يُعزى الفضل في النهضة الأوروبية إلى علوم منها التفاضل والتكامل. فلولاهما لما كنت تستخدم هاتفك الآن لقراءة هذا المقال مثلًا، فتطببقاتهما لا تُعد. فنحن بحاجة دائمة إليهما لفهم نماذج المناخ أو النمو السكاني أو انتشار الأمراض أو آليات حل النزاعات أو التعامل مع الأزمات الاقتصادية والمالية وغيرها من الأمور. كما ستجد تطبيقاتهما في أغلب العلوم. إذ يمثل التفاضل والتكامل العمود الفقري للتعامل مع المشكلات. وفي هذا المقال ستعرف عن كيفية بدء التفاضل والتكامل؟ وما الفرق بينهما؟ إضافةً إلى التطرق لأحد أهم المفاهيم التي أسهمت في بناء التفاضل والتكامل. والتعرف على المعادلة الخاصة به ألا وهي النهايات Limits، كأحد أشهر المعادلات الرياضية في التاريخ.
ما هو التفاضل والتكامل؟
باختصار، يقيس التفاضل والتكامل معدل التغير الذي يحدث في كل ظاهرة بالكون تقريبًا. وينقسم إلى تكاملات ومشتقات. فالتكامل عملية عكسية للتفاضل، فالتفاضل معني بتقسيم الدالة إلى أجزاء، بينما يُستخدم التكامل لتوحيد تلك الأجزاء، لتشكيل الدالة الأصلية. أما هندسيًا، فيستخدم التفاضل والتكامل لإيجاد ميل المنحنى أو المساحة الواقعة أسفل المنحنى. ويعمل التفاضل على تحديد معدل التغيير كإيجاد ميل الدالة عند نقطة ما. بينما التكامل معني بإيجاد المنطقة الواقعة تحت منحنى دالة.
وهناك بنية تحتية تحمل هذين الفرعين وقبل معرفة أحد هذه الركائز وهي «النهايات-Limits». والآن، لنفهم جيدًا المراحل التي مر بها علم التفاضل والتكامل ومن أين خرجت لنا النهايات وما فائدتها؟
علماء التفاضل والتكامل
ربما مرت على مسامعك معلومة أن العالم البريطاني إسحاق نيوتن والعالم الألماني جوتفريد لايبنتز هما من وضعا المبادئ الأساسية للتفاضل والتكامل في القرن ال17، وطور كلا منهما هذه الأساسيات على نحو مستقل. لذلك نسب الفضل لكليهما في اختراع التفاضل والتكامل. وتأتي كلمة Calculus من اللاتينية والتي تعني الحجر الصغير مشيرة إلى “الحصى” التي استُخدمت قديمًا في العد من قِبل الإغريق. ولقد كتب «ستيفن ستروغاتز-Steven Strogatz» في كتابه Infinite Powers ساخرًا أن كلا من إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبتنز كانا يعانيان من حصوات. حيث كان يعاني نيوتن من حصوات في المثانة، ولايبتنز بحصوة في الكلى، ويالها من صدفة! المهم أن حساب التفاضل والتكامل كان مفتاحًا للعمل على قوانين نيوتن للحركة، والتي بدورها حفزت الثورة الصناعية. كما أنها أساسية لميكانيكا الكم، التي تدعم الثورة الحديثة في أجهزة الحاسوب والاتصالات. فكان تطور حساب التفاضل والتكامل ملبيًا للحاجة الماسة لمحاولات فهم الطبيعة. أي هندسة الخطوط والأسطح المنحنية، ودراسة الكواكب والتسارع والتباطؤ في مداراتها، وقوانين التغيير وغير ذلك.
ما قبل نيوتن ولايبتنز
لكن قد سعى الكثيرون من قبل نيوتن ولايبتنز، فقد ناقشها أرخميدس في اليونان القديمة وباسكارا الثاني في الهند. وقد طورا أفكارًا لحساب التفاضل والتكامل قبل القرن ال17 بفترة طويلة. لكن لم يتم الاعتراف بأفكارهم وفهم اكتشافاتهم الثورية أو ربما دفنتها أفكار أخرى.
وفي أوائل القرن ال 17، تنافس الكثير من العلماء مثل ديكارت وبيير دي فيرما على الجمع بين الهندسة والجبر. نجم عن تلك المنافسة هندسة تحليلية ضرورية لحساب التفاضل والتكامل بالوقت الحاضر. فنحن الآن نأخذ الرسوم البيانية التي تحتوي على متغير واحد على المحور x والآخر على المحور y كأمر مسلم به. بينما لم يكن من البديهي حينذاك أنه يمكنك رسم المعادلات بهذه الطريقة.
من أين أتى مفهوم النهايات Limits؟
استخدم الإغريق طريقة الاستنفاد، وهي طريقة لإيجاد مساحة الأشكال. وقد اشتهر أرخميدس باستخدام هذه التقنية لتقدير π وإيجاد مساحة سطح الدائرة. حيث وضع أشكال ذات أضلاع مستقيمة داخل الدائرة، لكن لم تعطِ هذه الطريقة تفسيرًا لغياب حساب تلك المساحات الصغيرة جدًا على الهامش داخل الدائرة. ومن هذه النقطة بالتحديد بدأ ظهور النهايات.
طريقة الاستنفاد
جاءت النهايات كي تعبر عن تلك المساحات الصغيرة جدًا في الهوامش، والتي مثلت مشكلة عند إيجاد مساحة أشكال كالدائرة. وهي نفس المشكلة التي عمل عليها علماء كثر وتعرف بإيجاد المماس أو المساحة تحت منحنى ما. فإذا عدنا لأرخميدس، فمهما قام بزيادة عدد الأضلاع، فستبقى هناك دائمًا مساحة صغيرة جدًا موجودة كما موضح بالصورة. ولكي تغطي الأضلاع جميع الدائرة دون أي مسافات، يجب أن تندمج نقطة البداية للضلع مع نقطة النهاية ويصبحا نقطة واحدة وذلك مستحيل رياضيًا. لأن عدد الأرقام على خط الأعداد الطبيعية لا نهائي، مهما كانت المسافة بين نقطتين صغيرة.
تلك هي نفس مشكلة الضلع الذي نود أن تتطابق نقطتيه. لذا وصل أرخميدس إلى نتيجة، وهي أن هناك رقم صغير جدًا مفقود، لكنه أكبر من الصفر. وهي نفس النتيجة التي توصل إليها أيضًا نيوتن ولايبتنز وأعطوها مصطلح «الأعداد متناهية الصغر-infinitesimal numbers». أتى العالم كوشي لاحقًا ليحل المشكلة التي ذكرناها، حيث لم يتمكن من سبقوه من حلها على نحو أدق. إذ أتى بمفهوم «النهايات-Limits». وجاء من بعده علماء مثل جورج كانتور للعمل أيضًا عليها. وتعدّ النهايات ركيزة أساسية لعلم التفاضل والتكامل بحق، فلماذا؟
إذًا ما هي النهايات Limits؟
تمثل النهاية -ويمكننا إطلاق اسم القيمة أو الحد عليها- فكرة التقارب. وتُستخدم لتعيين قيم دوال معينة في نقاط لا يمكن تحديد أي قيم فيها بالمرة. فمثلًا الدالة (x^2-1) / (x-1) غير معرفة عند x = 1. وذلك لأن القسمة على صفر ليست عملية رياضية صحيحة. لذلك، نحتاج إلى أن نعرف قيمة x التي تمكننا من تحليل البسط وقسمته على x-1 مع المقام لتجنب القسمة على الصفر، وهو ما سيعطينا x+1.
إذًا فحاصل القسمة سيساوي x+1 لجميع قيم x باستثناء 1والتي ليست لها قيمة. وعلى الرغم من ذلك، يمكننا تعيين 2 للدالة الأساسية ((x^2-1) / (x-1)) ليست كقيمتها عند x=1 لكن عندما تقترب x من 1.
وهذه هي معادلتنا الشهيرة:
نهايةً، وجب عليك معرفة أنك لن تتمكن من الإلمام بالنهايات أو بالتفاضل والتكامل عامة بعد تلك المقدمة المبسطة بالتأكيد! لكن إليك بعض المساقات والكتب التي قد تساعد على نحو كبير في تأسيسك في هذا العلم الرائع والصعب. كما يحتاج إلى التزام وصبر، كما ننصحك بالتمارين بعد كل جزء لفهم الأفكار والتطبيقات المختلفة.
هل تتذكر العمليات الحسابية مثل القسمة المطولة أو عملية الضرب التي تتكون من ضرب رقم أو أكثر في رقمين أو ربما أكثر. والتي قد تكون عقدة في حياة البعض من الطلاب في المرحلة الإبتدائية تحديدًا لوقتنا هذا. حيث أجرى العلماء عامة وعلماء الرياضيات خاصة، حساباتهم بتلك الطرق لمئات السنين والتي كانت تستغرق منهم وقتًا طويلًا. إضافةً إلى الاحتمالية في الخطأ. وقد استُبعدت هذه العمليات من علوم كثيرة لهذا السبب على سبيل المثال علم الفلك والملاحة وغيرها. لكن اكتشاف اللوغاريتمات حل مشكلة عدم الدقة وأحدث ثورة. وفي هذه المقالة سنناقش المعادلات اللوغاريتمية والتي هي جزء من سلسلتنا عن أشهر المعادلات الرياضية في التاريخ.
كيف ظهرت اللوغاريتمات؟
ظهرت اللوغاريتمات من خلال مقارنة المتواليات الحسابية والهندسية. حيث يشكل كل حد نسبة ثابتة مع الذي يتبعه. فمثلًا:
.. 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000 ..
في المتتالية الهندسية السابقة، النسبة المشتركة هي 10.
والآن لاحظ هذه المتتالية:
… 3, 2 ,1 , 0, 3- ,2- ,1- …
هنا الفرق المشترك هو 1، وهذه هي المتتالية الحسابية -التي تعتمد على الفرق والجمع-، على عكس المتتالية الهندسية -التي تعتمد على القسمة والضرب-.
كذلك يمكن كتابة التسلسل الهندسي للمتتالية الأولى على النحو التالي:
فضرب رقمين في المتتالية الهندسية مثل 10/1 و100، سيساوي جمع الأسس للنسبة المشتركة 1- و2؛ للحصول على:
وبالتالي يتساوى الضرب مع الجمع، لكن على الرغم من ذلك فإن المقارنة الأصلية بين المتتاليتين لم تستند على أي استخدام صريح للتدوين الأسي. لذا نشر عالم الرياضيات السويسري «جوست بورجي-Joost Burgi» عام 1620 أول جدول يستند على مفهوم ربط المتتاليات الهندسية والحسابية.
عالم الرياضيات السويسري جوست بورجي
من هو مكتشف اللوغارتيمات؟
نشر عالم الرياضيات الاسكتلندي «جون نابير-John Nabier-» عام 1614 جدوله الخاص باللوغاريتمات، حينها أحدث هذا الاكتشاف ثورة في العمليات الحسابية. كذلك وبشكل مستقل، يُقال أن عالم الفلك الشهير يوهان كيبلر اكتشف اللوغارتيمات أيضًا. لكن نابير هو من نشر أولًا. وكان هدف نابير المساعدة في مضاعفة الكميات التي كانت تسمى الجيب. كان الجيب هو قيمة ضلع مثلث قائم الزاوية به وتر كبير. وبالتعاون مع عالم الرياضيات الإنجليزي هنري بريجز، قام نابير بتعديل اللوغاريتمات الخاصة به إلى شكلها الحديث.
عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير
توفي نابير في عام 1617 واستمر بريجز بمفرده، وجاء علماء من بعده مثل الهولندي «أدريان فلاك-Adriaan Vlacq» ومصطلح اللوغاريتمات مصاغ من الكلمات اليونانية logos (نسبة) وarithmos (عدد).
ما هي اللوغارتيمات؟
تُعرّف اللوغاريتمات على أنها طريقة أخرى للتفكير في الأسس، حيث تربط التقدم الهندسي بالتقدم الحسابي. إذ تصف اللوغاريتمات كيف يفكر البشر غريزيًا في الأرقام. وبشكل أخر إن اللوغاريتم هو عبارة عن عملية حسابية تحدد عدد المرات التي تم فيها ضرب رقم معين -يُسمى الأساس- في نفسه وصولًا إلى رقم آخر (كمعرفة عدد المرات التي تحتاجها لطيّ ورقة للحصول على 64 طبقة).
مثال: إذا كان الرقم 2 (الأساس) مضروب في 4 (الأس) فعلينا ضرب 2*2*2*2 لتساوي 16، فإن التعبير عن ذلك من خلال المعادلة الأسية يكون:
ولنفترض أن شخص سألك بصيغة أخرى، ما الرقم الذي إذا رفعناه للرقم 2 (أي أس 2) يكون الناتج 16؟ سيكون جوابك 4. ويتم التعبير عن ذلك بالمعادلة اللوغارتيمية:
وتُقرأ لوغارتم 16 للأساس 2 يساوي 4.
ما هي أنواع اللوغاريتمات؟
– اللوغاريتم المشترك
يُعرف باسم اللوغاريتم العشري أو العام أو briggsian (نسبة إلى عالم الرياضيات الإنجليزي «هنري بريغز-Henry Briggs»، حيث يحدد اللوغاريتم المشترك عدد المرات التي مطلوب فيها ضرب الرقم 10 للحصول على الناتج بمعنى آخر لوغاريتم أي عدد بالنسبة للأساس (الثابت) عشرة). ويكتب على هذا النحو:
وأحيانًا يكتب بدون الأساس عشرة وستجدها في الآلة الحاسبة حيث يشير عدم وجود أساس أن الأساس عشرة.
اللوغاريتم الطبيعي
اللوغاريتم الطبيعي (ln) -الذي يحدد كم علينا ضرب العدد e للحصول على الناتج المطلوب- حيث e ثابت أويلر الذي يساوي 2.71828.
تُعرّف دالة اللوغاريتم الطبيعي بواسطة:
x > 0، فهو مشتق من:
قواعد اللوغاريتمات
قاعدة الضرب
توضح تلك القاعدة أن ضرب اثنين من اللوغاريتمات ببعضهما يساوي مجموعهما.
على سبيل المثال:
قاعدة القسمة
توضح تلك القاعدة أن قسمة اثنين من اللوغاريتمات تساوي طرحهم.
على سبيل المثال:
القاعدة الأسية
توضح تلك القاعدة أن لوغاريتم أي رقم مرفوع لأس يساوي الأس مضروبًا في لوغاريتمه.
على سبيل المثال:
قاعدة تغيير أساس اللوغاريتمات
توضح تلك القاعدة أنه يمكننا تغيير أساس اللوغاريتم.
على سبيل المثال:
قاعدة تبديل أساس اللوغاريتمات
توضح تلك القاعدة أنه يمكننا تبديل الأساس.
على سبيل المثال:
بعض قواعد الإضافية:
تطبيقات اللوغاريتمات
تطبيقات اللوغاريتمات عديدة وقد ذكرنا أن الهدف منها تبسيط الاحصاءات التي تحتوي على أرقام كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا فحتى بعد اختراع الآلات الحاسبة والحواسيب العملاقة ما زالت اللوغاريتمات مستخدمة لوقتنا، فتدخل اللوغاريتمات في معظم العلوم مثل علوم الحاسوب والكيمياء والفيزياء وبالطبع الرياضيات وفي حياتنا اليومية وإليك بعض الأمثلة.
– مثال من حياتنا، إذا أردت تحديد هل قيادة الدراجات بدون خوذة مخاطرة أقل أم القفز بالحبال في وادي ما، فستجد بيانات متوفرة مثل أن 20 ألف شخص يتوفى بسبب عدم ارتداء خوذة، كذلك لديك معلومة أخرى وأن مائة ألف شخص يتوفى بسبب القفز بالحبال. فهل هكذا القفز بالحبال أكثر أمانًا؟ إن الأرقام الكبيرة صعب معالجتها في أدمغتنا. لذا اللوغاريتمات تحل ذلك، فهيا لنستخدمها. حيث يمكننا وضع مقياس مثلًا من 1 لـ 10. فيكون 1 هو الأكثر خطورة و10 الأكثر أمانًا. فيمكننا التعبير عن ذلك بأن لوغاريتم 20 ألف للأساس عشرة وهذا سيساوي 4.3 ولوغاريتم 100 ألف للأساس عشرو سيساوي خمسة. وسنستنج بطريقة منطقية وخالية من الاحتمال ودقيق أن القفز بالأحبال أكثر أمانًا بقليل من ركوب الدرجات بغير خوذة. هذا دور الخوارزميات وهذا مثال بسيط حيث تظهر أهميتها ودقتها أكثر في احصائيات صعب استيعاب ارقامها وفي علوم تحتاج لدقة.
– مثال آخر من الكيمياء، إذا أردت معرفة حموضة أو قلوية مادة ما فاللوغاريتمات ستساعدك. فعلى سبيل المثال يحتوي الماء على 1*10 أس 7- مول من أيونات الهيدروجين لكل لتر، فهل هو حامضي؟ لذا هناك مقياس وهو الأس الهيدروجيني الذي يعالج الأعداد الصغيرة جدًا. ويتراوح بين 0 و14. فالماء محلولًا متعادلًا برقم هيدروجيني 7. لذلك المقايس التي تضعها اللوغاريتمات هي حل لرؤى واضحة.
Explaining Logarithms: A Progression of Ideas Illuminating an Important Mathematical Concepts, Dan ,UmbargerBrown Books Publishing Group (January 1, 2006), P (1:25)
تعود دراسة الاحتمال كفرع من الرياضيات إلى أكثر من 300 عام، إذ نشأ بسبب الأسئلة المتعلقة بألعاب الحظ مثل لعبة رمي النرد… وفي هذا المقال سنعرض مقدمة في قوانين الاحتمالات، إذ أن تعلمها هو جزء مهم لاستيعاب علوم كثيرة مثل الطب والفيزياء وعلوم الحاسوب والحوسبة الكمية وحتى في حياتنا اليومية في اتخاذنا للقرارات.
التجربة: هي أي نشاط أو عملية، تخضع نتيجتها إلى عدم اليقين (أي أننا لسنا متأكدين من نتيجتها بنسبة 100٪). على الرغم من أن كلمة “التجربة” تُشير عامة إلى حالة اختبار معملية مخطط لها أو خاضعة للرقابة، لكن نستخدمها في علم الاحتمال على نحو أوسع.
في تجارب مثل رمي عملة معدنية مرة واحدة أو عدة مرات، واختيار بطاقة أو بطاقات من مجموعة، والتأكد من وقت التنقل من المنزل إلى العمل في صباح يوم معين، والحصول على فصائل الدم من مجموعة من الأفراد، وغيرها.
ما هو «فضاء العينة-Sample space» في التجربة؟
فضاء العينة: مجموعة من جميع النتائج المحتملة لتجربة عشوائية، تُمثل بالرمز “S”، نكتب النتائج في قوسين هكذا “{}”.
مثال: عند رمي قطعة نقود، فإن هناك نتيجتين وهما «الرأس والذيل (صورة وكتابة)-Head and Tail»، إذًا فإن فضاء العينة لتلك التجربة سيكون:
S = {H,T}= {Head, Tail}.
وعند رمي العملة مرتين، سيكون عدد النتائج المحتملة أربعة. سنفرض أنهم H1, T1 للمرة الأولى وH2 وT2 للمرة الثانية، فيكون فضاء العينة:
S = {(H1, H2), (H1, T2), (T1, H2), (T1, T2)}.
ويمكنك تحديد النتائج بدقة بأنه لو كان لديك عدد n من العملات، فإن عدد النتائج المحتملة 2 أس n.
رمي عملة مرتين
فإذا رميت عملة معدنية ثلاث مرات متتالية، فإن (n = 3). فسيكون عدد النتائج المحتملة (8 = 3^2).
رمي عملة معدنية ثلاث مرات
مثال آخر: عند رمي قطعة نرد واحد، فهي لها 6 أوجه أي 6 نتائج، لذا ففضاء العينة سيكون: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ما هي «الأحداث-Events» في التجربة؟
في دراسة الاحتمال، لا نهتم فقط بالنتائج التي في فضاء العينة ككل بل أيضًا بمجموعات مختلفة من النتائج من فضاء العينة.
«الحدث-Event»: هو أي مجموعة (مجموعة فرعية) من النتائج -لتجربة معينة- الموجودة في فضاء العينة، يكون الحدث بسيطًا إذا كان يتكون من نتيجة واحدة بالضبط ومركبًا إذا كان يتكون من أكثر من نتيجة. ويقع احتمال وقوع أي حدث بين 0 و1.
مثال: عند رمي عملة ثلاث مرات متتاليات، فإن فضاء العينة سيكون:
S = {(T, T, T), (T, T, H), (T, H, T), (T, H, H ), (H, T, T ), (H, T, H), (H, H, T), (H, H, H)}.
فإذا أردنا إيجاد النتائج التي تحوي رأسان فقط (H) على الأقل، فستكون هكذا:
وهذا هو الحدث، مجموعة فرعية من فضاء العينة يُرمز له بـ (E).
ما هو احتمال وقوع الحدث؟
ذكرنا سابقًا أن احتمال وقوع أي حدث يكون بين 0 و1، فـ 1 إذا كان احتمال وقوع الحدث مؤكدًا بنسبة 100٪ و0 إذا كان العكس (التجارب العشوائية مثل رمي قطعة نرد لا تخضع لأي من الرقمين لكن نتيجة وقوع أي حدث تكون بينهما). لذا فببساطة، نحصل على احتمال حدث معين A من تجربة من عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها A مقسومًا على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. ففي المثال السابق يكون احتمال وقوع حدث أن تكون هناك رأسان على الأقل هو: 8÷4= 2÷1.
أنواع الأحداث في الاحتمال
ذكرنا في البداية أن هناك نوعين أساسيان وهما المركب والبسيط وسنتعرف عليهم بالتفصيل وعلى أنواع أخرى من الأحداث الاحتمالية المهمة.
«أحداث مؤكدة ومستحيلة-Impossible and Sure Events»
إذا كان احتمال حدوث حدث هو 0، فإن هذا الحدث يُسمى حدثًا مستحيلًا وإذا كان احتمال حدوث حدث هو 1، فإنه يُسمى حدثًا مؤكدًا. بمعنى آخر، المجموعة الفارغة ϕ هي حدث مستحيل وفضاء العينة S هي حدث أكيد.
