرية والمعرفية والحركية. يهتم أيضًا بوضع القوانين الحسابية التي تربط العلاقة بين التحفيز والسلوك. [1]

لا يتم اعتبار علم النفس الرياضياتي فرع مستقل من علم النفس ولكنه بالأحرى “نهج” يُستخدم من قبل عالم النفس في مجال دراسته. ويمكن تطبيق نهج علم النفس الحسابي في الكثير من فروع علم النفس. [2]

يتم استخدام النهج الرياضي بهدف استنباط فرضيات أكثر دقة وبالتالي يسفر عن عمليات تحقق تجريبية أكثر صرامة. يوجد خمسة مجالات بحث رئيسية في علم النفس الرياضي: التعلم والذاكرة ، والإدراك والفيزياء النفسية ، والاختيار وصنع القرار ، واللغة والتفكير ، والقياس والتوسع.

وكما أشرنا مسبقًا، أن النجاح الذي حققه النهج الرياضي في علم الفيزياء أدى إلى محاولات تطبيقه أيضًا في علم النفس على أمل محاكاة هذا النجاح.

تُستخدم الرياضيات في علم النفس على نطاق واسع تقريبًا في مجالين: أحدهما هو النمذجة الرياضية للنظريات النفسية والظواهر التجريبية، مما يؤدي إلى علم النفس الرياضي. والآخر هو النهج الإحصائي لممارسات القياس الكمي في علم النفس، مما يؤدي إلى القياس النفسي أو ما يعرف بpsychometrics.

كيف يسير نهج علم النفس الرياضياتي

يبدأ عالم النفس الحسابي عادةً بتدارس الظاهرة النفسية وتركيباتها الأساسية التي يرغب في بناء نموذج رياضي لها. حيث أن ذلك النموذج الرياضي هو عبارة عن مجموعة من الهياكل الرياضية التي تشمل المتغيرات والمعادلات الممثلين للظاهرة النفسية.
لذلك، فقياس المتغيرات المتعلقة بالظاهرة النفسية أمر حاسم لبناء النموذج الرياضي.

تحديات

لذلك من أكبر تحديات علم النفس الحسابي هو قياس متغيرات الظاهرة النفسية. لأنه يوجد الكثير من العمليات النفسية المعقدة التي يصعب قياس متغيراتها. فالمجالات مثل الرؤية، والتعلم والذاكرة، والحكم واتخاذ القرار، كثيرًا ما تتمتع بسهولة قياس متغيراتها
مثل الدقة ووقت الاستجابة، ولذلك يسهل تناولها بالتفكير الرياضي وتتمتع بنسبة أكبر من علماء النفس الرياضيين مقارنةً بالمجالات الأخرى. أما العمليات المعقدة مثل سلوك الخلايا العصبية، أو تدفق المعلومات عبر المسارات البصرية، أو تراكم الأدلة في عملية اتخاذ القرار، أو إنتاج اللغة وتطويرها فتمثل حملًا شاقًا لعلماء النفس الحسابيين.

مصادر:

[1] Wikipedia
[2] ResearchGate

الأنظمة المعقدة وخصائصها

لعلك تتذكر جورجيو باريزي وسيوكورو مانابي وكلاوس هاسلمان الحائزين على نوبل 2021 في الفيزياء ومساهماتهم في فهم الأنظمة المعقدة، ففي كل مجال سواء في الرياضيات أو الفيزياء أو الأحياء أو الاقتصاد… هنالك بعض الأنظمة التي لم يستطع العلماء تفسيرها مثل مجموعات النمل التي تراها، الاقتصاد البشري أو المناخ أو حتى الوعي البشري، الذي ينظر إليه كونه خاصية ناشئة لشبكة معقدة من الخلايا العصبية في أدمغتنا والكثير من الأمثلة، فقد أطلق العلماء على تلك الأنظمة اسم (الأنظمة المعقدة) فهنالك قول أرسطو الشهير: “الكل أكبر من مجموع أجزائه”. إذ إن الأنظمة المعقدة يستلزم فيها السلوك الجماعي لأجزائها لظهور خصائص يصعب استنتاجها. فيأتي علم الأنظمة المعقدة (نظرية التعقيد) ليقدم لنا طرقًا لفهم الكون من حولنا. فدراسة التعقيد نظرية علمية جديدة وفي هذا المقال سنوضح ما هي نظرية الأنظمة المعقدة وخصائصها.

كيف نفهم الأنظمة المعقدة؟

الساعة التي ترتديها بيدك، السلوك المنتظم لها هو الذي سمح لنا بإنشاء جهاز ضبط الوقت. لكن هناك بعض الأنظمة مثل الطقس أو الإنترنت. نحن نفهم هيكلهم لكن من الصعب التنبؤ بسلوكهم، كذلك دماغك معقدة من حيث التركيب والسلوك. فما يتضح لنا أن كلمة التعقيد (معقد) تُطلق على العديد من المكونات المتفاعلة التي من الصعب فهم سلوكها أو هيكلها.

فالأنظمة المعقدة ليست جديدة، لكن لأول مرة في التاريخ تُتاح أدوات لدراسة مثل هذه الأنظمة بطريقة علمية محكمة. فقديمًا، كانت دراسة الأنظمة المعقدة في البيئة أو الاقتصاد تستغرق وقتًا طويلًا أو خطيرة أو باهظة الثمن وغير علمية. لكن الآن وباستخدام الحواسيب، يمكن بناء على سبيل المثال بدائل سيليكون كاملة لهذه الأنظمة ويمكن التلاعب فيها.

مثال على النظرة غير العلمية

افترض أن مستثمرًا فرديًا يتفاعل مع البورصة وبذلك يؤثر على سعر السهم أثناء اتخاذ قرار بالشراء أو البيع أو الاحتفاظ، فيرى هذا المستثمر السوق على أنه معقد أو بسيط اعتمادًا على مدى إدراكه لتغير الأسعار. لكن لتلاحظ هنا أن البورصة أيضًا تعمل على المستثمر. فما يحدث فيها مؤثر على قرارات المستثمر، فهنا السوق يحكم بأن المستثمر لديه درجة معينة من التعقيد؛ تؤثر على تصرفاته مثل التوتر أو الهدوء أو عدم الاستقرار. فهنا يكمن التعقيد في عين المستثمر بقدر ما يكمن في بنية وسلوك النظام نفسه. فمفهوم التعقيد هنا من نظرة أي شخص غير علمية، فالبعض يرى أن الأميبيا أبسط من الفيل.

الخصائص المختلفة المرتبطة بالأنظمة البسيطة والمعقدة

عادة ما تستخدم كلمة التعقيد كاسم لشيء مخالف للحدس أو لا يمكن التنبؤ به أو صعب في فهمه. لذلك وضعت خصائص لوصف الأنظمة المعقدة بعيدًا عن المفاهيم غير العلمية. لنتطرق الآن لبعض تلك الخصائص…

«التنبؤ-Predictability»

لا مفاجآت في الأنظمة البسيطة، أسقط حجرًا؛ فسيقع. ضع أموالك في حساب بنكي فائدته ثابتة؛ ستتراكم الأموال بانتظام… فمثل هذه السلوكيات التي يمكن التنبؤ بها هي من خصائص الأنظمة البسيطة، أما الأنظمة المعقدة لا سلوك متوقع فيها ومليئة بالمفاجآت مثل فتح طرق سريعة جديدة؛ سيؤدي إلى زيادة أوقات التنقل واختناقات مرورية…

«الترابط-Connectedness»

تحوي الأنظمة البسيطة عددًا قليلًا من المكونات مع عدد قليل من المتغيرات مع سيطرة على الروابط بين تلك المتغيرات مثل منظمة ما تتميز بالاستقرار الوظيفي أو المقايضة البدائية حيث تداول عدد قليل من السلع وهي أبسط في الفهم من الاقتصاديات المتقدمة للدول الصناعية التي نعدها من الأنظمة المعقدة.

«التحكم المركزي-Centralized control»

يتركز التحكم في الأنظمة البسيطة في موقع واحد أو عدة مواقع قليلة على الأكثر مثل الشركات المملوكة للقطاع الخاص. على العكس تمامًا، تُظهر الأنظمة المعقدة انتشارًا للسلطة الحقيقة وقد يبدو لك أن لها سيطرة مركزية فتشمل الأنظمة اللامركزية للحكومات والجامعات والإنترنت كذلك… فتميل الأنظمة المعقدة إلى التكيف على نحو أسرع مع الأحداث غير المتوقعة وتُعد أكثر مرونة.

«التحلل-Decomposability»

التفاعلات بين النظام البسيط قليلة أو ضعيفة بين مكوناته المختلفة. فيتصرف النظام على نحو أكثر أو أقل كما كان عليه سابقًا عند قطع بعض الاتصالات. من الناحية الأخرى، فالعمليات المعقدة غير قابلة للاختزال أي لا يمكن أن يتحلل النظام إلى أنظمة فرعية دون خسارة، فإهمال جزء من عملية ما أو قطع الاتصال الرابط بين أجزائها؛ سيُدمر الجوانب الأساسية لسلوك النظام أو هيكله.

وترجع آليات توليد المفاجآت إلى السلوكيات التي تظهرها الأنظمة المعقدة مثل:

«المفارقة-Paradox»

تنشأ المفارقات عادة من الافتراضات الخاطئة التي تؤدي إلى تناقضات بين السلوك المرصود والمتوقع وتحدث في مواقف غير منطقية.

«عدم الاستقرار-Instability»

عند حدوث اضطرابات صغيرة في الأنظمة غير المستقرة، تتولد المفاجآت مثل انهيار أسواق الأسهم.

«غير قابلة للحوسبة-Uncomputability»

إن السلوكيات التي تُظهرها نماذج الأنظمة المعقدة هي نتيجة اتباع مجموعة من القواعد. لأن تلك النماذج مجسدة في حواسيب التي بالضرورة تتبع لقواعد محددة. مع أن آلات الحوسبة تتبع قواعد، فلا يوجد سبب للاعتقاد بأن أي عمليات في الطبيعة أو بشرية تستند بالضرورة لقواعد. فإذا كانت هناك عمليات غير قابلة للحوسبة موجودة في الطبيعة مثل حركة الكتل الهوائية في الغلاف الجوي، فإن الظاهرة الحقيقة لأي نظام لن تظهر على الحاسوب أبدًا لأن تلك الكميات غير القابلة للحوسبة موجودة فعلًا خارج عالم الرياضيات.

«الاتصال-Connectivity»

يتميز النظام بالروابط والتفاعلات بين مكوناته وكذلك تأثير تلك الروابط على سلوكه وهذه إحدى الخصائص. فمثلًا العلاقة بين رأس المال والعمل هي التي توجد الاقتصاد، فالنظام المعقد مترابط ومتصل جيدًا ويكمن التعقيد والمفاجأة في الأنظمة المعقدة في تلك الروابط.

«التولد-Emergence»

تشير إلى الخصائص غير المتوقعة في أية أنظمة فرعية فردية التي تنشأ من التفاعلات. مثل الماء، فخصائصه المميزة في شكله في صورة سائل وعدم القابلية للاشتعال وذلك بالطبع يختلف عن خصائص الغازات المكونة له. فيكمن الاختلاف بين التعقيد الناشئ عن «التوليد-Emergence» في طبيعة التفاعلات بين المكونات.

