تبهرنا ميكانيكا الكم يومًا بعد يوم، فتحل لنا هذه المرة لغزًا منذ 243 عامًا! ففي عام 1779، طرح عالم الرياضيات السويسري الشهير ليونارد أويلر لغزًا يُسمى (36 ضابط لأويلر). ووضح أويلر بنفسه أنه من المستحيل حله ولكن بعد كل تلك الأعوام. استطاع باحثون حله ولكن ما هو هذا اللغز بالضبط؟ وكيف حُل لغز أويلر كميًا بعد 243 عامًا! هذا ما سنعرفه في السطور التالية من مقالنا.
ما لغز الـ 36 ضابط؟
احضر ورقة وقلم، وتخيل معي أنك تقود جيشًا من ستة أفواج وكل فوج يتضمن ستة ضباط من ست رتب مختلفة. فكيف يمكنك ترتيب الضباط في مربع 6×6 بحيث في كل صف وكل عمود في المربع ضابط واحد فقط من كل فوج ومن كل رتبة؟ بعد تجربتك في حل ذلك اللغز ستجد أنه من المستحيل أن لا تحصل عملية التكرار. على عكس لو جربت ذلك وأنت لديك خمسة أو سبعة أفواج من ضباط من خمس أو سبع رتب، فستجد أن ذلك له حل. ودعني أوضح لك عزيزي القارئ أن أويلر وهو صانع هذا اللغز، وضح أن ذلك الترتيب للستة ضباط مستحيل كما ذكرنا.
قد يذكرك لغز الـ 36 ضابطًا بالمربعات اللاتينية، والمربع اللاتيني هو مجموعة مربعة من الرموز (أرقام أو أحرف…) يظهر فيها كل رمز مرة واحدة فقط في كل صف وعمود أيضًا، وإذا دمجت مربعين لاتينيين من نفس الحجم برموز مختلفة. فسينتج عن ذلك مربع أويلر ويحتوي على أزواج من الرموز. بحيث يظهر كل رمز في الزوج مرة واحدة بالضبط في كل صف أو عمود. فقد تتذكر لعبة السودوكو والتي وجب أن لا تتكرر الرموز فيها. فهنالك العديد من الألغاز المماثلة التي شغلت الناس لأكثر من 2000 عام واستُخدمت هذه المربعات في الفن والتخطيط الحضري وللمتعة.
محاولات لحل اللغز، لكن دون جدوى
أدرك أويلر أن حل اللغز سيعطينا مربعًا لاتينيًا 6×6. فقد جاء الكثيرون بعد أويلر ولم يتمكنوا من حل ذلك اللغز. أيضًا، أثبت عالم الرياضيات الفرنسي «غاستون تاري-Gaston Tarry» أنه ليس هناك طريقة لترتيب 36 ضابطًا في مربع 6×6 دون تكرار. لكن في عام 1960، استخدم علماء الرياضيات الحواسيب؛ لإثبات وجود حلول لأي عدد من الأفواج والرتب الأكبر من اثنين وكان الرقم ستة مُستثنى وكان ذلك غريبًا بالنسبة لهم.
حل لغز ضباط أويلر بعد 243 عامًا!
مؤخرًا، نُشرت ورقة بحثية على الإنترنت وأُرسلت إلى Physical Review Letters. إذ أوضح فيها مجموعة من علماء فيزياء الكم من الهند وبولندا أنه من الممكن ترتيب 36 ضابطًا مع الإيفاء بمعايير أويلر ويمكن الحصول على مزيج كمي من الرتب والأفواج للضباط. فنتيجة ذلك سلسلة من التطويرات في الألغاز والمربعات اللاتينية وليست مجرد متعة ولعب. فعلينا أن نشير أن بداية العصر الجديد من اللغز الكمي عام 2016. حيث بدأ عندما كان لدى «جيمي فيكاري-Jamie Vicary» من جامعة كامبريدج وتلاميذه فكرة حول إمكانية أن تكون الإدخالات التي تظهر في المربعات اللاتينية كمية.