«أحداث بسيطة-Simple Events»
يُعرف أي حدث يتكون من نقطة واحدة (outcome or sample point or element or member) من فضاء العينة بأنه حدث بسيط في الاحتمال. فمثلًا:
إذا كان S = {5, 6, 7, 8, 9} و E = {7}، فإن E هو حدث بسيط.
«أحداث مركبة-Compound Events»
على النقيض من الحدث البسيط، إذا كان أي حدث يتكون من أكثر من نقطة واحدة من فضاء العينة، فإن هذا الحدث يسمى حدثًا مركبًا. فمثلًا:
S = {5, 6, 7, 8, 9}, E1 = {5, 6}, E2 = {7, 8, 9}.
إذن E1 وE2 يمثلان حدثان مركبان.
«الأحداث المستقلة والتابعة-Independent and Dependent Events»
إذا كان وقوع أي حدث لا يتأثر بحدوث أي حدث آخر، تُعرف هذه الأحداث على أنها «أحداث مستقلة» وتعرف الأحداث التي تتأثر بأحداث أخرى بـ «الأحداث التابعة».
«أحداث متنافية-Mutually Exclusive Events»
إذا كان وقوع حدث واحد يستبعد حدوث حدث آخر، فإن مثل هذه الأحداث تكون «أحداثًا متنافية-Mutually exclusive events» (أي لا يوجد أي نقطة مشتركة بين حدثين). فمثلًا، إذا كانت
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
وE1 وE2 حدثين، حيث:
E1 = {1, 2, 3} – E2 = {4, 5, 6}.
فهنا لا يوجد أي نقاط مشتركة، فـ E1 وE2 حدثان متنافيان.
«أحداث شاملة-Exhaustive Events»
الأحداث الشاملة هي مجموعة من الأحداث في فضاء العينة بحيث يحدث أحدها على نحو إلزامي أثناء إجراء التجربة. أي أن جميع الأحداث المحتملة في فضاء عينة من التجربة تشكل أحداثًا شاملة. فمثلًا، أثناء إلقاء عملة معدنية، هناك نتيجتان محتملتان. لذلك، فإن هاتين النتيجتان، هما حدثان شاملان لأن أحدهما سيحدث بالتأكيد أثناء قلب العملة. وليس من الضروري أن يكون للأحداث احتمالية متساوية لتكون شاملة، فعند رمي حجر نرد هناك 6 نتائج وهم {1, 2, 3, 4, 5, 6} وسيكون أي من هذه الأرقام هو النتيجة بالتأكيد، فإن كل هذه النتائج الست هي أحداث شاملة. لذلك، فأن اتحاد الأحداث الشاملة يعطي فضاء العينة بأكملها.
«الأحداث التكميلية-Complementary Events»
لأي حدث E1، يوجد حدث آخر ‘E1 والذي يمثل العناصر المتبقية من فضاء العينة S.
E1 = S – E1′.
مثال: إذا رمينا حجر نرد، فسيكون فضاء العينة:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
إذا كان الحدث E1 يمثل جميع النتائج التي تكون أكبر من 4، فإن E1 = {5, 6} و E1‘= {1, 2, 3, 4}.
وبالتالي فإن ‘E1 هو مكمل للحدث E1، وبالمثل مكملة E1, E2, E3… En هي’E1′, E2’, E3’… En.
الأحداث المرتبطة بـ “أو-OR”
إذا ارتبط حدثان E1 و E2 بـ «أو-OR»، فهذا يعني أنه إما E1 أو E2 أو كلاهما. يستخدم رمز الاتحاد (∪) لتمثيل «أو-OR» في الاحتمال. بالتالي، يشير الحدث E1 U E2 إلى E1 أو E2.
الأحداث المرتبطة بـ “و-And”
إذا ارتبط حدثان E1 و E2 بـ «و-AND»، فهذا يعني تقاطع العناصر المشتركة لكلا الحدثين. يستخدم رمز التقاطع (∩) لتمثيل «و-AND» في الاحتمال.بالتالي، فإن الحدث E1 ∩ E2 يشير إلى E1 و E2.
الحدث E1 – E2
يمثل رمز (-) الفرق بين كلا الحدثين. فحينما نقول E1 – E2 نقصد جميع النتائج الموجودة في E1 والتي ليست موجودة في E2. فمثلًا:
E1 = {2, 4, 6}, E2 ={2, 3, 6}. E1 – E2 ={4}.
ما هي أنواع الاحتمال؟
هناك أنواع مختلفة من الاحتمالات بناءً على طبيعة النتيجة أو النهج المتبع أثناء العثور على احتمال وقوع حدث ما. يمكن دراسة نظرية الاحتمالات بعدة طرق وسنبدأ بثلاث طرق أساسية وهما:
الاحتمال النظري (الكلاسيكي)
الاحتمال النظري هو المرتبط بالنظرية الكامنة وراء الاحتمال. للعثور على احتمال وقوع حدث باستخدام الاحتمال النظري، لا يلزم إجراء تجربة. فهو يعتمد على الرياضيات البحتة. فمثلًا إذا كان لدينا صندوق يحوي 10 كرات حمراء وزرقاء، فإن بالاحتمال النظري احتمال سحب كرة حمراء هو 10/20 = 1/2. (عدد الكرات الحمراء على المجموع الكلي للكرات).
الاحتمال التجريبي
الاحتمال التجريبي هو احتمال يتم تحديده على أساس سلسلة من التجارب. نُجري تجربة عشوائية ونُكررها عدة مرات لتحديد احتمالية حدوثها ويعرف كل تكرار على أنه تجربة. ففي المثال السابق بعد تجربة السحب السادسة وجدنا أن 4 من الكرات المسحوبة حمراء واثنين من الكرات زرقاء، هنا اختلفت النتائج عن الاحتمال النظري.
الاحتمال البديهي
الاحتمال البديهي هو نظرية احتمالية موحدة، يحدد مجموعة من البديهيات (القواعد) التي تنطبق على جميع أنواع الاحتمالات، بما في ذلك الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري. البديهيات الثلاثة هي:
البديهية الأولى: توضح أن بالنسبة لأي حدث A، يكون احتمال A أكبر من أو يساوي الصفر، لأنه كما ذكرنا أن أي حدث يقع بين 0 و1 و0 حدث مستحيل الوقوع و1 مؤكد الوقوع.
البديهية الثانية: توضح أن جميع النتائج المحتملة في فضاء العينة تساوي 1.
البديهية الثالثة: توضح أنه إذا كان A1 و A2 نتيجتان متنافيتان، فإن:
P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2).
لذا فاحتمال حدوث A1, A2, A3… يساوي مجموعهم.
مقدمة في قوانين الاحتمالات
وهكذا انتهينا من المقدمة في قوانين الاحتمالات، دعونا نختم بهذا المثال المجمع والذي ستتضح فيه تفاصيل أخرى، حيث هناك أنوا أخرى، فقد تكون الاحتمالات إما هامشية أو مشتركة أو مشروطة، وفهم الاختلافات بينهم هو مفتاح لفهم أسس الإحصاء (انظر للصورة أدناه).
مقدمة في قوانين الاحتمالات
«الاحتمال الهامشي-Marginal probability»
احتمال وقوع حدث P(A)، يُنظر إليه على أنه احتمال غير مشروط. لا يشترط على حدث آخر.
مثال: احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة صفراء من 52 بطاقة صفراء وحمراء (26 منها حمراء و26 منها صفراء) هو 1/2. والقوانين في الأعلى -بالصورة- في الاحتمال الهامشي هي الأساسية كما وضحنا سابقًا.
«الاحتمال الشرطي-Conditional probability»
يُعرَّف الاحتمال الشرطي بأنه احتمال وقوع حدث أو نتيجة، بناءً على حدوث حدث أو نتيجة سابقة، والصيغة العامة:
P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
أو
P(B|A) = P(A∩B)/P(A).
مثال:
S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ={2,4, 6}, B ={2, 3}.
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (1/6)÷(2/6) = 1/2.
(احتمال أن A يحدث بشرط أن يحدث B، أولًا التقاطع يساوي عدد عناصر الحدث على فضاء العينة، وP(B) يساوي عدد العناصر على فضاء العينة).
«نظرية بايز-Bayes Theorem»
هي نظرية في الاحتمالات والإحصاءات، سميت على اسم عالم الرياضيات البريطاني «توماس بايز-Thomas Bayes»، في القرن الثامن عشر والتي تساعد في تحديد احتمال وقوع حدث يعتمد على بعض الأحداث التي حدثت بالفعل. نظرية بايز لها العديد من التطبيقات مثلًا في قطاع الرعاية الصحية؛ لتحديد فرص تطوير المشاكل الصحية مع زيادة العمر.
تنص نظرية بايز على أن الاحتمال الشرطي لحدث A، نظرًا لحدوث حدث B آخر، يساوي ناتج احتمالية B، مع الأخذ في الاعتبار A واحتمال A.
الفرق بين صيغة الاحتمال الشرطي ونظرية بايز
الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع حدث “A” يعتمد على وقوع حدث آخر “B”. الصيغة:
مقدمة في قوانين الاحتمالات
نظرية بايز: اشتقت نظرية بايز باستخدام تعريف الاحتمال الشرطي، تشتمل صيغة النظرية على احتمالين شرطيين. الصيغة:
مقدمة في قوانين الاحتمالات
«الاحتمال المشترك-Joint probability»
هو احتمال وقوع الحدث A والحدث B. أي احتمال تقاطع حدثين أو أكثر.
مثال: احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة صفراء (من 52 بطاقة و26 منهم حمراء و26 صفراء) وعليها الرقم 4 هو P (four and red) = 2/52 = 1/26، نفرض هنا أن B هو احتمال أن البطاقة صفراء وA هو احتمال ظهور الرقم 4.
P(A∩B) = P(A).P(B) = (4/52).(26/52) = 1/26.
السابق قانون التقاطع عندما نقول (بطاقة صفراء ورقم 4)، ماذا لو قلنا (بطاقة صفراء أو رقم 4)؛ حينها سنطبق قانون الاتحاد وقانون:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B).
من ثم عند الإتيان بالمكملة، نطرح كل ما سبق من 1، فإذا قلنا لا بطاقة حمراء ولا رقم 4؛ سيكون القانون التالي:
P(A’∩B’) = 1 – P(A).P(B).
وإذا قلنا لا بطاقة حمراء أو رقم 4، سيكون القانون التالي:
P(A’UB’) = 1 – P(A) + P(B) – P(A∩B).
«الاحتمال المنفصل-Disjoint probability»
وذلك يكون حينما يكون الحدثان متنافيين أو منفصلين ولا يحدث كلاهما في نفس الوقت، ومن أشهر الأمثلة هي عند رمي عملة واحدة مرة واحدة، فلن يظهر سوى وجه واحد ويستحيل ظهور الرأس والذيل معًا.
ولو فرضنا أن A تعبر عن عملات معدنية وB هو الطقس -حدثان متنافيان ولا علاقة لهم ببعضهما- ولاحظ القوانين التالية:
عند تقاطعهم سيعطينا المجموعة الخالية أو ϕ.
P(A∩B) = ϕ أو { }.