فلا تركز فقط على ما إذا كان هناك نوع من التفاعلات بل أيضًا على طبيعة تلك التفاعلات فمثلًا لا يمكنك التمييز بين (ماء الصنبور العادي) الذي يتضمن تفاعلًا بين جزيئات الهيدروجين والأكسجين و(الماء الثقيل) الذي يتضمن تفاعلًا بين نفس المكونات لكن مع وجود نظير لمادة الهيدروجين يدعى (ديوتريوم) في هذا المزيج؛ فالتولد من شأنه التمييز، إذ تظهر خصائص معينة (المتولدة) عند تفاعل تلك الأنظمة.

فهذه العناصر هي الخصائص التي هي مصدر توليد المفاجآت.

وهكذا نختم حديثنا عن ذلك العلم الواسع الذي تعرفت فيه على نُبْذَة من شأنها أن تساعدك في فهم المقالات القادمة في الحوسبة الكمية، إذ سنتحدث عن نظرية التعقيد الحسابي؛ فتابعنا.

المصادر

uwaterloo

cssociety

britannica

ما هي متفردة الثقب الأسود؟

هذه المقالة هي الجزء 4 من 10 في سلسلة رحلة إلى أعتم أجسام الكون، "الثقوب السوداء"

ما هي متفردة الثقب الأسود؟

لكي نفهم مفهوم «المتفردة-singularity»، لا بد من تخيل مقدار هائل من الجاذبية، يضغطك إلى نقطة لا متناهية الصغر، بحيث لا يجعلك تشغل -حرفيًا- أيّ حجم يذكر. قد يبدو لك الأمر مستحيلًا، وهو بالفعل كذلك! ومتفردات كهذه، والتي يعتقد أنها موجودة داخل الثقوب السوداء وفي بداية الانفجار العظيم، لا تمثل شيئًا فيزيائيًا. بل يظهر مفهومها في الرياضيات ليخبرنا أن نظرياتنا الفيزيائية تنهار، وأننا نحتاج لتبديلها بنظريات أفضل.

تحديدًا، ما هي المتفردة؟

يمكن أن تحدث المتفردات في أي مكان، وهي شائعة بشكل كبير في الرياضيات التي يستخدمها الفيزيائيون ليعبروا عن نظرياتهم. وبشكل مبسط، يمكن القول أن المتفردات هي نقاط تسلك الرياضيات فيها سلوكًا “شاذًا”، غالبًا بإنتاجها أرقامًا كبيرةً لا منتهية، أو بأن يصبح التابع غير معرف في نقطة ما أو غير قابل للاشتقاق عندها. وكمثال على المتفردات في الرياضيات نأخذ العملية 1/X. فعمليًا، كلما أخذت معادلة ما القيمة السابقة، وسعت قيمة X إلى الصفر، تسعى قيمة المعادلة إلى اللانهاية. فنقول أن التابع السابق غير معرف عند الصفر، أي يملك متفردة عند الصفر. ويمكن حل غالبية هذه المتفردات بالإشارة إلى أنها تنقص عاملًا مفقودًا يجب إضافته إلى معادلتها. أو إلى استحالة الوصول إلى قيمتها الفعلية، وكأن نقول أن المتفردات غير “حقيقية”. [1]

متفردة الجاذبية

ولكن بعض المتفردات في الفيزياء لا تحل بهذه البساطة. ومن أشهرها «متفردات الجاذبية-gravitational singularities»، أي القيم اللامنتهية التي تظهر في نظرية النسبية العامة لأينشتاين، أفضل نظرية حالية لوصف الجاذبية. في النسبية العامة، يوجد نوعان رئيسيان من المتفردات، هما «متفردة الإحداثيات-coordinate singularity»، و«المتفردة الحقيقية-Real singularity». تحدث متفردات الإحداثيات عندما تظهر لا نهاية في جملة إحداثيات معينة، وتختفي عند اختيار جملة أخرى، فتكون ظاهرية فقط.

*جملة الإحداثيات: في هذه الحالة تبين الاحداثيات المستخدمة للتعبير عن الزمان والمكان. [2]

مثلًا، طبق الفيزيائي «كارل شوارزشايلد-Karl Schwarzschild» قوانين النسبية العامة على نظام بسيط لكتلة كروية، مثل النجوم. فوجد أن حلول المعادلات تضمنت متفردتين: إحداهما في مركز الكرة، والأخرى على بعد معين من مركزها. وتعرف المسافة الثانية اليوم ب «نصف قطر شوارزشايلد-Schwarzschild radius» وتتعلق بكتلة الجسم. لعدة سنوات اعتقد الفيزيائيون أن كلا المتفردتين تمثل انهيارًا لقوانين الفيزياء، ولكنهم لم يبالوا للثانية طالما كان نصف قطر الكتلة الكروية أكبر من نصف قطر شوارزشايلد.

ولكن ما الذي يحدث لو تقلص جسم ما لأقل من نصف قطر شوارزشايلد الخاص به؟ عندها ستقع المتفردة الثانية خارج الجسم، ويعني أن النسبية العامة ستنهار في مكان لا يجب أن تنهار فيه. ولم تطل المعضلة حتى اكتشف العلماء أن متفردة نصف قطر شوارزشايلد هي متفردة إحداثيات لا أكثر. ومجرد تغيير في نظام الإحداثيات المستخدم يزيل المتفردة، ويحمي النسبية العامة من الانهيار. [3]

أين تحدث متفردات الجاذبية؟

بقيت المتفردة المتمركزة داخل مركز الجسم بينما أزيلت قرينتها. لأنك إن ضغطت جسمًا ما لأقل من نصف قطر شوارزشايلد الخاص به، تصبح جاذبيته شديدةً لدرجة أنه ينهار على نفسه باستمرار إلى نقطة لا متناهية الصغر. ولعقود من الزمن، تناقش الفيزيائيون حول إمكانية حدوث انهيار في اللانهاية كهذا، أو وجود قوة تمنع هكذا انهيار. ففي حين تحافظ «الأقزام البيضاء-white dwarfs» و«النجوم النيوترونية-neutron stars» على نفسها من الانهيار، أي جسم كتلته أكبر من 6 أضعاف كتلة الشمس سيملك مقدارًا هائلًا من الجاذبية. وتتغلب جاذبيته على كل قوى الطبيعة فينهار في نقطة لا منتهية، تشكل متفردةً حقيقة. [4]

ما هي المتفردة المجردة؟

إن التعريف السابق ذكره هو التعريف الفعلي لماهية «الثقب الأسود-black hole». فهو نقطة كثافتها لا متناهية، تحاط بأفق حدث يقع عند نصف قطر شوارزشايلد. حيث “يحمي” أفق الحدث المتفردة داخل الثقب، مانعًا المراقبين الخارجيين من رؤيتها إلا إذا عبروا أفق الحدث. اعتقد الفيزيائيون سابقًا أنه في النسبية العامة، تحاط جميع المتفردات بآفاق حدث. وعرف المفهوم السابق باسم «فرضية الرقابة الكونية-the Cosmic Censorship Hypothesis». وسموها كذلك لأنهم اعتقدوا بوجود عملية ما في الكون “تكون رقيبة” على المتفردات وتمنعها من أن تكون مرئية. ثم أظهرت المحاكاة الحاسوبية إمكانية وجود «متفردات مجردة-naked singularities». حيث تكون المتفردة المجردة عبارةً عن متفردة بدون أفق حدث، مما يجعلها قابلة للرصد من العالم الخارجي. ولكن يبقى وجود هكذا متفردات موضع جدل العلماء حتى اليوم. [5]

ما الذي يوجد في مركز الثقب الأسود؟

ولأنها تعتبر متفردات رياضية، لا أحد يعلم حقًا ماذا يوجد في مركز الثقوب السوداء. ولكي نعلم ذلك، نحتاج إلى نظرية أخرى غير نظرية النسبية العامة، لأنها تنهار في المتفردة. وتحديدًا، نحتاج إلى نظرية كم للجاذبية، أي نظرية تصف سلوك الجاذبية القوية على مقاييس صغيرة جدًا. توجد بعض الفرضيات التي تعدل أو تستبدل نظرية النسبية العامة كليًا محاولةً وصف متفردة الثقب الأسود. ومنها فرضية «نجوم بلانك-Planck stars»، وهي حالة افتراضية لمادة شديدة الانضغاط. و«نجوم الطاقة المظلمة-dark energy stars»، وهي حالة افتراضية لطاقة الفراغ، تبدو وتتصرف كثقب أسود. وحتى يومنا هذا، تبقى هذه الأفكار مجرد افتراضات لن تجيب عنها إلا نظرية كم الجاذبية المنتظرة. [6]

ما هي متفردة الانفجار العظيم؟

تعتبر «نظرية الانفجار العظيم-The Big Bang theory» والتي تفترض صحة النسبية العامة، النموذج الكوني الحديث لتاريخ كوننا. كما تتضمن متفردة تقع في الماضي البعيد، منذ حوالي 13.77 مليار سنة. فبحسب هذه النظرية، كان الكون بأكمله منضغطًا في نقطة لا متناهية الصغر تشكل ما يعرف بمتفردة الانفجار العظيم. [7]

ويعلم الفيزيائيون اليوم أن الاستنتاج السابق خاطئ. فرغم نجاحها الكبير في وصف تاريخ كوننا، إلا أنه وكما في الثقوب السوداء، يخبرنا وجود متفردة في الانفجار العظيم -مرة أخرى- أن نظرية النسبية العامة غير مكتملة، وتحتاج للتحديث.

المصادر

The Basque Center of Applied Mathematics [1]
The Stanford Encyclopedia of Philosophy [2]
[3] the University of California
Universe Today [4]
ScientificAmerican [5]
Physics of the Universe[6]
The Astrophysics Data System[7]

مدخل للمفاهيم الأساسية في الجبر الخطي وعلاقته بالحوسبة الكمية

في أواخر صيف 1949، كان الأستاذ بجامعة هارفارد «واسيلي ليونتيف-Wassily Leontief» لديه آخر الأوراق التي تحوي على معلومات حول الاقتصاد الأمريكي، إذ مثلت ملخصًا لأكثر من 250 ألف معلومة والتي أصدرها مكتب الولايات المتحدة لإحصاءات العمل بعد عامين من العمل المكثف. قسم ليونتيف الاقتصاد الأمريكي إلى 500 قطاع مثل قطاع صناعة الفحم، وصناعة السيارات، والاتصالات وهكذا… ولكل قطاع، من ثم كتب معادلة خطية وصف فيها كيف قام القطاع بتوزيع إنتاجه على قطاعات الاقتصاد الأخرى. ولأن مارك 2 أحد أكبر الحواسيب في ذلك العصر لم يستطع التعامل مع نظام من 500 معادلة في 500 مجهول، قام ليونتيف بترشيح المشكلة (وهي حل تلك المعادلات) واختزالها في نظام من 42 معادلة في 42 مجهول.