سحر ميكانيكا الكم
قد تبنى علماء الفيزياء النظرية والرياضيين المربعات اللاتينية الكمية. ففي عام 2021، ابتكر الفيزيائيان الفرنسيان «أيون نيتشيتا-Ion Nechita» و«جوردي بيلت-Jordi Pillet» نسخة كمية من سودوكو. فبدلًا من استخدام الأعداد الصحيحة من 0 لـ 9، تأتي لتحوي كل من الصفوف والأعمدة والمربعات الفرعية في السودوكو تسعة متجهات عمودية. ففي ميكانيكا الكم، يمكن للإلكترونات على سبيل المثال أن تكون في (تراكب) لحالات متعددة. فأيضًا مدخلات المربعات اللاتينية الكمية قد تكون في تلك الحالة (حالة التراكب). رياضيًا، تمثل الحالة الكمية بمتجه (له طول واتجاه) مثل السهم والتراكب هو ذلك السهم. فهكذا المدخلات في المربعات اللاتينية قد يكون للمدخل الواحد أكثر من قيمة.
ضباط أويلر كميين
في النسخة الكلاسيكية من اللغز، مطلوب إدخال ضابط من كل رتبة وفوج محددين جيدًا، وسنتصور أن الضباط الـ 36 على أنهم قطع شطرنج ملونة. فيمكن أن تكون رتبتهم ملكة أو ملكًا أو حصانًا (فارسًا) أو جنديًا (بيدقًا) أو قلعة (رخًا) أو غيرها من قطع الشطرنج المتنوعة وتمثل الأفواج الألوان كما بالصورة الأحمر أو البرتقالي أو الأصفر أو الأرجواني أو الأزرق أو الأخضر. فوجب ترتيب تلك القطع داخل مربع 6×6 ولا يحدث تكرار في أي صف أو عمود من فوج أو رتبة.
النسخة الكمية من لغز أويلر
لكن في النسخة الكمية، يتشكل الضباط من تراكبات الرتب والأفواج، كيف ذلك؟ يمكن أن يكون الضابط تراكبًا لملك أحمر وملكة برتقالية مثلًا، أي في الوقت ذاته، قد يكون الضابط شاغلًا لأكثر من رتبة أو فوج. كذلك يحمل الضباط مبدأ التشابك، أي إذا كان الملك الأحمر متشابكًا مع ملكة برتقالية، فحتى لو كان الملك والملكة في حالة تراكب لأفواج متعددة. فإن ملاحظة الملك الأحمر سيخبرك بأن الملكة برتقالية وبسبب غرابة طبيعة التشابك. يمكن أن يكون الضباط على طول كل خط عموديًا.
الآن بعد كل ذلك، كان على مؤلفي الورقة بناء مصفوفة 6×6 مليئة بضباط الكم بمساعدة الحاسوب، فتوصل الباحثون لحل شبه كلاسيكي أي ترتيب الـ 36 ضابطًا كلاسيكيًا مع تكرار عدد قليل من الرتب والأفواج في عمود أو صف. وطبقوا خوارزمية غيرت الترتيب نحو حل كمي وتعمل الخوارزمية مثل حل مكعب روبيك، إذ تصلح الصف الأول، ثم العمود الأول ومن ثم العمود الثاني وهكذا… وعندما كرروا الخوارزمية مرارًا وتكرارًا. في النهاية وصل الباحثون لنقطة يمكنهم فيها رؤية النمط وملء الإدخالات القليلة المتبقية يدويًا.
ما قد يثير الدهشة ونهايةً لمقالنا عزيزي القارئ، أن إحدى السمات المدهشة لهذا الحل وفقًا لأحد المؤلفين المشاركين وهو «سهيل رازر-Suhail Rather» وهو فيزيائي في المعهد الهندي للتكنولوجيا. أن المفاجأة هي المعاملات التي تظهر في مداخل المربع اللاتيني الكمي وكيف أن نسبة المعاملات التي استقرت عليها الخوارزمية كانت Φ أو 1.618 (النسبة الذهبية).