عند الاتحاد سيعطينا مجموعهما:
P(AUB) = P(A) + P(B).
«الأحداث المستقلة-Independent events»
سبق وذكرنا أن الأحداث المستقلة التي لا تعتمد على ما حدث من قبل، أي لا تتأثر هذه الأحداث بالنتائج التي حدثت سابقًا.
«الأحداث التابعة-Dependent events»
الأحداث التابعة هي التي تعتمد على ما حدث من قبل، أي تتأثر هذه الأحداث بالنتائج التي حدثت سابقًا، وإذا تغير حدث ما بالصدفة، فمن المحتمل أن يختلف الآخر. وتعبر (B|A)P أن احتمال حدوث B في حالة حدوث A أي يعتمد عليه. لاحظ القوانين بالصورة…
نهايةً، لو أردت «الاحتمال الكلي-Total probability» فهو يساوي مجموع كل الاحتمالات الموجودة.
المصادر
Jay L. Devore, Probability and statistics, Eighth Edition, Page (50:73).
تقطيع الكعك هو استعارة لمجموعة واسعة من المشاكل في عالمنا مثل تقسيم قطعة أرض وهناك طريقة معروفة منذ القدم للتقسيم والتي تعتمد على مبدأ (أنا أقطع، وأنت تختار). لكن هذا المبدأ خاضع لتفضيلات شخصية مثل تصرف والدتك حينما تعطي لأخيك قطعة كعك أكبر منك مثلًا، فهل يمكن للرياضيات تحقيق العدل وتقسيم كعكة على نحو متساوٍ دون تدخل التفضيلات الشخصية للفرد؟
ما هي معضلة التقسيم العادل؟
تتمثل معضلة التقسيم العادل في التعاملات البشرية في أشياء عدة حولنا وهي معضلة قديمة منذ الأربعنيات عندما بدأ (هوغو شتاينهاوس- Hugo Steinhaus) في دراسة تلك المعضلة وتحليلها. ولتلك المعضلة روابط بالعديد من الموضوعات مثل الاستقراء الرياضي ونظرية الرسم البيانيوالخوارزمياتوالطبولوجيا وغيرها.
أنا أقطع، وأنت تختار
كيف يمكن لهذا المبدأ أن يخرج الطرفين راضيين وسعداء؟ لنفهم ذلك، بداية وجب مراعاة التفضيلات للأشخاص والتي في كل الأحوال مختلفة في الغالب. فقد يفضل الشخص في الكعكة جزء الشكولا والآخر جزء الكريمة والفراولة.
إضافة إلى التفضيلات المختلفة، توجد طرق عدة لتفسير الإنصاف. فتقسيم الكعكة بين اثنين نسبي، إذا كان كلا الشخصين يعتقدا أنهما تلقيا على الأقل نصف الكعكة. فهذا التقسيم مُرضي وخالٍ من الحسد. فطبقًا لهذا المبدأ يمكننا التعميم بأنه إذا كان التقسيم بين عدد n من الأشخاص وكل منهم يعتقد أنه تلقى القطعة الأكبر والأفضل من وجهة نظره؛ فإنه التقسيم مُرضي للجميع. إذًا جميع التقسيمات المُرضيّة متناسبة (متساوية)، لكن هل جميع التقسيمات المتناسبة مرضية؟
هل جميع التقسيمات المتناسبة مرضية؟
لدينا كعكة، نريد تقسيمها على ثلاثة أشخاص A,B,C بحيث كل منهم يقتنع بأنه يمتلك 1/3 الكعكة، ولدينا سكين معلقة، يبدأ A بلفها ببطء. حينما يتيقن أي منهم أن التقسيم متساو أي 1/3الكعكة من وجهة نظره؛ يصرخ بأقطع. والذي يصرخ أولًا يأخذ القطعة جانبًا وإذا صرخ عدة أشخاص فيمكن الاختيار من بينهم عشوائيًا. وتستمر عملية السكين المتحرك مع الشخصين الباقين. ولنحلل صراخ شخصين والثالث صمت، قد تلقى الآن كل منهم القطع التي بنظرهم تساوي 1/3 أما الشخص الثالث فيعتقد أن القطعة المتبقية أقل من 1/3 وهذا مثال على أن التقسيمات قد تكون ليست مرضية لبعض الأشخاص أحيانًا. يمكنك ملاحظة مثل هذا المثال حولك أو من موقف مشابهة قد تعرضت له. لأن ذلك خاضع لإدراك الأشخاص وتفضيلاتهم، فهنا تتمثل المعضلة ما بين التقسيم المرضي وغير العادل والتقسيم العادل غير المرضي.
المثال السابق يقودنا لسؤال: هل هناك تقسيم مرضي بين أكثر من اثنين؟
في عام 1960، ابتكر علماء الرياضيات خوارزمية بإمكانها إخراج الكعك على نحو متساوٍ ومرضٍ لثلاثة أشخاص. وفي عام 1995، كان أفضل ما توصل إليه العلماء لأكثر من ثلاثة أشخاص خوارزمية غير محدودة من قِبل عالم السياسة (ستيفن برامز- Steven Brams) وعالم الرياضيات (آلان تايلور- Alan Taylor) وخاضع لتفضيلات كل شخص؛ لذا فعملية التقسيم غير محدودة بين أكثر من ثلاثة ويمكنها أن تصل لمليون أو مليار مرة. فكانت اللامحدودية عيبًا. على مدار الخمسين عام الماضين، أقنع علماء الرياضيات أنفسهم أنه ربما لا توجد خوارزمية محدودة ومرضية لأكثر من ثلاثة.
أخيرًا، خوارزمية لأكثر من ثلاثة!
تحدى اثنان من علماء الحاسوب -(هاريس عزيز- Haris Aziz) و(سيمون ماكنزي- Simon Mackenzie)- تلك التوقعات بشأن عدم وجود خوارزمية مرضية لأكثر من ثلاثة أشخاص. فنشرا ورقة بحثية على الإنترنت في عام 2016. تصف خوارزمية مرضية لأربعة أشخاص.
الخوارزمية معقدة ووضح الباحثون أن هناك الكثير من العمل ينتظرهم لجعلها أبسط وأسرع. تعتمد الخوارزمية الجديدة على إجراء، ابتكره عالما الرياضيات جون سلفريدج وجون كونواي على نحو مستقل في حوالي عام 1960؛ لتقسيم الكعكة على ثلاثة أشخاص.
خوارزمية سلفريدج-كونواي (Selfridge-Conway)
هناك ثلاثة أشخاص A, B, C، ستطلب الخوارزمية من الشخص C تقطيع الكعكة لثلاث قطع على نحو متساوٍ من وجهة نظره. من ثم يُطلب من الشخصين A, B اختيار قطعتهم المفضلة ويأخذ C الشريحة المتبقية وهكذا انتهى الأمر. إذا كان كل منهم يريد نفس القطعة، سيُطلب من B قطع جزء صغير من تلك الشريحة بحيث يكون ما تبقى مساويًا لشريحته المفضلة الثانية. يوضع الجزء المقتطع جانبًا؛ لجعلهما متساويين. ويختار A قطعته المفضلة ومن ثم B (بشرط إذا لم يختار A الشريحة التي قُطع منها؛ فعلى B اختيارها) ويأخذ C المتبقية. هكذا يخرج كل منهم راضٍ. هنا لا يحسد أحد منهم الأخر حيث اختار A أولًا وB حصل على واحدة من الاثنين وC أخذ المتبقية لأنه هو الذي قسّم؛ فهو راضٍ تمامًا.
ماذا سنفعل في الجزء المتبقي؟
إذا كان A حصل على القطعة التي أُخذ منها جزء، فإن الخوارزمية تستمر كالتالي. يقطع B الجزء المتبقي لثلاثة قطع متساوية من وجهة نظره. ثم يختار A أولًا ثم C ونهاية B. الآن الكل سعيد؛ لأن A هو من اختار أولًا وC حصل على الشريحة المحببة لديه والتي هي أفضل من شريحة B برأيه ولم يكن يهتم لأمره وB في نظره الكل متساوي لأنه هو من قطع. دون الدخول في دوره لانهائية من التقطيع.
يعد C هو المهيمن، استخدم برامز وتايلور مفهوم الهيمنة (دون تسميته ذلك وقتها) في تصميم خوارزمية عام 1995، لكنهما لم يتمكنا من جعلها محدودة.
خوارزمية عزيز وماكينزي
لم يتمكن الباحثان من توسيع الخوارزمية على الفور لأكثر من أربعة أشخاص وكما الحال في خوارزمية سلفريدج-كونواي، حيث كما سبق تُقطع الكعكة من قبل شخص ويُطلب من الآخرين ضبط الحواف واختيار القطع مع وضع احتمالات إذا لم يختر الشخص الذي ضبط القطعة وهكذا. وتنفذ الخوارزمية خطوات أخرى مع زيادة علاقات الهيمنة.
إذ تسمح علاقات الهيمنة بتقليل تعقيد المشكلة. مثلًا إذا سيطر ثلاثة لاعبين على جميع اللاعبين الآخري، فيمكن طرد هؤلاء الثلاثة بعيدًا بشرائحهم. حيث سيكونون سعداء بغض النظر عمن سيحصل على الباقي (الأجزاء من عملية الضبط). الآن هناك عدد أقل من اللاعبين الذين يجب القلق بشأنهم، وبعد عدد محدود من هذه الخطوات، كان الجميع راضين وتم توزيع كل الكعكة.
فليس من المستغرب أن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً قبل أن يعثر شخص ما على واحدة، وهناك الكثير من العمل لتبسيط الخوارزمية ولا يمكن تعميم ذلك الحل على كل شيء.
لا تقطيع الكعك عادل ولا الرياضيات!
كما وضحنا سابقًا، كيف استطاع اثنان من علماء الحاسوب في عمل خوارزمية لتقطيع الكعك على نحو خال مرضي بين أربعة أشخاص والتي قد ينتج عنها عدد كبير من القطع نظرًا لكثرة احتمالات تفضيلات الأشخاص وبالطبع كلما زادو عن أربعة أشخاص؛ أصبحت العملية معقدة. عد الرضى هو مجرد مفهوم من عدة مفاهيم متنافسة للعدالة مثل الإنصاف. وإذا حققنا مفهوم فليس شرطًا أن يتحقق البقية.
فمبدأ أنا أقطع، وأنت تختار فاشل في تحقيق الإنصاف والكفاءة. وذلك يعني أنه قبل تنفيذ أي خوارزمية عادلة، يجب أن يتفقوا ويقررو مفهوم العدالة بالنسبة إليهم. فالرياضيات لا يمكنها تقرير ذلك. فعند تقسيم الميراث، هل وجب إعطاء لوحة ثمينة للشخص المحب للفن أم بيعها وتقسيم الأموال؟ لا توجد إجابة صحيحة، الأمر متروك للأشخاص.