ليونتيف والنمذجة الرياضية

تطلبت برمجة حاسوب مارك 2 جهد ضخم وكل ذلك لمعرفة المدة التي سيستغرقها الحاسوب في حل المشكلة. وها قد قام بها الحاسوب في 56 ساعة. ففتح ليونتيف الحائز على جائزة نوبل في العلوم الاقتصادية عام 1973 الباب على مصرعيه لعصر جديد في النمذجة الرياضية في الاقتصاد. إذ كانت جهوده في جامعة هارفارد عام 1949 بمثابة أول استخدام هام للحواسيب. ومنذ ذلك الوقت، استخدم الباحثون الحواسيب في المجالات الأخرى في تحليل النماذج الرياضية، وذلك يرجع إلى كمية البيانات الضخمة التي تتضمن نماذج رياضية وتكون موصوفة عادة بالمعادلات الخطية. فازدادت أهمية الجبر الخطي للتطبيقات بالتناسب مع قوة الحوسبة. إذ أدى كل جيل جديد من الأجهزة والبرامج إلى زيادة الطلب لقدرات أعلى.

فترتبط علوم الحاسوب بالجبر الخطي وهو فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الفضاءات المتجه والتحويلات الخطية والنظم الخطية. من خلال النمو المتزايد للمعالجة المتوازية والحسابات واسعة النطاق. يعمل المهندسون الآن على حل مشاكل أكثر تعقيدًا كان يحلم بحلها قبل عقود. اليوم، الجبر الخطي من أهم المواضيع التي يجب على الطلاب في المجالات العلمية والتجارية أن يهتموا بها.

تطبيقات للجبر الخطي

سنجد الجبر الخطي في علم الوراثة وفي الاقتصاد ودراسة الأنظمة المقعدة وتحليل البيانات… كذلك هو لغة الحوسبة الكمية، فالفهم الجيد للمفاهيم الأساسية التي يُبنى عليها الجبر الخطي هام لفهم الحساب الكمي.

ومن الأمثلة الشهيرة كتطبيق له، التنقيب عن النفط مثلًا. عندما تبحث السفن عن رواسب نفطية، تحل حواسيب خاصة آلاف من المعادلات الخطية. أيضًا في الطيران، تقوم برامج خطية بجدولة الرحلات الجوية أو تخطيط الجداول الزمنية المتنوعة لخدمات الدعم مثل الصيانة. كذلك يستخدم المهندسون برامج المحاكاة لتصميم الدوائر الكهربائية والرقائق المعدنية التي تتضمن ملايين الترانزستورات فمثل تلك البرامج تعتمد على تقنيات الجبر الخطي وأنظمة المعادلات الخطية.

تعتمد ميكانيكا الكم على الجبر الخطي، إذ تستخدم النظرية العامة المتجهات اللانهائية الأبعاد. لكن لوصف الدوران والاستقطاب للكيوبت لا نحتاج سوى أبعاد محدودة مما يسهل علينا الفهم. فبعض المفاهيم الأساسية التي سنقدمها هامة فيما بعد.

سنستخدم تدوين «بول ديراك-Paul Dirac»، إذ استخدم على نطاق واسع في ميكانيكا الكم والحوسبة الكمية ولا يتم استخدامه خارج هذه التخصصات. سنستخدم الأرقام الحقيقة (الأعداد العشرية القياسية التي نعرفها جميعنا) في كتب أخرى يتم استخدام الأعداد المركبة.

لماذا الأعداد الحقيقة وليست الأعداد المركبة؟

تعد الأعداد الحقيقة سهلة الاستخدام على عكس المركبة الأكثر تعقيدًا. يعتمد النموذج الرياضي للدوران ثلاثي الأبعاد على أعدادًا مركبة، بالرغم من ذلك فالحسابات الخاصة بالكيوبتات تحتاج قياس الدوران في بعدين فقط.

سنبدأ الآن بمناقشة أهم الكميات الرياضية في الحساب الكمي وهو المتجه. إذ لفهم الحوسبة الكمية يكون للكيوبت حالات 1 أو 0 أو تراكب أو كليهما باستخدام الجبر الخطي يتم وصف حالة الكيوبت على أنه متجه ويتم تمثيله بمصفوفة. والآن لنعرف بعض المفاهيم ونبدأ بالمتجه.

ما هو المتجه؟

المتجه هو كمية لها مقدار واتجاه، وهندسيًا يمكننا تخيل المتجه كقطعة مستقيمة موجهة.

يمكننا تصور هذا المتجه كسهم ويشير في اتجاه 3 وحدات على طول المحور X و5 وحدات على طول المحور Y:

ويُمثل المتجه بمجموعة من الأرقام وهي أبعاد المتجه وإذا كانت قائمة الأرقام مكتوبة بشكل عمودي فنسيمها متجهات العمود أو كيت «ket» وإذا كانت القائمة مكتوبة بشكل أفقي تسمى متجهات الصف أو برا «bra»:

وكيت وبرا هما عبارة عن رمز براكيت، وهو رمز أدخله بول ديراك لتسهيل كتابة معادلات ميكانيكا الكم ولتوضيح الجانب المتجهي المُمثل للحالة الكمية.

الأن هيا بنا لنتعرف على العمليات الأساسية للمتجهات…

العمليات الأساسية على المتجهات

جمع المتجهات

القاعدة

(a₁,b₁) + (a₂,b₂) = (a₁+a₂, b₁+b₂)

على سبيل المثال:

طرح المتجهات

القاعدة

(a,b) – (c,d) = (a-c, b-d)

على سبيل المثال:

الضرب القياسي للمتجهات

القاعدة

k⋅(a,b)=(k⋅a,k⋅b)

على سبيل المثال:

مثال شامل:

ما هي المصفوفة؟

هي ترتيب مستطيل من الأرقام وتكون مكونة من صفوف وأعمدة.

فالمصفوفة A تتكون من 3 أعمدة وصفين.

أنواع المصفوفات

مصفوفة الصف

هي مصفوفة تحوي صف واحد فقط.

على سبيل المثال:

مصفوفة العمود

هي مصفوفة تحوي عمود واحد فقط.

على سبيل المثال:

المصفوفة الصفرية

هي التي كل عناصرها صفر.

المصفوفة الأفقية

وهي مصفوفة عدد الصفوف فيها أقل من عدد الأعمدة.

على سبيل المثال:

المصفوفة الرأسية

هي مصفوفة عدد الأعمدة فيها أقل من عدد الصفوف.

على سبيل المثال:

المصفوفة المربعة

هي التي عدد الصفوف فيها مساوي لعدد الأعمدة.

على سبيل المثال:

المصفوفة القطرية

هي التي يكون فيها عناصر القطر الرئيس أرقام وباقي المصفوفة أصفار.

المصفوفة العددية

هي مصفوفة قطرية لكن عناصر القطر الرئيس تحتوي عدد ثابت.

على سبيل المثال:

مصفوفة الوحدة

هي مصفوفة قطرية جميع عناصر القطر الرئيس تكون واحد.

على سبيل المثال:

المصفوفات المتساوية

هي المصفوفات المتساوية من حيث عناصرها.

المصفوفة المثلثية

هي مصفوفة مربعة تكون فيها العناصر أعلى أو أسفل القطر الرئيس تساوي صفر.

على سبيل المثال:

المصفوفة المفردة وغير المفردة

هي المصفوفة التي محددها يساوي صفر والمصفوفة غير المفردة هي التي محددها له قيمة غير الصفر.

على سبيل المثال:

محدد المصفوفة هو أي من هذه الخيارات يعد محدد لها:

فمثلا اذا حسبنا أي محدد منهم لن يعطينا صفر فالمحدد الأول سيساوي 40 (6*9-4*4=40). لذلك المصفوفة غير مفردة.

المصفوفة المتماثلة

هي مصفوفة مربعة تساوي مدورها.

على اليمين المصفوفة الأصلية وعلى اليسار مدورها:

المصفوفة شبه المتماثلة

هي مصفوفة مربعة تساوي سالب مدورها.

العمليات على المصفوفات

جمع المصفوفات

طرح المصفوفات

ضرب المصفوفات

لاحظ نقوم بضرب الصف الأول في العمود الثاني ونجمع والصف الثاني في العمود الثاني ونجمع وهكذا

المتجهات والمصفوفات في الحوسبة الكمية

في الحوسبة الكمية علمنا أن الكيوبت يمكن أن يكون في حالة 1 أو 0 أو تراكب أو كليهما. باستخدام الجبر الخطي، يتم وصف حالة الكيوبت على أنه متجه ويتم تمثيله بمصفوفة من عمود واحد

ويجب أن تستوفي حالة الكيوبت شرط

في الحواسيب والمحاكيات الكمية، تُستخدم العمليات الكمية لتعديل حالة الكيوبت. عندما يتم تطبيق عملية كمية على كيوبت، يتم ضرب المصفوفتين اللتين تمثلهما وتمثل الإجابة الناتجة الحالة الجديدة للكيوبت بعد العملية.

الأن لنأخذ مثال بسيط ونمثل حالتين لكيوبت

كل كيوبت عبارة عن فراغ متجه، لذا لا يمكن ضربه فقط. بدلاً من ذلك، يمكنك استخدام موتر (أحد الدالات الرياضية التي لا تتميز بوحدات للقياس. يتميز الموتّر بأنه يحتوي في خواصه خواص الأعداد المطلقة scalar، والمتجهات، والمعاملات الخطية)، وهي عملية ذات صلة تنشئ مساحة متجهية جديدة من مسافات متجهة فردية، ويتم تمثيلها بواسطة هذا الرمز التالي “⊗”

على سبيل المثال، حاصل الضرب الموتر لحالتين من كيوبتات:

ونتيجة ذلك مصفوفة رباعية الأبعاد، إذ يمثل كل عنصر احتمالًا. في المقالات القادمة سنتعرف على المزيد من العمليات التفصيلية للكيوبت.

المصادر

Bernhardt Chris Quantum computing for everyone-The MIT Press-2019

microsoft

byjus

فيثاغورس بين التصوف والعلم والفلسفة

هذه المقالة هي الجزء 4 من 9 في سلسلة مدخل إلى فلسفة ما قبل سقراط

يمثل فيثاغورس المثلث الإشكالي في الفلسفة الإغريقية، لكونه يجمع الأنداد في صيغة موحدة، لا في طرحه إنما في شخصه أيضًا. بدأت الفلسفة وهي ترسم تخوم العداء والصراع مع النظرة الدينية في آغورا التي ترى العالم كهبة إلهية. والعلم أيضًا وهو في طوره الجيني اختار لنفسه طريقًا غريبًا عن المقترب الديني في التفسير. بيد أن فيثاغورس يشق طريقه في الجهة الجامعة بين التصوف والعلم والفلسفة، إذ أن الاضداد تقول بعضها على النغم الكوني. في هذا المقال سنسلط الضوء على فيثاغورس الشخص والفيلسوف والعالم.