لم يكن الكيميائي السويدي الشهير «ألفريد نوبل-Alfred Nobel» مهتمًا بالرياضيات. ولم تكن بالنسبة له مجالًا عمليًّا ويمكن للبشر الاستفادة منه وذلك على عكس القصة الشائعة التي تقول أنه بسبب حبيبته التي تزوجت من رياضي؛ قرر نوبل أن ينتقم ويحرم علماء الرياضيات من جائزته، أو في رواية أخرى، زوجته التي خانته مع رياضيّ. على الرغم من تأكيد الأدلة أنه لم يتزوج قط! إضافةً إلى ما يؤكد زيف القصة هو وجود جائزة اسكندنافية لعلماء الرياضيات في هذا الوقت. فحينها لم تكن هناك حاجة إلى المنافسة مع جائزة أخرى؛ فكان هدف نوبل الرئيس المساهمة بجوائزه للعلوم العملية المتعلقة بالروح البشرية. لكن هنالك جائزة شهيرة تعادل جائزة نوبل -لكن في الرياضيات-، ذائعة الصيت ومستمرة إلى وقتنا هذا. ألا وهي «جائزة أبيل-Abel Prize» لعلماء الرياضيات البارزين.
ما هي جائزة أبيل؟
أُسست جائزة أبيل من قِبل الحكومة النرويجية في عام 2002. تكريمًا لعالم الرياضيات النرويجي «نيلز هنريك أبيل-Niels Henrik Abel» وتدار الجائزة بواسطة الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب. كان من أوائل الداعمين لتأسيس جائزة أبيل هو عالم الرياضيات النرويجي «سوفوس لي-Sophus Lie»، الذي بذل جهودًا في دعم تأسيس صندوق أبيل. وكان من رأيه منح جائزة أبيل كل خمس سنوات لعمل متميز في الرياضيات البحتة وذلك نظرًا لخروج مجال الرياضيات من خطط ألفريد نوبل منذ عام 1897م.
على الرغم من وجود دعم من المراكز الأوروبية الرائدة في الرياضيات ولكن كانت كل تلك الوعود مرتبطة بـ سوفوس لي. فبعد موته؛ ماتت تلك الوعود معه. لكن وضعا عالما الرياضيات «كارل ستورمر-Carl Størmer» و«لودفيج سيلو-Ludwig Sylow» قوانين وقواعد لهذه الجائزة بالتعاون مع الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب. لكن لماذا هذا السعي؟ لقد استغرق وجود جائزة باسم عالم الرياضيات أبيل أكثر من 100 عام. فمن هو نيلز هنريك أبيل؟
من هو نيلز هنريك أبيل؟
ولد نيلز هنريك أبيل في 5 أغسطس 1802م وكان الابن الثاني وكان يعيش مع عائلته في مزرعة في روغالاند جنوب غرب النرويج. انتقل نيلز هنريك في الثالثة عشر من عمره إلى المدرسة الكاتدرائية في «كريستيانيا-Christiania» في خريف عام 1815. ففي القرن التاسع عشر، كانت هناك بعض الإصلاحات التي تخص التعليم من حيث إدراج اللغات والعلوم الحديثة في المناهج الدراسية، ومدرس المادة بدل من مدرس الفصل، والتعامل بإنسانية أكثر مع الطلاب والاهتمام بالأنشطة التعليمية كأولوية. أما في حال وجود عقوبة جسدية؛ فكان ذلك لتعزيز أخلاقيات الطلاب وغيرها الكثير من الاصلاحات.
في تلك الفترة، اشتهر مدرس الرياضيات «هانز بيتر بدر-Hans Peter Bader» بتلك المدرسة بفصوله التي يدرس لها بالطرق التقليدية. وفي نوفمبر 1817، ضرب هذا المعلم تلميذًا بشدة لدرجة أن التلميذ ظل طريح الفراش ومات بعد ثمانية أيام. حينها رفض الطلاب الحضور لهذا المدرس واضطر المدير في البحث سريعًا على مدرس آخر.
فجاء مدرس جديد يدعى «بيرنت مايكل هولمبو-Bernt Michael Holmboe». كان هولمبو متبنيًا لأفكار تربوية جديدة وبدأ في إعطاء تلاميذه مشاريع منفردة وسرعان ما اكتشف قدرات أبيل الاستثنائية وأعطاه دروسًا خصوصية. وقد أذهلت قدرات وحماس أبيل لمشاكل البحث الرياضي معلمه بالفعل.
عبء الأسرة الواقع على أبيل
توفى والد نيلز هنريك أبيل في 1820، ووقع أخيه في الاكتئاب ولم يتعافي نهائيًّا منه. واضطر نيلز لتحمل مسؤوليات عائلته وهو طالب والتي كانت حملًا ثقيلًا. لكن هولمبو ساعده كثيرًا.
وبما أن أبيل تعلم على يد معلمه الكلاسيكيات في الأدب الرياضي واقترح عليه بعض المشاكل الرياضية لحلها ودرس أعمال كل من نيوتن وأويلر ومعاصريه مثل جاوس ولاجرانج، ولم تكن تقدم الجامعة أي درجة علمية في العلوم الطبيعة سوى في علم اللاهوت والطب والقانون. إضافةً إلى أن هولمبو جمع لأبيل الأموال التي مكنته من دخول جامعة أوسلو (كريستيانيا) في 1921. فأكمل أبيل الأربع سنوات في الجامعة واستمر في دراسته على نحو مستقل مع مزيد من المساعدة من هولمبو لاحقًا.
في ربيع 1823م، ظهر بمقالة في أول مجلة علمية في البلاد وهي مجلة (Magazin for Naturvidenskaberne)، وكذلك عملان صغيران آخران نُشرا لأبيل. في نفس العام أتيحت له فرصة السفر إلى كوبنهاغن؛ لزيارة علماء الرياضيات هناك. فشارك أبيل في الحياة الطلابية وعمل قليلًا على نظرية فيرما وبدأ في دراسة الدوال الإهليلجية، إذ عاش مع خالته وزوجها. التقى في حفلة هناك بـ «كريستين كيمب-Christine Kemp» البالغة من العمر 19 والتي جاءت إلى النرويج في العام التالي وخطبها.
في عام 1824، زادت الجهود المبذولة لتزويد أبيل بالتمويل العام إلى أن حصل على منحة حكومية لمدة عامين. إلى جانب الوعد برحلة إلى الخارج لمدة عامين آخرين. في ربيع نفس العام، دفع أبيل من جيبه الخاص لطباعة عمله على معادلات الدرجة الخامسة وكتب هذه الورقة بالفرنسية وضغط الدليل في ست صفحات قصيرة.
نقلة محورية
كتب أبيل رسالة شخصية للملك كارل يوهان ملك السويد واستطاع تقديم تاريخ رحلته إلى الخارج. في سبتمبر 1825، غادر كريستيانيا وشروط المنحة كانت الانتقال من كوبنهاغن؛ لمقابلة عالم الرياضيات جاوس، من ثم باريس. لكن بعد وصول أبيل الى كوبنهاغن، غير مساره إلى برلين.
في برلين، قابل أبيل المهندس المهتم بالرياضيات «ليوبولد كريل-Leopold Crelle» والذي وجد هدفه الذي يسعى إليه في أبيل وهو نشر مجلة رياضية في برلين تنافس مجلات عريقة في فرنسا. فبحلول عام 1826، نُشر العدد الأول وكانت تلك المجلة التي سينشر فيها أبيل معظم أعماله التي تمكن من كتابتها واكتسبت بفضل أبيل شهرة سريعة كواحدة من المجلات الرائدة في أوروبا ومستمرة حتى يومنا هذا ومتمتعة بشهرة دولية، وقضى أبيل أربعة شهور ملهمة في برلين مع كريل وعلماء رياضيات آخرون. فكان تغيير مسار الرحلة بمثابة نقلة محورية في حياة أبيل.
كان العمل الأول الذي نشره أبيل في مجلة Crelle هو نسخة موسعة من الدليل على أن معادلات الدرجة الخامسة العامة لم تكن قابلة للحل عن طريق استخراج الجذور. قطع أبيل شوطًا طويلاً نحو إيجاد حلول مقبولة لهذه المعادلات. لم تكن تلك أعمال أبيل الوحيدة في العام الأول له بالمجلة بل حوالي سبع أعمال أخرى. رافق أبيل في رحلاته علماء نرويجيون شباب، كان معظمهم يدرسون علم المعادن والجيولوجيا. بالنسبة لهؤلاء العلماء.
لم يصل إلى باريس حتى يوليو 1826، إذ على الرغم من أن أبيل قد بدأ الآن في النشر في Crelle’s Journal في برلين؛ لكنه احتفظ ببعض الأعمال التي كان يعتقد أنها رؤى جديدة لأكاديمية باريس. قدم أبيل أطروحته في باريس الخاصة بالدوال الإهليلجية إلى الأكاديمية العلمية في نهاية أكتوبر 1826.
مرض أبيل
استمر في العيش في باريس لبقية العام وفي أثناء انتظاره للإجابة، أكمل عملين آخرين. ومع ذلك، وُضعت أطروحة أبيل في باريس جانبًا ونُسيت. اتضح له أن إقامته في باريس كانت مخيبة للآمال؛ حزن للغاية وكان مصابًا بالحمى والسعال. كان هنالك طالب طب في دائرة العلماء الذين يتردد عليهم أبيل من حين لآخر. اعتقد أن أبيل كان يعاني من مرض السل.
غادر أبيل باريس في نهاية عام 1826 فقيرًا ومرهقًا، وعاد إلى أصدقائه في برلين. عُرض عليه منصب محرر مجلة Crelle؛ لكنه رفضها. كان يشعر بالحنين إلى الوطن وأراد أن يضع قدرته العلمية في خدمة وطنه. واصل كريل بدوره جهوده للحصول على وظيفة آمنة لأبل في برلين.
العودة إلى النرويج
عاد أبيل إلى النرويج في نهاية مايو 1827، قيّمت رحلته بالفشل؛ لم ينشر أي شيء في باريس، ولم يزر جاوس. على الرغم من أعماله التي نشرت في مجلة Crelle. لكن ما هي المكانة التي تتمتع بها هذه المجلة الجديدة في برلين؟ أصبح أبيل غير قادر على تجديد المنحة، فحصل على قرض خاص، لم يقدر على سداده. إضافة إلى إرادته أيضًا في سداد ديون أسرته. لكن مرة أخرى نال أبيل منحة.
كان أخر عام ونصف لأبيل مثمر بسلسلة من الرسائل العلمية التي قدمها إلى كريل في برلين. إذ عمل على المعادلات الجبرية والدوال الإهليلجية والمتسلسلات اللانهائية. وقد قدم مساهمات رائدة في جميع هذه المجالات والتي أرسلت معظمها إلى برلين. في صيف عام 1828، بعد سباق في النشر مع عالم الرياضيات الألماني كارل غوستاف جاكوبي. نشر أبيل أطروحة مهمة عن الدوال الإهليلجية في الملاحظات الفلكية.
تحسن الوضع المالي لأبيل في ربيع عام 1828، حيث عُيّن مؤقتًا كمحاضر، إضافة إلى عددًا من وظائف التدريس الأخرى. قرر أبيل قبول أي وظيفة قد تعرض عليه في برلين. في صيف عام 1828، كان هو وخطيبته يتطلعون إلى أن يتزوجو ويستقرو في برلين.
أطروحة باريس؛ تنشر بعد موته
تشخيص الطبيب الشاب كان صحيحًا، إذ ظل أبيل طريح الفراش ومرض لعدة أسابيع مع عمله المكثف في ذلك الوقت في خريف 1828. بعدها زاد المرض عليه وبدأ يسعل الدم لمدة اثنى عشر أسبوعًا وفي تلك الفترة كان يحاول قدر الإمكان حين تحسنه كتابة ورقة رياضية واحدة وكانت تلك الورقة التي حاول فيها مرة أخرى صياغة الأفكار الرئيسة لأطروحته الشاملة حين كان في باريس. استهلك المرض أبيل في عمر صغير وكان قلقًا على خطيبته؛ فطلب من أحد العلماء الشباب الاعتناء بها وبعد عام ونصف تزوجت من هذا الشاب. توفى أبيل في 6 أبريل 1829. وفي 8 إبريل؛ لم تضع أطروحة باريس وعُثر عليها. طلب العلماء في باريس نشر أعمال أبيل، وبالفعل في عام 1839، نشرت أعماله إلا أطروحة باريس التي نشرت لأول مرة في عام 1841. وذهبت جائزة الأكاديمية إلى والدة أبيل.
الاحتفال بالذكرى المئوية لأبيل
كانت هنالك ثلاث مهام للخطة الرئيسة لتكريم أبيل، وهي الاحتفال على نطاق واسع في العاصمة كريستيانيا مع احتفالات محلية. ثانيًا؛ إقامة نصب تذكاري لعبقرية أبيل، أما ثالثًا؛ الحديث عن إنشاء جائزة أبيل الدولية ونفذت بالفعل المهمة الأولى والثانية. أما الثالثة كما ذكرنا كانت بفضل جهود سوفوس لي في البداية، الذي كان متحمسًا ومؤيدًا لتأسيس جائزة أبيل.
نهاية؛ نظرًا لاسهاماته مثل نتيجته التي تعد أول دليل كامل يثبت استحالة حل المعادلات الخماسية العامة وكان ذلك سؤال مفتوح ولا يوجد حل له لأكثر من 250 عامًا. وكونه مبتكرًا في مجال الدوال الاهليلجية ومكتشف مجموعة أبيليان. أتى ملك السويد أوسكار الثاني الذي أيد وشارك في احتفال أبيل وانجذب إلى فكرة تأسيس جائزة. ففي خلال الاحتفالات في عام 1902؛ أعلن عن رغبته في منح ميدالية ذهبية كل خمس سنوات لأعمال الرياضيات تحت إشراف الجمعية العلمية لكريستيانيا (الآكاديمية النروجية للعلوم والآداب حاليًا).
الفائز بجائزة أبيل لعام 2022
حصل عالم وأستاذ الرياضيات في جامعتي ستوني بروك ومدينة نيويورك «دينيس بارنيل سوليفان-Dennis Parnell Sullivan» على جائزة أبيل لعام 2022؛ لمساهمته في الطوبولوجيا. وتحديدًا جوانبها الجبرية والهندسية والديناميكية، وتقدر الجائزة بـ 7.5 مليون كرونة نرويجية أي ما يعادل 860 ألف دولارًا أمريكيًا.
دينيس سوليفان؛ الحائز على جائزة أبيل لعام 2022
كرس سوليفان جزءًا كبيرًا من حياته المهنية لفهم المساحات الطوبولوجية والتي تسمى المتشعبات وقدم تصنيفًا كاملًا للمتشعبات من نوع معين في خمسة أبعاد أو أكثر. كذلك أهتم وأحرز تقدمًا في مشكلة تتعلق بطرق مختلفة لتقسيم الفتحات إلى قطع صغيرة مثلثة. وفي أثناء سعيه طور نظرية تسمى «الجراحة-Surgery» والتي تتضمن تغيير متشعب إلى آخر بواسطة قطع وإعادة تشكيل أجزاء منه. فيتمثل أهم إنجاز لسوليفان في طريقته الجديدة أيضًا لفهم نظرية التماثل -حقل فرعي من الطوبولوجيا– والتي تتنوع تطبيقاتها في الفيزياء والاقتصاد وعلم البيانات…
ماذا يتبادر إلى ذهنك عند سماع كلمة (التعقيد)؟ شيء صعب، مستحيل، غير مفهوم! فالتعقيد نظرية شهيرة، إذ إن «نظرية التعقيد-Complexity theory» هي نظرية مركزية في علوم الحاسوب، إذ تستخدم نماذج حسابية مثل آلات تورنج للمساعدة في اختبار التعقيد وتساعد علماء الحاسوب على ربط المشكلات وتجميعها وإذا كان من الممكن حل مشكلة ما؛ فإنها ستفتح الطريق لحل مشكلات أخرى معقدة أيضًا ويساعد التعقيد في تحديد مدى صعوبة المشكلة وسبق لنا في مقال سابق أن تحدثنا عن الأنظمة المعقدة على نحو مبسط. لكن هل سبق وسمعت عن نظرية تسمى «التعقيد الحسابي-Computational Complexity»؟ في هذا المقال ستتعرف عليها. لما لها من أهمية عظمى، لكن بدايةً لنبدأ بنبذة عن نشأة وعلماء تلك النظرية…
نبذة عن نشأة نظرية التعقيد الحسابي
وضعا كل من عالم الرياضيات وعالم الحاسوب «يوريس هارتمانيس-Juris Hartmanis» وعالم الحاسوب والرياضيات «ريتشارد ستيرنز Richard E. Stearns» الورقة البحثية الأساسية التي أرست أسس نظرية التعقيد الحسابي.
المحطات العلمية في حياة هارتمانيس
هاجر هارتمانيس إلى ألمانيا في نهاية الحرب العالمية الثانية، ودرس الفيزياء في جامعة فيليبش في ماربورغ قبل انتقاله للولايات المتحدة. نال درجة الماجستير في الرياضيات عام 1951 من جامعة كانساس سيتي ودكتوراه في الرياضيات 1955 من معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا. وبدأ بالتدريس في جامعة كورنيل وجامعة ولاية أوهايو قبل أن ينضم إلى مختبر بحوث جنرال إلكتريك 1958 ومن ثم عاد إلى كورنيل لرئاسة قسم الحاسوب الجديد وتقاعد منه كأستاذ في الهندسة عام 1982. وبعد تقاعده انضم إلى مجلس العلوم في معهد سانتا في وهي مجموعة بحثية مستقلة تأسست في 1984؛ لدعم التعاون في دراسة مبادئ التعقيد.
انتُخب هارتمانس لعدة أماكن علمية مرموقة مثل:
عضوية الجمعية الأمريكية للعلوم عام 1981.
الأكاديمية الوطنية الأمريكية للهندسة عام 1989.
الأكاديمية اللاتفية للعلوم عام 1990.
أخيرًا، الأكاديمية الأمريكية للعلوم والفنون عام 1992.
إضافة إلى فوزه بميدالية بولزانو الذهبية لأكاديمية العلوم بجمهورية التشيك عام 1995 والميدالية الكبرى لإكاديمية لاتفيا للعلوم 2001 وجائزة تورينج.
المحطات العلمية في حياة ريتشارد ستيرنز
نال ستيرنز درجة البكالوريوس في الرياضيات 1958 والدكتوراه 1961 من جامعة برينستون. عمل بعد ذلك في شركة جنرال إلكتريك في المدّة ما بين 1961 و1978. وشغل منصب أستاذ في جامعة ولاية نيويورك SUNY من 1978 لـ 2000.
بالتعاون مع هارتمانيس، نشرا كتاب «حول التعقيد الحسابي للخوارزميات» في مايو 1956 وقدم ستيرنز مساهمات في تحليل الخوارزميات و«نظرية الأوتوماتا-automata theory» ونظرية الألعاب. أيضًا كتب نظرية البنية الجبرية للآلات المتسلسلة عام 1966 بالتعاون مع هارتمانيس ونظرية Compiler design مع أساتذة علوم الحاسوب بجامعة نيويورك.
الحساب والمعلومات
لنفهم نظرية التعقيد الحسابي، دعونا نبدأ بمعرفة ماهية كلمة (الحساب)، ربما الحساب بالنسبة لأغلبنا 1+1=2. وهذا أول تفسير يتبادر إلى أذهاننا وهذا مثال وليس وصفًا أو تعريفًا لتلك الكلمة. ربما نوضح هذا المثال للأطفال عند سؤالهم. فالحساب هو عملية فيزيائية محدودة بوقت ولمجموعة معينة من الدوال المختلفة. يضخم هذا التعريف من العملية الفيزيائية، ونستخدم هذا التعريف إذ إن معظم الأشياء التي تحسب تكون عادة على هيئات مجموعات. فتمثل الحسابات أيضًا معالجة للمعلومات، لكن ما المعلومات؟ المعلومات هي التي تفسر حالة نظام معين (مجموعة ثابتة من الحالات مختلفة)، فأول وصف لكمية المعلومات قدمه عالم الرياضيات الأمريكي كلاود شانون.
خصائص النظم الحسابية
بعدما تعرفنا على كل من كلمتي المعلومات والحساب المرتبطين بنظرية التعقيد الحسابي، حان الآن أن تتعرف على خصائص النظم الحسابية ومن أهم تلك الخصائص الكثيرة هي:
القدرة المعلوماتية (أي كم الدوال في تلك النظم الحسابية ومقدار المعلومات التي يمكن تخزينها).
السرعة (المقصود هنا سرعة معالجة النظم الحسابية لملايين البتات من البيانات في الثانية).
كما نوهنا يوجد خصائص لا حصر لها مثل الدقة وتعددية الاستخدامات وغيرها. نهاية، فالهدف من الحساب إيجاد قيم بعض الدوال.
لننتقل لفهم نظرية التعقيد الحسابي وقبلها وجب أن تكون على دراية بالمقالات السابقة في الخوارزميات وأن هنالك دوال قابلة للحساب وأخرى غير قابلة ودعونا نوضح مثال بسيط، لدينا مجموعة من الرؤوس والأضلاع وهنالك مشكلتي المساران المعروفان في نظرية الرسوم البيانية:
الأول، مسار أويلر: هو ذلك المسار الذي يمر بكل حافة مرة واحدة فقط.
الثاني، مسار هاميلتون: المسار الذي يمر بجميع الرؤوس مرة واحدة فقط.
فحلل العلماء المشكلتين وأنه إذا كان لدينا خوارزمية فعالة فستحل المشكلة الأولى ولن تحل الثانية. فهنالك خوارزميات يمكنها حل مشكلات معينة وأخرى لا وذلك متعلق بقابلية الحساب وأن هنالك دوال قابلة للحساب وأخرى لا.
مثال آخر: مشكلة P وNP. إذ تمثل P مجموعة من المسائل التي لها خوارزمية حل وNP المسائل التي ليس لها خوارزمية حل؛ لذلك يمكنك معرفة المزيد من هذا المقال: ما هي حدسية P=NP؟.
نهاية عزيزي القارئ، تعد نظرية التعقيد الحسابي فرع من علوم الحاسوب وتهتم بدراسة الخوارزميات لحل المشكلات الرياضية. ومن بين أهدافها تصنيف المشكلات حسب درجة الصعوبة، أي مدى صعوبة حلها حسابيًا كمشكلتي مسار أويلر ومسار هامليتون.