سيرة فيثاغورس

ولد فيثاغورس حوالي عام 570 ق.م. في صيدا (فينيقيا)، يُقال أنه منذ البداية اقتنع الناس بأنه ابن الإله لجماله ولذكاءه. بعد ظهور الطاغية بوليقراط ترك البلاد نحو الملطية حيث هناك طاليس وأناكسيماندر وأناكسيمانس. اعجب به طاليس وحثه على الإبحار إلى مصر للاختلاط مع الكهنة حيث سيحصل منهم على كل ما يجعل منه حكيمًا في عيون أكثرية البشر(1). وفقًا لـيميلخا تواصل فياغورس في مصر مع الكهنة واختلط مع الأنبياء هناك.

بعد مضي اثنين وعشرين عامًا يحتل الملك الفارسي قمبيز مصر فيرحل فيثاغورس نحو بلاد ما بين النهرين ويسكن في بابل اثني عشر عامًا، وهناك يتعرف على العلوم الدينية ويخالط المجوس كما يستوعب قضايا الحساب والموسيقى.

يعود إلى ساموس وهو في السادسة والخمسين غير أنه لا يجد من يفهمه سوى فتى يتخذه فيثاغورس في البداية خادمًا. بسبب الموقف الاحتقاري من أهل ساموس يرحل إلى إيطاليا، أي اليونان الكبرى.

قام فيثاغورس بتأسيس أخوية صوفية في مدينة كروتون وهناك يبدأ الناس في التعرف على هذا المعلم الجديد الذي سيعلمهم كيفية الوصول إلى السعادة. مجده الناس كثيرًا وادرجوه في عداد الآلهة وبصفته نصف إله يحب البشر(2).

بعد سنوات تتعرض الأخوية إلى القمع والاضطهاد من قبل السلطات، فتمت إبادة الفيثاغوريين جميعًا ولم يسلم منهم إلا عدد قليل ليموتوا في النهاية من القهر والأسى.

مفهوم الفلسفة عند فيثاغورس

إن مفهوم الفلسفة في زمن الفلاسفة الأوائل كان مفهومًا وظيفيًا على الأكثر، إذ أن القصد من التفلسف كان بلوغ السعادة الإنسانية بمعناها الواسع. يُعتقد أن فيثاغورس هو أول من أطلق على نفسه لقب الفيلسوف، والفيلسوف هو من يتأمل في كل ما هو جميل. ومعنى “الجميل” عند فيثاغورس لا يقتصر على الجانب الظاهر والمحسوس من الموجود، بل يشمل السبب الذي أوجده أي الله وجوهره وتناسقه مع باقي الموجودات في الحدود الكونية. (3)

كما أن التربية تدخل في الاهتمام الفلسفي عند فيثاغورس؛ ذلك لأن التربية هي التي تحدد الطبيعة الإنسانية وتصقلها بروح نقية. إن الفلسفة إذن هي التأمل في الجميل وتقويم طبيعة البشر.

الأخلاق عند فيثاغورس

كانت الأخلاقيات الفيثاغورية متأثرة بالعقلية الأورفية؛ لم يفلسف فيثاغورس الأخلاق نفسها بل وضع قائمة من النصائح والمحرمات. لهذا يمكن القول بأنه فضلًا عن التأثير الأورفي كان قد تأثر بالروحانيات الشرقية، فهو أقرب إلى نبي في هذه المسألة. من المبادئ المهمة عند فيثاغورس:

عند الأصدقاء كل شيء مشترك.
تهذيب الجسد والابتعاد عن الشهوات.
الفكر الحر.
تعلم الصمت.
احترام الكبار والخالدين لأن رأيهم هو الأصلح.

تصور فيثاغورس الكون على أنه كائن حي يتنفس وأن الكائنات قد انفصلت من هذا الكون/الكل وتلوثت بالوجود المجزأ. فهدف فيثاغورس إذن هو أن يقرب الكائن الإنساني من هذا الكل، طالما وجوده يمثل اغترابًا، من خلال الممارسة الروحانية (4).

التربية عند فيثاغورس

وفقًا لفيثاغورس، لا يختلف البشر عن الحيوانات، والإغريق عن البرابرة، والمولودون أحرارًا عن العبيد والفلاسفة عن المجدفين إلا في شيء واحد وهو التربية(5). إن عملية التربية هي ممارسة عقلانية للوصول إلى الرحم الأولي حيث التناسق. والتربية الجيدة لا تتحقق من خلال نظام الفرض والعقوبة إنما التعزيز المستمر. كما أن فيثاغورس أشار إلى البيئة المناسبة لنجاح العملية التربوية. ومن الجدير بالإشارة هو أن الأخوية الفيثاغورية كانت تخضع الشخص لاختبارات تستمر للسنوات ليتأكدوا بأنه يستحق العضوية(4).

الموسيقى وفق الفيثاغورسية

إن فكرة التناغم أو التناسق تعد فكرة رئيسة في فلسفة فيثاغورس، فهذا التناغم هو الذي يبقي الكون في حالة وجود. قال فيثاغورس بوجود الانسجام الشامل والغناء المتناغم للمجالات السماوية والكواكب المتحركة فوقها، وأن أغانيها لها دوي أقوى ونقاء أجلى من أي أغنية أبدعها البشر. (6).

لذلك أدخل الموسيقى في المجال الأخلاقي، حيث يمكن بواسطة أنغام وألحان وإيقاعات جميلة شفاء الأخلاق والطباع والشهوات البشرية واستعادة حالة التوازن الأولى. (7).

الهندسة الكونية

بينما ذهب فلاسفة الميليت (ملطية) إلى تحديد العنصر الأولي الذي منه جاء كل شيء، قام فيثاغورس بمقاربة مختلفة كل الاخلاف. اعتقد بأن عناصر الأعداد هي عناصر الأشياء وأن العالم عدد، لكن الأعداد كهندسة لا حساب. فالعالم في الحقيقة وفي جوهره إنما هو أشكال هندسية، وهذه الطبيعة الهندسية أهم من الماء والهواء…إلخ ( (8

المصادر:

يمليخا، فيثاغورس حياته وفلسفته، ترجمة زياد الملا، ص18.
نفس المصدر، ص30.
https://plato.stanford.edu/entries/pythagoras/
https://apeironcentre.org/the-pythagorean-way-of-life/
يلميخا، مصدر سابق، ص41.
نفس المصدر، ص58-59.
https://courses.lumenlearning.com/musicappreciation_with_theory/chapter/pythagoras/
عزت قرني، الفلسفة اليونانية حتى أفلاطون، ص31.

ما هي الحوسبة الكمية؟

تُسخّر الحوسبة الكمية أو الكمومية ظواهر ميكانيكا الكم كي تحقق قفزة فريدة في الحوسبة لحل مشاكل معقدة، عجزت عن حلها الحواسيب العملاقة الحالية. وهذا المقال هو بداية لسلسلة (مقدمة في الحوسبة الكمية)، وفي السطور التالية ستتعرف على ماهية الحوسبة الكمية وتاريخها وأهميتها.

علم المعلومات الكمي

ظهرت ميكانيكا الكم في عشرينيات القرن الماضي لوصف السلوكيات المحيرة للمادة والضوء، وأحدثت ثورة في شتى العلوم. نتج عنها اختراعات مثل الترانزستورات والليزر ونظام تحديد المواقع. من ثم توصل العلماء إلى أن المعلومات نفسها يمكن اكتسابها وتشفيرها. كذلك يمكن معالجتها في أنظمة الكم؛ فنتج عن ذلك “علم المعلومات الكمي”. حيث يعتمد علماؤه على الرياضيين والفيزيائيين وعلماء الحاسوب، إضافةً إلى علماء المواد والكيميائيين والمهندسين.

فيُعدّ علم المعلومات الكمي (QIS) من المجالات المثيرة، إذ يعتمد على نظرية المعلومات وعلوم الحاسوب وميكانيكا الكم والهدف منه هو معالجة المعلومات بطرق جديدة وفريدة.

ما هي تطبيقات علم المعلومات الكمي؟

قامت فرق متعددة التخصصات بتطبيق علم المعلومات الكمي على تقنيات الكم الجديدة في الاتصالات والشبكات وأمن البيانات والملاحة والتشخيص الطبي… كما أحرزوا تقدمًا في تطوير أنظمة الحوسبة التي قد تسمح بمعالجة تحديات كانت حلمًا في مجالات مثل التشفير واللوجستيات والعلوم الطبيعية.

بالطبع سيؤثر علم المعلومات الكمية على طريقة عيشنا وعملنا وحدوث تطورات في العديد من الجوانب مثل التجارة والتعليم والتوظيف! فكما ذكرنا أن علم المعلومات الكمي ساهم في تطوير أنظمة الحوسبة، فذلك التطور الهائل الذي حدث مناقض تمامًا للحوسبة الكلاسيكية والتي كانت خاضعة لحل مشكلات معينة. إذ تم تصميم الحواسيب الكلاسيكية لتقليد العمليات التي نقوم بها نحن البشر. فمنذ الستينيات تقدمنا في أربعة مجالات:

صنع أجهزة أسرع.
‏تحسين الأجهزة استنادًا إلى عمليات البرامج المتكررة.
‏إعادة تصميم البرامج استنادًا إلى نقاط القوة والضعف.
‏زيادة سعة مساحة التخزين وسرعة عملية التخزين.

‏خلال تلك التطورات، تحسنت أيضًا مناهج البرمجة. لكن كل المهام لا تزال مشابهة إلى حد كبير للمهام البشرية. تكمن الاختلافات بين الحوسبة الكلاسيكية والكمية من تلك اللبنات الأساسية. فبدلًا من بناء شيء يحاكي الآلة الحاسبة، اكتشف العلماء الظواهر الكمية وسألوا أنفسهم، كيف يمكننا استخدم تلك الظواهر لإجراء العمليات بشكل أسرع أو أفضل من هذه الآلة الحاسبة التي صنعناها؟ نتج عن السؤال ظهور الحوسبة الكمية.

تاريخ الحوسبة الكمية

اقتُرحت الحواسيب الكمية في الثمانينيات من قِبل ريتشارد فاينمان ويوري مانين. لاحظ الفيزيائي الأمريكي الحائز على جائزة نوبل «ريتشارد فاينمان-Richard Feynman» أنه عندما تبدأ المكونات الإلكترونية في الوصول إلى المقاييس المجهرية، تحدث التأثيرات التي تنبأت بها ميكانيكا الكم والتي كما وضح أنه يمكن استغلالها في تصميم حواسيب أكثر قوة. يأمل باحثو الكم في تسخير ظاهرة تُعرف باسم التراكب. والتراكب هو المصطلح المستخدم لوصف حالة كمية. توضح وجود الجسيمات في حالات متعددة في نفس الوقت وهو ما يسمح للحواسيب الكمية بالتعامل مع العديد من المتغيرات المختلفة في نفس الوقت.

‏ ‏دور ميكانيكا الكم

تم تطوير ميكانيكا الكم بين عامي 1900 و1925، وهي تظل حجر الزاوية الذي ترتكز عليه في النهاية الكيمياء، وفيزياء المادة، والتقنيات مختلفة مثل رقائق الحاسوب وحتى إضاءات الليد LED. على الرغم من هذه النجاحات حتى بعض أبسط الأنظمة بدت وكأنها تتجاوز قدرة الإنسان على النمذجة بميكانيكا الكم. فمحاكاة أنظمة بضع عشرات من الجسيمات المتفاعلة تتطلب قوة حوسبة أكبر مما يمكن أن يوفره أي حاسوب تقليدي، وسيستغرق آلاف السنين لتنفيذ المحاكاة.

فرق جوهري

عليك معرفة أن الحوسبة الكلاسيكية موجودة في كل مكان حولنا من الهواتف المحمولة إلى الحواسيب الفائقة. ما تعتمد عليه هذه الأجهزة هو أنواع مختلفة من البرامج مثل أنظمة التشغيل والتطبيقات ومتصفحات الويب. لكن، إذا كان لدينا كل هذه القوة الحاسوبية، لماذا قد نحتاج إلى حاسوب كمي؟

ببساطة، على الرغم من قوة الحواسيب الكلاسيكية وقدرتها على حل المشكلات في الجبر وحساب التفاضل والتكامل وغيرها أسرع من الإنسان، لكن لا يزال هناك العديد من المشاكل المعقدة التي لا حل لها. ما زلنا نحتاج إلى الكثير من الوقت والموارد لحلها.

فمثلًا تواجه الحواسيب الكلاسيكيّة صعوبة في تمثيل المعلومات المرتبطة بالروابط الكيميائية. يرجع ذلك إلى أن جميع المكونات في الجزيء مترابطة مع بعضها البعض. لذلك، إذا قمت بالعبث في ذرة في جزئ، فإن باقي مكونات الجزئ ستتأثر. على سبيل المثال الكافيين، وهو مجرد جزيء مكوّن من 24 ذرة. سنحتاج إلى 10 ^ 48 بت لتمثيل الكافيين وهو ما يفوق قدرات أفضل حاسوب كلاسيكي.

نهايةً، سيحل الحاسوب الكمي الناتج عن الحوسبة الكمية مشاكل التطبيقات الكيميائية مثل اكتشاف مواد البطاريات، وإنتاج الأسمدة، واكتشاف الأدوية، ومتانة المواد. إضافة إلى مشاكل في تحليل بيانات السوق المالية، وتطبيقات الصناعة، وتحسين النقل أيضًا. ستساعد الحوسبة في توفير أنظمة تشفير أكثر قوة. فتتمثل أهمية الحوسبة الكمية في تخزين المعلومات في الحالات الكمية للمادة واستخدام عمليات البوابة الكمية لحساب تلك المعلومات من خلال تسخير وتعلم “برمجة” التداخل الكمي. وانتظرنا في المقالات المُبسطة القادمة؛ لمعرفة المزيد عن الحوسبة الكمية.

المصادر

نظرية الرسوم البيانية

كتب الفيلسوف وعالم الرياضيات الشهير «جوتفريد دبليو لايبنيز-Gottfried W. Leibniz» رسالة بعثها إلى «كريستيان هويجنز-Christian Huygens» يقول فيها: “أنا لا أكتفي بالجبر، لأنه لا يقدم أقصى البراهين ولا أجمل التركيبات الهندسية. نحن بحاجة إلى نوع آخر من التحليل الهندسي أو الخطي يتعامل مباشرة مع الموضع، إذ يتعامل الجبر مع المقدار”.

كانت هندسة المواقع لـ لايبنيز -المعروفة اليوم باسم مجال الطوبولوجيا- بطيئة في التطور، ومن بعد ذلك أتى «ليونارد بول أويلر-Leonhard Paul Euler» بورقته البحثية التي مثلت نقطة البداية لنظرية الرسوم البيانية أو المخططات والطبولوجيا. كانت تلك الورقة تتحدث عن حل مشكلة جسور كونيجسبيرج الشهيرة وتُّعد تلك الورقة الأولى في تاريخ الرسوم البيانية.

لقد أنشأ أويلر الرسم البياني لمحاكاة مكان وحالة معينة وهي حل مشكلة كونيجسبيرج التي تُّعد واحدة من أصعب المشكلات. تطورت النظرية من ورقة أويلر وأصبحت نظرية قوية وعميقة ولها دور كبير في تطبيقات العلوم الفيزيائية والبيولوجية والاجتماعية. فنظرية الرسوم البيانية هي فرع من فروع الرياضيات تهتم بشبكات النقاط المتصلة بخطوط. وسنعرف معنى هذا التعريف بدقة في السطور التالية. لمعرفة مشكلة جسور كونيجسبيرج تفصيليًا؛ تابع ذلك المقال: مشكلة جسور كونيجسبرج.

معنى الرسم البياني

الرسم البياني هو زوج من المجموعات (V ، E)، حيث V هي مجموعة الرؤوس. E هي مجموعة الحواف التي تربط أزواج الرؤوس.

وجب علينا معرفة أنه يوجد أنواع مختلفة من الرسوم البيانية في الرياضيات والأحصاء. لتمثيل البيانات في شكل تصويري وأكثر تلك الأنواع شيوعًا هي الرسوم البيانية:

الإحصائية.
الأسية.
اللوغاريتمية.
المثلثية.
الرسم البياني لتوزيع التردد.

في وسعنا استخدام كل هذه الرسوم البيانية في أماكن مختلفة؛ لتمثيل مجموعة محددة من البيانات. لكن لا يُشير مصطلح الرسم البياني إلى مخططات البيانات مثل الرسوم الخطية أو الرسوم البيانية الشريطية. بل يُشير إلى مجموعة من الرؤوس (نقاط أو عقد) والحواف أو الخطوط التي تربط بين تلك الرؤوس.

رسوم بيانية أصعب من رسوم أويلر: الرسوم البيانية الهاميلتونية

المسار الهاميلتوني هو مسار في الرسم البياني غير الموجه أو الموجه الذي يزور كل رأس مرة واحدة بالضبط. إذ اخترع عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام روان هاميلتون لغزًا (لعبة إيكوسيان) وقام ببيعه لاحقًا إلى شركة مصنعة للألعاب مقابل 25 جنيهًا إسترلينيًا. تضمن اللغز العثور على نوع خاص من المسار، يُعرف باسم دائرة هاميلتون.

جولة الفارس هي مثال آخر على مشكلة ترفيهية تتضمن حلبة هاميلتونية. كانت الرسوم البيانية الهاميلتونية أكثر صعوبة في التوصيف من الرسوم البيانية لأويلر، إذ أن الشروط الضرورية والكافية لوجود دائرة هاميلتونية في رسم بياني متصل لا تزال غير معروفة.

النظرية والطوبولوجيا

أدى الارتباط بين نظرية الرسم البياني والطوبولوجيا إلى حقل فرعي وهو «نظرية الرسم البياني الطوبولوجي». هناك مشكلة مهمة في هذا المجال تتعلق بالرسوم البيانية المستوية. هذه هي الرسوم البيانية التي يمكن رسمها كمخططات نقطية وخطية على مستوى (أو على نحو مكافئ كـ كرة) بدون أي حواف متقاطعة باستثناء الرؤوس حيث تلتقي.

الرسوم البيانية الكاملة التي تحتوي على أربعة رؤوس أو أقل تكون مستوية، لكن الرسوم البيانية الكاملة ذات الخمسة رؤوس أو أكثر ليست كذلك. لا يمكن رسم الرسوم البيانية غير المستوية على مستوى أو على سطح كرة بدون حواف تتقاطع مع بعضها البعض بين الرؤوس.

نما استخدام الرسوم البيانية للنقاط والخطوط؛ لتمثيل الرسوم البيانية في الواقع من الكيمياء في القرن التاسع عشر، إذ تشير الرؤوس ذات الحروف إلى الذرات الفردية والخطوط المتصلة التي تشير إلى الروابط الكيميائية، حيث كان للاستواء نتائج كيميائية مهمة. كان الاستخدام الأول في هذا السياق للرسم البياني إلى الإنجليزي جيمس سيلفستر في القرن التاسع عشر، وهو أحد علماء الرياضيات العديدين المهتمين بإحصاء أنواع خاصة من الرسوم البيانية التي تمثل الجزيئات.

بعض من تطبيقات النظرية

الكيمياء: نظرية الرسوم البيانية الكيميائي هي الفرع الطوبولوجي للكيمياء الرياضية الذي يُطبق النظرية على النمذجة الرياضية للظواهر الكيميائية.

الفيزياء: تستخدم نظرية الرسوم البيانية كذلك في دراسى الجزئيات، فمثلًا في فيزياء المادة المكثفة يمكننا دراسة البنية ثلاثية الأبعاد للهياكل الذرية المحاكاة المعقدة بشكل كمي من خلال جمع الإحصائيات حول الخصائص النظرية للرسم البياني المتعلقة بطوبولوجيا الذرات.

علم الطب والأحياء: تستخدم نظرية الرسوم البيانية في الأدوية وتحديد دور البروتينات أو الجينات ذات الوظيفة غير المحددة.

الهندسة الكهربائية: تُستخدم مفاهيم نظرية الرسوم البيانية على نطاق واسع في تصميم توصيلات الدوائر يتم تسمية أنواع الاتصالات أو تنظيمها على أنها طبولوجيا.

علوم الكمبيوتر: تستخدم نظرية الرسوم البيانية لدراسة الخوارزميات، مثل:«خوارزمية كروسكال-Kruskal’s Algorithm».«خوارزمية بريم-Prim’s Algorithm».«خوارزمية ديكسترا-Dijkstra’s Algorithm».

النظرية واللغويات: تستخدم شجرة تحليل اللغة وقواعد اللغة الرسوم البيانية.

كذلك يمكن تمثيل الطرق بين المدن باستخدام الرسوم البيانية. بأمكاننا استخدام تصوير المعلومات المرتبة الهرمية مثل شجرة العائلة كنوع خاص من الرسم البياني.

المصادر

ما هي تطبيقات الطوبولوجيا وأنواعها؟ وكيف بدأت؟

يرجع ظهور الطوبولوجيا، كمجال في الرياضيات، إلى تحليل المواقع للفرنسي «هنري بوانكاريه-Henri Poincaré». وبالرغم من أن العديد من الأفكار الطوبولوجية، ظهرت خلال القرن ونصف القرن الماضي ،إلا أن «Geometria sites»، التي تعني هندسة المواقع، قد استخدمها عالم الرياضيات السويسري «ليونارد أويلر-Leonhard Euler»، في عام 1735 لوصف حله لمشكلة جسور كونيجسبرج. إذ إن عمل أويلر في هذه المشكلة، هو بداية نظرية الرسم البياني. التي تشترك في العديد من الأفكار مع الطوبولوجيا. لكن ما هي تطبيقات الطوبولوجيا وما أنواعها؟ هذا ما سنعرفه في المقال التالي.

ما هي الطوبولوجيا ببساطة؟

‏الطوبولوجيا هي فرع من فروع الرياضيات. تُسمى أيضًا باسم «هندسة الألواح المطاطية». يتم اعتبار أي شكلين متكافئين طوبولوجيًا، إذا كان بإمكاننا تشويههما أو تغيير شكلهما كالمطاط . يتم ذلك من خلال حركات مثل الانحناء، والالتواء، والتمدد، والانكماش. دون السماح بتمزيقهما أو لصق أجزاء منهما ببعضهما.