علم النفس الرياضياتي: أفق جديد للقرن الواحد والعشرين
معظمنا يحب مجال علم النفس، نحب قراءته والتعمق في مختلف مواضيعه، لأنه يلمس إحدى جوانب حياتنا اليومية. قد تساعدنا قراءة مقال ما في علم النفس على فهم أنفسنا بشكل جيد أو حتى في حل مشكلة حياتية متكررة. بعضنا الآخر يحب الرياضيات. ويحب فهم المعادلات والأنظمة الحسابية وعلاقة المتغيرات ببعضها البعض. بعض الأشخاص يصرحون بأن سبب حبهم لممارسة الرياضيات هو أنها تمثل نهجًا جيدًا وواضحًا لفهم وتفسير العالم. فالرياضيات بكل بساطة تمثل الأبعاد الحياتية المختلفة كالأعداد مثلًا أو المساحات برموز يمكن كتابتها وتمثيلها ووضعها في معادلات واضحة وبالتالي سهولة معالجتها. ولذلك السبب يتم تطبيق وممارسة النهج الرياضي في العديد من مجالات العلم وأشهرها الفيزياء.
ولكن هل تساءلت من قبل عن إمكانية تطبيق ذلك النهج في علم النفس؟ هل من الممكن استخدام وتطبيق المعادلات الرياضية في النظريات التي تصف السلوك البشري؟
الإجابة هي نعم. وهذا ما يعرف ب«علم النفس الرياضياتي-mathematical psychology»
ماهو «علم النفس الرياضياتي-mathematical psychology»
علم النفس الرياضياتي أو علم النفس الحسابي هو نهج في علم النفس قائم على استخدام وتطبيق المعادلات والمفاهيم الرياضية في تناول النظريات في علم النفس. عن طريق بناء نماذج حسابية لقياس العمليات الإدراكية والفكرية والمعرفية والحركية. يهتم أيضًا بوضع القوانين الحسابية التي تربط العلاقة بين التحفيز والسلوك. [1]
لا يتم اعتبار علم النفس الرياضياتي فرع مستقل من علم النفس ولكنه بالأحرى “نهج” يُستخدم من قبل عالم النفس في مجال دراسته. ويمكن تطبيق نهج علم النفس الحسابي في الكثير من فروع علم النفس. [2]
يتم استخدام النهج الرياضي بهدف استنباط فرضيات أكثر دقة وبالتالي يسفر عن عمليات تحقق تجريبية أكثر صرامة. يوجد خمسة مجالات بحث رئيسية في علم النفس الرياضي: التعلم والذاكرة ، والإدراك والفيزياء النفسية ، والاختيار وصنع القرار ، واللغة والتفكير ، والقياس والتوسع.
وكما أشرنا مسبقًا، أن النجاح الذي حققه النهج الرياضي في علم الفيزياء أدى إلى محاولات تطبيقه أيضًا في علم النفس على أمل محاكاة هذا النجاح.
تُستخدم الرياضيات في علم النفس على نطاق واسع تقريبًا في مجالين: أحدهما هو النمذجة الرياضية للنظريات النفسية والظواهر التجريبية، مما يؤدي إلى علم النفس الرياضي. والآخر هو النهج الإحصائي لممارسات القياس الكمي في علم النفس، مما يؤدي إلى القياس النفسي أو ما يعرف بpsychometrics.
كيف يسير نهج علم النفس الرياضياتي
يبدأ عالم النفس الحسابي عادةً بتدارس الظاهرة النفسية وتركيباتها الأساسية التي يرغب في بناء نموذج رياضي لها. حيث أن ذلك النموذج الرياضي هو عبارة عن مجموعة من الهياكل الرياضية التي تشمل المتغيرات والمعادلات الممثلين للظاهرة النفسية. لذلك، فقياس المتغيرات المتعلقة بالظاهرة النفسية أمر حاسم لبناء النموذج الرياضي.
تحديات
لذلك من أكبر تحديات علم النفس الحسابي هو قياس متغيرات الظاهرة النفسية. لأنه يوجد الكثير من العمليات النفسية المعقدة التي يصعب قياس متغيراتها. فالمجالات مثل الرؤية، والتعلم والذاكرة، والحكم واتخاذ القرار، كثيرًا ما تتمتع بسهولة قياس متغيراتها مثل الدقة ووقت الاستجابة، ولذلك يسهل تناولها بالتفكير الرياضي وتتمتع بنسبة أكبر من علماء النفس الرياضيين مقارنةً بالمجالات الأخرى. أما العمليات المعقدة مثل سلوك الخلايا العصبية، أو تدفق المعلومات عبر المسارات البصرية، أو تراكم الأدلة في عملية اتخاذ القرار، أو إنتاج اللغة وتطويرها فتمثل حملًا شاقًا لعلماء النفس الحسابيين.
يمكننا الجمع بين عالم الجماليات والعاطفة والإحساس وعالم المنطق والدقة والحقيقة، سنجد ذلك في العلاقة بين الفن والرياضيات إذ استطاع الكثيرون على مر العصور الجمع بينهم.
سنأخذك عزيزي القارئ في مغامرة فنية بها الرياضيات خفية! سنتعرف على سبع علاقات بين الرياضيات والفن.
فن الثلج
يعد «سيمون بيك_Simon Beck» فنانًا للمناظر الطبيعية، فقد درس الهندسة قبل أن يتحول إلى المجالات الإبداعية. إذ يتجول سيمون في التضاريس المغطاة بالثلوج لإنشاء أعمال ذات أنماط هندسية. ليس ذلك فحسب بل ابتكر أعمالًا معقدة على الرمال أيضًا. لكن نظرًا لقيود السفر أو الحياة القصيرة لأعماله الفنية، يوثق بيك ذلك بالتقاط الصور.
هناك معايير يوضحها سيمون للرسم على الثلج وهي أن تكون الشمس غير مشرقة بلا غائبة، لكن ليس كثيرًا بحيث يكون جزء من الرسم في الظل ويجب أن يكون الثلج خفيفًا ورقيقًا وألا يكون هناك رياح. إذ أنه وضح أن حوالي 12 رسمة دُمرو بسبب الرياح. إذا لاحظنا فسنجد أن الفن على الثلج أثبت حضوره، سنجد رجل الثلج على سبيل المثال في التاريخ والأدب والفن، سواء كان ذلك مذكور في مخطوطة من القرن الرابع عشر أو رجل ثلج أقل شهرة للنحات الإيطالي مايكل أنجلو. فقد ساد فن الثلج لفترة طويلة المجال الاجتماعي والإبداعي.
الرسوم الحاسوبية
يستخدم الإيراني «حميد نادري يغانيه» الصيغ الرياضية لخلق إيحاءات معقدة بواسطة الكمبيوتر. إذ درس الرياضيات وله بضع سنوات مهتم بفن الرياضيات. لقد استخدم علم المثلثات لرسم أشكال متناظرة تتكون من خطوط ودوائر وإنشاء العديد من الصور بوظائف الجيب وجيب التمام. كما جعل الصيغ والرسوم التوضيحية الخاصة به مفتوحة للجمهور على موقعه على الويب حتى يتمكن أي شخص من إنشاء صيغة خاصة وفي حد قوله لنشر قوة الرياضيات.
الفركتلات
الفركتلات هي أنماط تتكرر على مستويات عدة وينشأ عنها دوامات وخطوطًا ومنحنيات لا تنتهي. أوضح «توم بيدارد فابرجيه_Tom Beddard Fabergé» أنه أنشأ الفركتلات ثلاثية الأبعاد بواسطة الصيغ التكرارية وتقوم تلك الصيغ بالتحكم بالمساحة وطيها أو تغيير حجمها أو تدويرها أو قلبها.
كان المشروع الأخير المسمى بـ «Fabergé Fractals»، يبرز جمال الرياضيات والتركيبة الهندسية والتكنولوجية ثلاثية الأبعاد التي تمكنه من إنشاء صور واقعية لدرجة كبيرة مثل بيضته المزخرفة وتتميز إبداعات بيدارد بأنماط تصميم رائعة ومعقدة.
تصنيف مميز للفركتلات!
ابتكر كل من «ليز بلاكنشيب-Liz Blakenship» و«دانيال أشلوك-Daniel Ashlock» تصنيفًا كاملًا للفركتلات بالرسوم التوضيحية. ويطلق على ذلك التصنيف «Lsystem fractal» إذ أنه عبارة عن أشكال هندسية تحتوي على نسخ أصغر غير نهائية. وتلك واحدة من التصنيفات العديدة لكلا من دانيال أشلوك وليز بلاكنشيب للفركتلات.
نماذج هنري سيجرمان ثلاثية الأبعاد
حصل عالم الرياضيات الأسترالي «هنري سيجرمان_Henry Siegman» على درجة الماجستير في الرياضيات من جامعة أكسفورد ومن ثم الدكتوراة وكان عالم رياضي وفنان، إذ وضح تعقيدات الهندسة ثلاثية الأبعاد والطوبولوجيا -مجالات خبرته- في شكل نحتي.
أنشأ هنري رسومًا توضيحية ونماذج مطبوعة ثلاثية الأبعاد تعبر عن الصيغ والمفاهيم الرياضية، لمساعدة طلابه على فهمها بشكل أفضل. يستخدم برنامجًا للنمذجة ثلاثية الأبعاد يسمى «Rhinoceros»، وعادة ما يُستخدم لتصميم المباني والسفن، والسيارات….
نماذج مشروع Hevea للتضمين متساوي القياس
عتبر التضمين متساوي القياس أمرًا معقدًا بعض الشيء لفهمه، لكنه كان عملاً أساسيًا قام به عالم الرياضيات «جون ناش» مع «نيكولاس كويبر»، وهو يشرح كيف يمكن احتواء العالم بأسره في حبة رمل. يُظهر ناش وكويبر أنه من خلال تحريك السطح بشكل كافٍ وبسلاسة لا يُسمح بالتجعيد أو الطي أو التمزيق! يمكنك الحصول على نسخة متساوية القياس من كرة تنس أصلية مثلا، وكلها موجودة داخل نصف قطر النانومتر. قام فريق فرنسي من علماء الرياضيات يطلقون على أنفسهم اسم مشروع (Hevea) بإنشاء إنشاءات رقمية.
احتفال بالهبوط على المريخ!
إذا كان هنالك شيء جميل كالفن الرياضي، فهو الفن الرياضي المرتبط باستكشاف الفضاء. تلك الصورة أنشأها الفنان الشهير ومهندس ناسا السابق «كيري ميتشل» في عام 2012 للاحتفال بمركبة كيوريوسيتي التي هبطت على سطح المريخ. على الرغم من أنها تبدو وكأنها لوحة عادية، إلا أن ميتشل يخلق كل فنه باستخدام الخوارزميات والفركتلات.
يلتقي علماء الرياضيات والفنانون كل عام في مؤتمر «الجسور_Bridges» المعبر عن الروابط الرياضية في الفن والموسيقى والعلوم، وهو مهرجان يحتفل بالروابط بين الرياضيات والفنون. تأسست منظمة الجسور في عام 1998 تحت قيادة عالم الرياضيات بجامعة توسون «رضا سرهنجي» بهدف تعزيز العمل متعدد التخصصات في الرياضيات والفن.
يتضمن المؤتمر عروضاً تقديمية حول مواضيع متنوعة مثل تصور الموسيقى، واستخدام الأعمال الفنية في الرياضيات وتصوير الفضاء. بالإضافة إلى ورش عمل حول تأليف الفن والشعر باستخدام الرياضيات، وأمسية موسيقية، وجلسات مسرحية وشعرية تجريبية، ومعرض فنون بصرية.