ماذا يهم الطوبولوجيا؟

الموضوعات الرئيسة التي تهم الطوبولوجيا، هي الخصائص التي تظل ثابتة دون تغيير، بسبب أي تشوه يحدث لها. وتختلف الطوبولوجيا عن الهندسة بالرغم من تشابهما.

في الهندسة، تكون الأشكال كالدوائر، والأشكل متعددة السطوح، أجساما صلبة. إذ إن الأشكال المكافئة هندسيًا، غالبًا ما تشترك في الكميات المقاسة عدديًا مثل الأطوال والزوايا، بينما الأشكال الطوبولوجية تشبه بعضها البعض أكثر بالمعنى النوعي. حيث تعتبر الأشكال أشياء مرنة كما لو كانت مصنوعة من المطاط.

الطبولوجي حر في تمديد وتحريف الشكل. الكرة والمكعب أشكال هندسية مميزة، ولكن بالنسبة إلى الطوبولوجي لا يمكن تمييزهما.
‏
‏ إذا كنت تسعى إلى إثباتٍ رياضيٍّ بأن القميص والسروال مختلفان. فيجب عليك اللجوء إلى الطوبولوجيا.
‏
‏التفسير عندئذ سيكون: لديهم أعداد مختلفة من الثقوب.

أنواع الطوبولوجيا

أولًا: الطوبولوجيا العامة أو طبولوجيا النقاط

الطوبولوجيا العامة، هي فرع الطوبولوجيا الذي يتعامل مع التعريفات، والتركيبات الأساسية، لنظرية المجموعات المستخدمة في الطوبولوجيا. وهي الأساس في معظم الفروع الأخرى للطوبولوجيا، بما في ذلك الطوبولوجيا التفاضلية، والطوبولوجيا الهندسية، والطوبولوجيا الجبرية.

ثانيًا: الطوبولوجيا الاندماجية

تأخذ الطوبولوجيا الاندماجية في الاعتبار، الخصائص العامة للمساحات التي اُنشأت من شبكة من الرؤوس والحواف والوجوه. تُعد الطوبولوجيا الاندماجية أقدم فرع من فروع الطوبولوجيا. يعود تاريخها إلى أويلر، حينما أثبت أن الفراغات المتكافئة طوبولوجيًا، لها نفس الثابت العددي، والذي نسميه الآن صيغة أويلر.

ثالثًا: الطوبولوجيا الجبرية

نشأت فكرة ربط الأشياء أو الهياكل الجبرية بالفراغات الطوبولوجية، في وقت مبكر من تاريخ الطوبولوجيا. كان الحافز الأساسي في هذا الصدد، هو إيجاد ثوابت طوبولوجية مرتبطة بهياكل مختلفة. أبسط مثال على ذلك هو صيغة أويلر.

تأخذ الطوبولوجيا الجبرية الخصائص العامة للمساحات أيضا، وتستخدم أشكالًا جبرية مثل الحلقات للإجابة عن الأسئلة الطوبولوجية. إذ تقوم بتحويل المشكلة الطوبولوجية إلى مشكلة جبرية لحلها بشكل أسهل، فمثلًا من خلال الاختلاف في مجموعات التماثل يمكننا التمييز بين شكلين.

يوجد أفرع للطوبولوجيا الجبرية مثل:

-الطوبولوجيا التفاضلية.

-‏نظرية العقدة.

-‏الطوبولوجيا الهندسية.

تطبيقات الطوبولوجيا

‏تُستخدم الطوبولوجيا في العديد من فروع الرياضيات، مثل المعادلات القابلة للتفاضل، والأنظمة الديناميكية، ونظرية العقدة، وسطوح ريمان في التحليل المعقد. كما أنها تستخدم في نظرية الأوتار في الفيزياء، ولوصف بنية الكون والمكان.

تساعدنا طوبولوجيا الشبكات على فهم:

– العناصر المختلفة لشبكاتنا ومكان اتصالهم.
– ‏توضح لنا كيف يتفاعلون، وما يمكن أن نتوقعه من أدائهم.

الطوبولوجيا، شرطٌ رئيسيُّ لنظام المعلومات الجغرافية، لإدارة البيانات وسلامتها. بشكل عام، يدير نموذج البيانات الطوبولوجية العلاقات المكانية، عن طريق تمثيل الأشكال المكانية (معالم النقطة والخط والمساحة)، كرسم بياني أساسي للأولويات الطوبولوجية، العقد والوجوه والحواف. تدخل الطوبولوجيا أيضًا في علم الأحياء التطوري ، وذلك لتمثيل العلاقة بين النمط الظاهري والنمط الجيني. يمكن فصل الأشكال المظهرية التي تبدو مختلفة تمامًا عن طريق عدد قليل من الطفرات. اعتمادًا على كيفية تعيين التغييرات الجينية، لتغيرات النمط الظاهري أثناء التطور.
في الكيمياء، توفر الطوبولوجيا طريقة لوصف البنية الجزيئية والتنبؤ بها.
في فيزياء الكم، تُسخر التكنولوجيا فيزياء الكم لإجراء العمليات الحسابية بشكل أسرع، إذ ‏اقترح الفيزيائي «أليكسي كيتاييف-Alexei Kitaev» الكمبيوتر الكمومي الطوبولوجي في عام 1997، والذي سيُساعد على حل مشكلات، لا تستطيع حلها أجهزة الكمبيوتر العملاقة. ففي الحوسبة الكمومية، البت الكمي أو الكيوبت هو الوحدة الأساسية للمعلومات الكمومية. وتأتي الأنظمة الطوبولوجية لتوفر أحد الحلول لمشكلة الدقة وجعل الكيبوتات مستقرة. إذ إن أحد الألغاز في الحوسبة الكمومية، هو عدم استقرار الكيوبت.

المصادر

مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة

حصد كل من المجري لازلو لوفاس والإسرائيلي آفي ويغدرسون على جائزة أبيل لعام 2021 في الرياضيات وكانت مساهمتهما متعلقة بنظرية الرسومات التي وضع فيها العالم ليونارد أويلر حجر الأساس وفي مقالنا هذا سنتعرف على مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة التي غيرت تاريخ الرياضيات.

يُعد «ليونارد أويلر-Leonhard Euler» عالم رياضيات وفيزيائي سويسري، وأحد مؤسسي الرياضيات البحتة، لم يقدم فقط مساهمات في موضوعات الهندسة وحساب التفاضل والتكامل والميكانيكا ونظرية الأعداد بل طور أيضًا طرقًا لحل المشكلات في علم الفلك الرصدي وقدم تطبيقات في التكنولوجيا وله الدور الرئيس في تبسيط مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة.

مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة، إنها لغز رياضي نشأ في مدينة كونيجسبيرج الروسية القديمة (كالينينجراد، روسيا حاليًا) وأدت تلك المشكلة إلى تطوير فروع الرياضيات المعروفة باسم الطوبولوجيا ونظرية الرسومات. لذا دعنا عزيزي القارئ قبل أن نتعرف على مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة أن نأخذ نبذة عن كل من الطوبولوجيا ونظرية الرسومات.

ما هي الطوبولوجيا؟

تدرس الطوبولوجيا خصائص المساحات الثابتة التي تخضع لتشوه وسُميت بذلك لأن الأشياء يمكن أن تتمدد وتتقلص مثل المطاط. لكن لا يمكننا كسرها فمثلًا يمكن أن يتحول المربع إلى دائرة وبهذا نقول أن المربع مكافئ طوبولوجيًا للدائرة. تُعتبر فرعًا جديدًا نسبيًا من الرياضيات، إذ أن معظم الأبحاث في الطوبولوجيا منذ عام 1900.

فيما يلي بعض فروع الطوبولوجيا

الطوبولوجيا

العامة أو طوبولوجيا النقاط.
الاندماجية وهو أقدم فرع من فروع الطوبولوجيا.
الجبرية.

نظرية الرسومات

نظرية الرسومات هي فرع من فروع الرياضيات يهتم بشبكات النقاط المتصلة بخطوط وكان موضوع نظرية الرسومات بدأ في مسائل الرياضيات الترفيهية. لكنه سرعان ما تتطور وأصبح مجالًا مهمًا للبحث الرياضي وارتبط بتطبيقات في الكيمياء والعلوم الاجتماعية وعلوم الكمبيوتر.

يمكننا إرجاع تاريخ نظرية الرسومات تحديدًا لعام 1735، عندما قام عالم الرياضيات السويسري أويلر بتبسيط مشكلة جسور كونيجسبيرج.

ما حكاية مشكلة جسر كونيجسبيرج؟

في أوائل القرن الثامن عشر، كان مواطنو كونيجسبيرج يسيرون على الترتيب المعقد للجسور عبر مياه نهر بريجيل، إذ احتوى نهر بريجيل على جزيرتين. ربُطت الجزر والجزئين من البر الرئيسي بسبعة جسور.

لكن تبادر سؤال في أذهان المواطنين ألا وهو.. ألا يمكن أن يتجول المرء في المدينة بطريقة يعبر فيها كل جسر مرة واحدة فقط!

أويلر يغير مستقبل الرياضيات!

وصلت تلك المشكلة لعالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر في عام 1735. إذ بسطها إلى شبكة من النقاط تمثل الجزر، والجسور تمثل خطوطًا وأثبت أن ما يريده المواطنون مستحيل. لأن كل نقطة أو كتلة أرضية بها عدد فردي من الجسور متصل بها. أي أنه لابد أن يكون عدد الجسور زوجيًا إذا أردنا السير فوق كل جسر مرة واحدة فقط.

استغرق الأمر ما يقرب من 150 عامًا قبل أن يتخيل علماء الرياضيات مشكلة جسر كونيجسبيرج كرسم بياني. يتكون من عقد (رؤوس) تمثل كتل اليابسة والأقواس (الحواف) التي تمثل الجسور. تحدد درجة رأس الرسم البياني عدد الحواف الواقعة عليه، وفي نظرية الرسومات الحديثة، يجتاز مسار أويلر كل حافة من حواف الرسم البياني مرة واحدة فقط. بالتالي، فإن تأكيد أويلر على أن الرسم البياني الذي يمتلك مثل هذا المسار يحتوي على أكثر من رأسين من الدرجة الفردية كان أول نظرية في نظرية الرسومات.

وصف أويلر عمله بأنه «هندسة المواقع-Geometria situs». أدى عمله في هذه المشكلة وبعض أعماله اللاحقة مباشرة إلى الأفكار الأساسية للطوبولوجيا التوافقية، والتي أشار إليها علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر باسم تحليل المواقع. تعد نظرية الرسومات والطوبولوجيا مجالات رئيسية للبحث الرياضي.

ترتبط تواريخ نظرية الرسومات والطوبولوجيا ارتباطًا وثيقًا، ويتشارك المجالان في العديد من المشكلات والتقنيات الشائعة.

المصادر

مفارقة الشنق غير المتوقع

المفارقة الرياضية هي عبارة أو مجموعة من العبارات تبدو متناقضة مع نفسها ولكن في نفس الوقت تبدو منطقية تمامًا! إذ أنه يوجد العديد من البراهين التي تستخدم كدليل على التناقض. في هذا المقال سنتعرف على مفارقة شغلت الكثير من العقول وأصبحت معروفة لأول مرة في أوائل الأربعينيات، ومازلت تشغل بال الفلاسفة وعلماء الرياضيات وهي مفارقة الشنق غير المتوقع لذا دعونا نبدأ بقصة قصيرة ومثيرة.

قصة القاضي والسجين

يخبر القاضي يوم السبت سجينًا متهمًا بقضية قتل قطة، أنه سيُشنق ظهرًا في أحد أيام الأسبوع التالي، وأن الإعدام سيكون مفاجأة للسجين. يبدأ السجين في التفكير في عقوبته، ويتوصل إلى أنه سينجو من الشنق! لكن كيف استنتج ذلك؟

كيف فكر السجين؟

يبدأ باستنتاج الشنق المفاجئ أنه لا يمكن أن يكون يوم الجمعة، حيث إذا لم يتم إعدامه يوم الخميس، فلن يكون هناك خيار سوى أن يُعدم يوم الجمعة، لأنه اليوم الأخير في الأسبوع. لذا إذ نُفذ الحكم يوم الجمعة؛ فلن يُفاجأ، لذلك يستبعد السجين أن يُعدم يوم الجمعة. لكن هذا يعني أن الإعدام يجب أن يتم يوم الخميس أو الأربعاء أو الثلاثاء أو الإثنين. بالاستنتاج الأخير المتعلق بيوم الجمعة، وبتلك الحجة يستبعد الخميس أيضًا كأحد الأيام المُحتملة للإعدام. بمجرد استبعاده الخميس، يسمح ذلك باستبعاد الأربعاء، وبمجرد استبعاد الأربعاء يستمر بنفس الحجة ويستبعد باقي أيام الأسبوع وبذلك يستنتج أنه لن يُعدم.

نهاية تخالف منطق السجين!

في الأسبوع التالي، يُطرق باب زنزانة السجين ويتم أخذه بظهر يوم الأربعاء، ويُعدم! كل ما قاله القاضي تحقق.

ذلك التناقض معروف بأسماء عدة منها مفارقة الشنق غير المتوقعة أو مفارقة الاختبار المفاجئ أو التنبؤ. هنالك العديد من الأوراق البحثية حول تلك المفارقة، إلا أنه لا يوجد إجماع للآن على حل صحيح.

لكن أحد الحلول الممكنة يتعلق بغموض مصطلح «مفاجأة» لا يوجد تعريف رياضي لـ «المفاجأة».

مثال أخر

تؤدي المفارقات المنطقية المثيرة للدهشة عادة إلى مناقشات بحثية حول أسس الرياضيات. مثال بسيط مشابه لمثال السجين: في القرن السادس قبل الميلاد، زعم الكريتي «إبيمينيدس_Epimenides» أن جميع الكريتيين كاذبون، وذلك يعني أن جميع البيانات التي نقلها وتحدث فيها الكريتيون خاطئة. يتضح هنا أيضًا أنه بما أن إبيمينيدس كان كريتيًا؛ فإن ما قاله خاطئ. وبذلك فإن قوله الأول متناقض مع الذات.

نهجان لتوضيح مفارقة الشنق غير المتوقع!

‏لكن دعونا نعرض نهجان منتشران لتوضيح تلك المفارقة وهما نهج المدرسة المنطقية والمدرسة المعرفية.

المدرسة المنطقية

تحاول المدرسة المنطقية توضيح أن المنطق الذي يفكر به السجين خاطئ، ويتضح أن الخلل في منطق السجين وتيقنه بأن الشنق لن يحدث. إذ أن القاضي حكم بأنه يتم شنق السجين الأسبوع المقبل ولن يتم معرفة وقت الشنق، فتسمح تلك الصيغة للسجين بالاستنتاج أن الإعدام لن يتم يوم الجمعة، ولتتأكد حجة السجين واستمراره في استبعاد بقية أيام الأسبوع… يتعين على القاضي إضافة طابع رسمي كقوله “سيتم شنق السجين الأسبوع المقبل ولن يكون تاريخه قابلًا للاستنتاج مسبقًا بإعلان القاضي”. لذلك إعلان القاضي مرجعي ذاتي ويكشف الخلل في المفارقة.

المدرسة المعرفية

على نحو أخر، تتخذ المدرسة المعرفية نهجًا متركزًا على أسئلة حول ماهية معرفة شيء ما، أي أن ما تبينه هو أن هنالك فرق بين تأكيد القاضي على صحة شيء ما ومعرفة السجين أنه صحيح.

الجدال القائم

يجادل نوعان من البشر لهم آراء مختلف:

الأول:

أن هناك اختلافات بين تخيل المستقبل وتجربته أي فرق بين عمليات التفكير التي استنتج بها السجين والحكم الذي اصدره القاضي.

الثاني:

أن المفارقة هي نسخة من «مفارقة مور_Moore’s paradox» والتي يمكننا التعبير عنها من خلال تقليل عدد الأيام المحتملة إلى يوم واحد فقط.

أين يكمن التناقض؟

ما زال الحل غير موجود ولكن هل التناقض حقًا يكمن في أقوال القاضي أم أن منطق السجين به خلل ؟

المصادر
brilliant
britannice
oxfordreference
jstor
medium

العلاقة بين الفن والرياضيات

العلاقة بين الفن والرياضيات

يمكننا الجمع بين عالم الجماليات والعاطفة والإحساس وعالم المنطق والدقة والحقيقة، سنجد ذلك في العلاقة بين الفن والرياضيات إذ استطاع الكثيرون على مر العصور الجمع بينهم.

سنأخذك عزيزي القارئ في مغامرة فنية بها الرياضيات خفية! سنتعرف على سبع علاقات بين الرياضيات والفن.

فن الثلج

يعد «سيمون بيك_Simon Beck» فنانًا للمناظر الطبيعية، فقد درس الهندسة قبل أن يتحول إلى المجالات الإبداعية. إذ يتجول سيمون في التضاريس المغطاة بالثلوج لإنشاء أعمال ذات أنماط هندسية. ليس ذلك فحسب بل ابتكر أعمالًا معقدة على الرمال أيضًا. لكن نظرًا لقيود السفر أو الحياة القصيرة لأعماله الفنية، يوثق بيك ذلك بالتقاط الصور.

‏هناك معايير يوضحها سيمون للرسم على الثلج وهي أن تكون الشمس غير مشرقة بلا غائبة، لكن ليس كثيرًا بحيث يكون جزء من الرسم في الظل ويجب أن يكون الثلج خفيفًا ورقيقًا وألا يكون هناك رياح. إذ أنه وضح أن حوالي 12 رسمة دُمرو بسبب الرياح. إذا لاحظنا فسنجد أن الفن على الثلج أثبت حضوره، سنجد رجل الثلج على سبيل المثال في التاريخ والأدب والفن، سواء كان ذلك مذكور في مخطوطة من القرن الرابع عشر أو رجل ثلج أقل شهرة للنحات الإيطالي مايكل أنجلو. فقد ساد فن الثلج لفترة طويلة المجال الاجتماعي والإبداعي.

الرسوم الحاسوبية

‏يستخدم الإيراني «حميد نادري يغانيه» الصيغ الرياضية لخلق إيحاءات معقدة بواسطة الكمبيوتر. إذ درس الرياضيات وله بضع سنوات مهتم بفن الرياضيات. لقد استخدم علم المثلثات لرسم أشكال متناظرة تتكون من خطوط ودوائر وإنشاء العديد من الصور بوظائف الجيب وجيب التمام. كما جعل الصيغ والرسوم التوضيحية الخاصة به مفتوحة للجمهور على موقعه على الويب حتى يتمكن أي شخص من إنشاء صيغة خاصة وفي حد قوله لنشر قوة الرياضيات.

الفركتلات

الفركتلات هي أنماط تتكرر على مستويات عدة وينشأ عنها دوامات وخطوطًا ومنحنيات لا تنتهي. أوضح «توم بيدارد فابرجيه_Tom Beddard Fabergé» أنه أنشأ الفركتلات ثلاثية الأبعاد بواسطة الصيغ التكرارية وتقوم تلك الصيغ بالتحكم بالمساحة وطيها أو تغيير حجمها أو تدويرها أو قلبها.

كان المشروع الأخير المسمى بـ «Fabergé Fractals»، يبرز جمال الرياضيات والتركيبة الهندسية والتكنولوجية ثلاثية الأبعاد التي تمكنه من إنشاء صور واقعية لدرجة كبيرة مثل بيضته المزخرفة وتتميز إبداعات بيدارد بأنماط تصميم رائعة ومعقدة.

تصنيف مميز للفركتلات!

ابتكر كل من «ليز بلاكنشيب-Liz Blakenship» و«دانيال أشلوك-Daniel Ashlock» تصنيفًا كاملًا للفركتلات بالرسوم التوضيحية. ويطلق على ذلك التصنيف «Lsystem fractal» إذ أنه عبارة عن أشكال هندسية تحتوي على نسخ أصغر غير نهائية. وتلك واحدة من التصنيفات العديدة لكلا من دانيال أشلوك وليز بلاكنشيب للفركتلات.

نماذج هنري سيجرمان ثلاثية الأبعاد

حصل عالم الرياضيات الأسترالي «هنري سيجرمان_Henry Siegman» على درجة الماجستير في الرياضيات من جامعة أكسفورد ومن ثم الدكتوراة وكان عالم رياضي وفنان، إذ وضح تعقيدات الهندسة ثلاثية الأبعاد والطوبولوجيا -مجالات خبرته- في شكل نحتي.

أنشأ هنري رسومًا توضيحية ونماذج مطبوعة ثلاثية الأبعاد تعبر عن الصيغ والمفاهيم الرياضية، لمساعدة طلابه على فهمها بشكل أفضل. يستخدم برنامجًا للنمذجة ثلاثية الأبعاد يسمى «Rhinoceros»، وعادة ما يُستخدم لتصميم المباني والسفن، والسيارات….

نماذج مشروع Hevea للتضمين متساوي القياس

عتبر التضمين متساوي القياس أمرًا معقدًا بعض الشيء لفهمه، لكنه كان عملاً أساسيًا قام به عالم الرياضيات «جون ناش» مع «نيكولاس كويبر»، وهو يشرح كيف يمكن احتواء العالم بأسره في حبة رمل. يُظهر ناش وكويبر أنه من خلال تحريك السطح بشكل كافٍ وبسلاسة لا يُسمح بالتجعيد أو الطي أو التمزيق! يمكنك الحصول على نسخة متساوية القياس من كرة تنس أصلية مثلا، وكلها موجودة داخل نصف قطر النانومتر. قام فريق فرنسي من علماء الرياضيات يطلقون على أنفسهم اسم مشروع (Hevea) بإنشاء إنشاءات رقمية.

احتفال بالهبوط على المريخ!

إذا كان هنالك شيء جميل كالفن الرياضي، فهو الفن الرياضي المرتبط باستكشاف الفضاء. تلك الصورة أنشأها الفنان الشهير ومهندس ناسا السابق «كيري ميتشل» في عام 2012 للاحتفال بمركبة كيوريوسيتي التي هبطت على سطح المريخ. على الرغم من أنها تبدو وكأنها لوحة عادية، إلا أن ميتشل يخلق كل فنه باستخدام الخوارزميات والفركتلات.

يلتقي علماء الرياضيات والفنانون كل عام في مؤتمر «الجسور_Bridges» المعبر عن الروابط الرياضية في الفن والموسيقى والعلوم، وهو مهرجان يحتفل بالروابط بين الرياضيات والفنون. تأسست منظمة الجسور في عام 1998 تحت قيادة عالم الرياضيات بجامعة توسون «رضا سرهنجي» بهدف تعزيز العمل متعدد التخصصات في الرياضيات والفن.‏

يتضمن المؤتمر عروضاً تقديمية حول مواضيع متنوعة مثل تصور الموسيقى، واستخدام الأعمال الفنية في الرياضيات وتصوير الفضاء. بالإضافة إلى ورش عمل حول تأليف الفن والشعر باستخدام الرياضيات، وأمسية موسيقية، وجلسات مسرحية وشعرية تجريبية، ومعرض فنون بصرية.

المصادر

نظرية الألعاب التطورية

نظرية الألعاب التطورية

ما هي نظرية الألعاب؟

هل بوسعك أن تحلل جميع المشاكل الاجتماعية والاقتصادية مستخدمًا إطار وحيد؟

نظرية الألعاب هي فرع من فروع الرياضيات توفر أدوات لتحليل المواقف التي يتخذ فيها اللاعبين قرارات معينة، إذ تصف النظرية القرارات المُثلى للاعبين الذين قد يكون لديهم اهتمامات متشابهة أو متعارضة أو مختلطة وتصنف نتائج تلك القرارات، وتعتمد على استراتيجيات الأفراد الآخرين، ولا يتحكم أي فرد في قرار الأخر.

طُبقت نظرية الألعاب على علوم عدة من العلوم الاجتماعية الإنسانية وعلوم الهندسة الطبيعية. إذ تهتم نظرية الألعاب بالمشاكل الاجتماعية، إذ أنك لست الوحيد المتخذ لقرار ما لانك تتعامل مع آخرين. كل منهم يعتمد على تصرف الخصم. لذلك فإن نظرية الألعاب تتبنى نماذج رياضية لتتنبأ كيف سيتصرف الناس في مثل هذه المواقف الاستراتيجية، فالنظرية تدرس سلوك الناس في المواقف الاستراتيجية.

أمثلة توضيحية

لكن دعني عزيزي القارئ أوضح موضوع نظرية الألعاب، لذا سأطرح عليك سؤالين في البداية:

السؤال الأول، هناك حملة سياسية بين الديموقراطيين والجمهوريين، فمن الذي سيفوز؟ وكيف ستدار سياسة كل منهما؟

السؤال الثاني: ماذا يحدث لو انشأنا طريق جديد بين س وص كيف سيؤثر ذلك على المرور على الطريق الحالي وكيف توفر وقت السفر بين س و ص؟

نظرية الألعاب تقدم لك طريق موحد لكل المشاكل الاجتماعية، فيمكنك وضع العراك السياسي بين الحزبين عن هيئة نموذج رياضي بسيط.

في المثالين السابقين، ستعتمد على حدسك لتجد الإجابة فبذلك تجد نهج موحد يمكن تطبيقه على جميع المشاكل الاجتماعية، فالمشترك بين كل المسائل الاجتماعية هو أن الافراد يحاولون عمل أفضل ما بوسعهم ضد الاخرين ولكن هناك قواعد واجب الالتزام بها كمثال المعركة بين الديموقراطيين والجمهوريين، يمكنهم نداء الناس من خلال منصتهم ولكن لا يمكنهم رشوتهم! لذا فكل مشكلة اجتماعية لديها قواعد.

المشاكل الاجتماعية في قالب رياضي

لنصيغ الآن المشاكل الاجتماعية في شكل نموذج رياضي للعبة، لماذا سنحتاج برأيك؟

نحتاج أن نحدد ثلاث عناصر:

‏الأول: يجب أن نحدد من سيشارك في المسألة/المشكلة الاجتماعية وهم اللاعبون.

‏الثاني: يجب أن تحدد ما يستطيع كل لاعب أن يفعله في المسألة الاجتماعية وما ستحدده يُسمى “الإستراتيجية”، أي لاعب في مسأله اجتماعية يتخذ استراتيجية معينة.

الثالث: تحدد نتائج كل لاعب.

هذه الإستراتجيات ستوضح لنا ما هي نظرية الألعاب التطورية ولكن دعنا نتعرف على العلاقة بين النظرية وعلم الأحياء التطوري.

الحصول على الغذاء

يستخدم علماء الأحياء نظرية الألعاب لتوضيح النتائج التطورية للتفاعلات، إذ يحاول علماء البيئة التطوريون فهم العلاقات السلوكية المعقدة بين الكائنات الحية أثناء تفاعلها للحصول على الموارد (غذائها). إذ تتراوح هذه التفاعلات من العدائية إلى التعاونية، وتحدث أيضًا حالات استغلال وإيثار.

يستثمر الكائن الحي طاقته في مواجهاته اليومية مع غيره من الحيوانات، كما يسثتمرها أيضًا في التعاون مع أفراد نوعه للحصول على الموارد الغذائية المختلفة، مما يجعله يستهلك طاقة للحصول على الطاقة. كما أن تجنب الكائن الحي لاستهلاك الطاقة يمكن أن يكون مكلفًا إذا فَنيت الطاقة ولم يصل الكائن إلى الموارد التي استثمر فيها طاقته مثل ركضه خلف حيوان أسرع منه أو صعوده شجره صعبة للوصول لثمرة في مكان عال.

الطاقة التي تُستغل هي تكلفة على الكائن الحي، والموارد هي الفوائد. تؤدي استراتيجيات التفاعل المختلفة مثل القتال أو التعاون إلى مكافآت مختلفة بناءً على طبيعة التفاعل.

الأعلى لياقة هو من يفوز!

يتعامل علماء البيئة التطورية مع هذه الاستراتيجيات (ولنرجع هنا لإستراجيات النظرية الموضوعة في قالب رياضي ولاحظ التشابهة) على أنها أنماط ظاهرية. تعمل الكائنات الحية الأكثر نجاحًا على زيادة مواردها وزيادة قدرتها على التكاثر. إذ يتميز الكائن الذي يتمتع بأفضل استراتيجية تفاعل بأعلى لياقة. نظرًا لأن استراتيجية التفاعل (النمط الظاهري) يمكن أن ترتبط ارتباطًا مباشرًا باللياقة، إذ يتم تفضيل الاستراتيجية المُثلى في ظل الانتقاء الطبيعي.

يمكن التعامل مع التفاعلات بين الكائنات الحية ذات الاستراتيجيات المتنافسة أو المتطابقة على أنها ألعاب مع لاعبين متعددين. نظرًا لأن التفاعلات البيولوجية تشمل اثنين أو أكثر من صناع القرار (أي الأفراد الذين لديهم استراتيجيات).

كيف بدأت نظرية الألعاب التطورية؟

تم تطوير نظرية اللعبة التطورية لأول مرة بواسطة «رونالد فيشر_Ronald Fisher». أثناء محاولته لشرح المساواة التقريبية لنسبة الجنسين (نسبة الذكور إلى الإناث) في الثدييات. كان اللغز الذي واجهه فيشر هو لماذا تتساوى نسبة الجنسين تقريبًا في العديد من الأنواع. إذ لا تتزاوج غالبية الذكور مطلقًا؟

في هذه الأنواع، يبدو أن الذكور غير المتزوجين هم عبء زائد يحمله بقية السكان، وليس لهم فائدة حقيقية. أدرك فيشر أنه إذا قمنا بقياس اللياقة الفردية من حيث العدد المتوقع للأحفاد. سنجد أن اللياقة الفردية تعتمد على توزيع الذكور والإناث في السكان. عندما يكون هناك عدد أكبر من الإناث في السكان. يكون لدى الذكور لياقة فردية أعلى، وعندما يكون هناك عدد أكبر من الذكور في السكان، تتمتع الإناث بلياقة فردية أعلى.

أشار فيشر إلى أنه في مثل هذه الحالة، تؤدي الديناميكيات التطورية إلى أن تصبح نسبة الجنس ثابتة عند أعداد متساوية بين الذكور والإناث.

حقيقة أن اللياقة الفردية تعتمد على التكرار النسبي للذكور والإناث في السكان تُقدم عنصرًا استراتيجيًا في التطورات. يمكن فهم حجة فيشر من الناحية النظرية، لكنه لم يذكرها بهذه المصطلحات.

قدم «ريتشارد ليوونتين-Richard Lewontin» عام 1961 أول تطبيق صريح لنظرية اللعبة في علم الأحياء التطوري في “Evolution and the Theory of Games”. حدد «ماينارد سميث-Maynard Smith» في عام 1972 مفهوم الاستراتيجية التطورية المستقرة.

ظهر بحث ماينارد سميث الأساسي “التطور ونظرية الألعاب” في عام 1982، ومن بعده بوقت قصير عمل «روبرت أكسلرود-Robert Axelrod» الشهير “تطور التعاون” في عام 1984. ومنذ ذلك الحين، تزايد اهتمام الاقتصاديين وعلماء الاجتماع بالنظرية.

نهجان لنظرية الألعاب التطورية

النهج الأول مستمد من عمل ماينارد سميث وبرايس ويستخدم مفهوم الاستراتيجية المستقرة تطوريًا كأداة رئيسية للتحليل.

يبني النهج الثاني نموذجًا واضحًا للعملية التي يتغير بها تواتر الاستراتيجيات في السكان ويدرس خصائص الديناميكيات التطورية ضمن هذا النموذج.

وبالتالي يمكن أن يوفر النهج الأول تحليلًا مفاهيميًا ثابتًا للاستقرار التطوري. “ثابت” لأنه على الرغم من تقديم تعريفا ت الاستقرار التطوري، فإن التعريفات المتقدمة لا تشير عادةً إلى العملية الأساسية التي تتغير بها السلوكيات (أو الاستراتيجيات) في السكان. على العكس من ذلك، لا يحاول النهج الثاني تحديد مفهوم الاستقرار التطوري. بمجرد تحديد نموذج لديناميكيات السكان، يمكن تطبيق جميع مفاهيم الاستقرار القياسية المستخدمة في تحليل الأنظمة الديناميكية.

تزداد أهمية نظرية الألعاب التطورية مع مرور الوقت وأصبحت ذات أهمية قصوى لدى الاقتصاديين وعلماء الاجتماع وعلماء الأنثروبولوجيا وكذلك الفلاسفة. اهتمام علماء الاجتماع بها مثلًا مربوط بالتطور الذي عالجته نظرية الألعاب وليس من الضروري أن يكون تطورًا بيولوجيًا.

المصادر
Sciencedirect
Nature
Cousera