تعتبر البيانات بمثابة نفط القرن الواحد والعشرين، وأصبحت أهم ما يشغل تفكير العلماء والباحثين ورجال الأعمال في هذا القرن. ويدرس علم البيانات استكشاف الحلول والتنبؤات باستخدام علوم الكمبيوتر والإحصاء والرياضيات بالإضافة إلى خبرة في المجال الذي نعمل عليه.
مراحل تاريخ علم البيانات
قسّم العلماء تاريخ علم البيانات إلى ٦ مراحل:
المرحلة الأولى: بداية إدراك أهمية وقيمة البيانات
بدأ علم البيانات بنشر العالم «John Tukey – چون توكي» مقال باسم ( مستقبل تحليل البيانات) عام ١٩٦٢م. وأشار توكي في مقاله إلى العلاقة بين الإحصاء وتحليل البيانات. أتى بعد ذلك العالم «Peter Naur – بيتير نور» الذي نشر استبيانًا عن طرق الكمبيوتر في تحليل البيانات. استفاض نور في الحديث عن علم تحليل البيانات كمجال سريع بتطبيقات كثيرة في القرن الواحد والعشرين.
المرحلة الثانية: ظهور أبحاث عن أهمية البيانات
نشر العالم چون توكي ثاني أعماله عن علم البيانات، وناقش قوة استخدام البيانات في مجالات أكثر. وتأسست في نفس العام «International Association of Statistical Computing – الرابطة الدولية للحوسبة الإحصائية» كنقطة تواصل بين المهتمين بتحليل البيانات لنشر آخر ما توصلوا إليه. أُقيمت أول ورشة عمل عن استكشاف البيانات عام ١٩٨٩ باسم « Knowledge Discovery in Database – استكشاف المعرفة من خلال البيانات»، وما زالت تنعقد بصفة دورية حتى الآن تحت اسم «Knowledge Discoveryand Data Mining – استكشاف المعرفة والتنقيب عن البيانات».
المرحلة الثالثة: الاهتمام بعلم البيانات
ارتبط تحليل البيانات بالتسويق والأعمال، ولكن لم تبدأ الشركات بتجميع البيانات بشكل ضخم إلا في عام ١٩٩٤م. فظهر مصطلح « Data Science – علم البيانات » عام ١٩٩٦م في كوبي باليابان بناءً على توصية من الاتحاد الدولي لجمعيات التصنيف.
نشر عالم تحليل البيانات الأمريكي أسامة فياض بحث يتحدث عن تحديد البيانات وتجهيزها وتنقيتها قبل بدء العمل عليها. وأشار بعدها « Jacob Zahavi – يعقوب زحافي » للاحتياج إلى أدوات جديدة في التعامل مع الكميات الضخمة للبيانات.
المرحلة الرابعة: ممارسة علم البيانات
طرأت تطورات عديدة مع بداية القرن الواحد والعشرين، وظهر واحد من أهم الشخصيات في علم البيانات وهو «ويليام كليفلاند-William Cleveland». كان لويليام الفضل في تجميع أعمال جون توكي وإعادة صياغتها بما يتناسب مع التطورات الجديدة. كما لفت الانتباه إلى طرق إحصائية جديدة ونشر عنها في دوريات علمية عالمية. أوصى ويليام بالبحث والتعمق في فروع عديدة لها علاقة بالبيانات مثل: حوسبة المعلومات وتقييم أدوات تحليل البيانات وفحص أنظمة البيانات. كما عمل على تطوير «برمجيات –software» كانت بمثابة بداية الطريق لاستخدام «الحوسبة السحابية-cloud computing».
المرحلة الخامسة: حقبة جديدة في علم البيانات
لم ينتشر مصطلح «عالم البيانات-Data Scientist» حتى جاء كلا من «جيف هامربروشير وديجي باتيل -Jeff Hammerbrocher and Dj Patil». كان مصطلح علم البيانات موجودًا ولكنه غير منتشر وانتشر على يديهما. وفي عام ٢٠١٣م، صرّحت شركة IBM أن البيانات الموجودة في العالم قد تضاعفت في العامين الماضيين (2011 و 2012). وبعدها لاحظت الشركات أهمية تحويل البيانات التي لديها لخطط ومشاريع للاستفادة منها.
المرحلة السادسة: اللحظة التي أصبح علم البيانات مطلوبًا
أقرّت شركات كبيرة بأهمية علم البيانات واعترفوا بفضله في تحقيق تطورات عظيمة. إذ قال مدير سابق في شركة ( Apple) أن زيادة المبيعات كانت بسبب البيانات الضخمة والتنقيب عن البيانات. كما قالت شركة أمازون أن مبيعاتها من الكتب ازدادت بفضل استخدام علم البيانات.
استخدمت جوجل ومايكروسوفت التعلم العميق لتمييز الصوت والكلمات منذ عام ٢٠١٥م. وبدأ استخدام الشركات للذكاء الاصطناعي. وشرعت الشركات في تجميع كل أنواع البيانات لاستخدامها فيما بعد.
حتى ذلك الحين، لم يبدأ علم البيانات بشكل قوي. ولكنه أصبح يحتل مكانة مرموقة في العمل عندما أدركت الشركات أهميته، واستُخدم في مجالات عديدة وأثبت جدارته في العمل.
تتقدم العلوم عن طريق علماء يبدأون ببذرة قد لا يراها أحد أو ربما يلاحظها قلة من البشر. ولكن مع تطور الحياة، نصبح بحاجة إلى اختراعات أكثر وعلم أقدر على تيسير أساليب الحياة. ثم تُوضع قواعد وأساسيات العلوم وتتطور كل يوم إلى أن ينجز العلم ما نحتاج إليه في حياتنا.
بلغ المصريون القدماء من العلم ما لم يبلغه من عاصروهم، وتقف آثار مصر القديمة شامخة شاهدة على براعتهم في مختلف فروع العلوم، حتى أنه صَعُب على الناس التصديق بأن آثارهم من صناعة البشر، فنرى حديثًا عن الفضائيين وتدخلهم في حياة المصريين القدماء ومساعدتهم، ولكن دعونا نرى ما بلغوه من علم بعيدًا عن الخرافات ونظريات المؤامرة.
الأدوات الشخصية
اهتم المصري القديم بمظهره ونظافته الشخصية للغاية، ومن أجل ذلك اخترعوا المرايا، تلك المرايا التي تملأ بيوتنا اليوم، هي من إبداعات المصريين القدماء.
ولم يتوقف الأمر عند هذا الحد، بل أنهم كانوا أيضًا هم من اخترعوا فرشاة ومعجون الأسنان، حيث كان معجون الأسنان في مصر القديمة عبارة عن وصفة تتضمن أملاح الصخور والنعناع والفلفل، كما كانت هناك وصفة أخرى تتضمن قرون الثيران المطحونة والرماد، والتي عند امتزاجها باللعاب تصنع خليطًا منظفًا للأسنان، ليس هذا فحسب، بل أنه من العجيب أن تعرف أن أول أقراص نفَس منعشة في التاريخ صُنعت في مصر القديمة، حيث صُنعت من القرفة والبخور والعسل.
الزراعة
كانت حضارة مصر القديمة حضارة زراعية، فاحتاجوا إلى تطوير الآلات والأدوات لمساعدتهم في الزراعة، فاخترعوا المحاريث التي كانت تجرّها الثيران، وبعد حرث الأرض كانوا يبذرون البذور، ثم يجرّون الثيران فوق الأراضي الزراعية مرة أخرى لغرس البذور في التربة.
وكانت الطريقة المصرية في الري عالية الكفاءة، حيث أنها انتقلت إلى اليونان وروما، عن طريق الفيلسوف اليوناني طاليس، والذي كان قد عاش في بلاد مابين النهرين لفترة من الزمان، إلا أنه لم ينقل طريقة الري من بلاد مابين النهرين، فكان المصريون القدماء يحفرون الخنادق والترع للتوصيل بين النهر النيل وبين المساحات المزروعة.
العمارة
برع المصريون القدماء في العمارة، وها هي معابدهم تشهد على ذلك، ولا يسعنا الحديث عن العمارة وجمالها في مصر القديمة دون ذكر رمسيس الثاني، فأحد أهم الآثار في مصر القديمة هو معبده، أبو سمبل، والذي صممه المصريون بدقة بالغة، لتُشرق الشمس مباشرة على وجوه تمثالي رمسيس الثاني والإله آمون في يومين فقط من كل عام (21 من فبراير، و21 من أكتوبر)، وهما يوم ولادته ويوم تتويجه، ويأتي السياح إلى مصر في كل عام في ذلك التوقيت لمشاهدة هذا الحدث الفريد من نوعه.
علم الفلك
كانت الأجرام السماوية مهمة في مصر القديمة على الصعيدين، العملي والروحاني، حيث كانت النجوم شاهدة على أعمال الآلهة العظيمة، كما كانت حركة النجوم أيضًا تُعلم المصريين بمواقيت المطر وزراعة المحاصيل.
كما كانت النجوم ذات بُعد ديني، فكان يُرمز للآلهة بنجوم السماء، حيث كان يرمز «حزام الجبار-Orion belt» إلى الإله أوزيريس، ومن عجائب الأمور أن تعرف أن نجوم حزام الجبار تتعامد فوق أهرامات الجيزة الثلاثة!
واستخدم الفلكيون في مصر القديمة أداة تُدعى «ميرخت-Merkhet»، والتي كانت تستخدم لدراسة حركة بعض النجوم، فقد استطاعوا تحديد مواقع النجوم بدقة باستخدام هذه الأداة.
وأزيدكم من الشعر بيتًا، فإن التقويم السنوي ذو ال 365 يوم الذي نعتمده اليوم، كان أول من توصل إليه هم المصريون القدماء، بل كانت السنة لديهم مقسّمة على 12 شهرًا في كل منهم 30 يومًا، بالإضافة إلى خمسة أيام إضافية، كما كان اليوم في مصر القديمة مقسّمًا على 24 وحدة ترمز كل وحدة منهم إلى إله معين.
الرياضيات في مصر القديمة
كانت الرياضيات في مصر القديمة مستخدمة في كل شيء تقريبًا، فقد استخدموها في الإحصاء وحسابات الضرائب وفي المشاريع الهندسية الضخمة، كالأهرامات على سبيل المثال، والتي قد يتعجب القارئ من عدم ذكرها عند الحديث عن العلم في مصر القديمة، إلا أننا سنُفرد لها جزءًا لذاتها.
واستُخدمت الرياضيات في هندسة المعابد والمباني، والتي ما كانت لتكون بهذا الجمال لولا النسب الرياضية الدقيقة، كما شكّل تقدم المصريين في الرياضيات حجر الأساس لتفوق الرياضيين اليونانيين القدماء، حيث أن «فيثاغورس-Pythagoras» كان قد تعلم الرياضيات في مصر على أيدي الكهنة.
الطب في مصر القديمة
تأثر الطب في مصر القديمة بالسحر لأبعد الحدود كما ناقشنا في الجزء الثاني من هذه السلسلة، حيث كان الأطباء يستخدمون التعاويذ والرسومات لعلاج المرضى، وكانت مهارة السحر من المهارات الأساسية المطلوبة لتوظيف الممرضات، إلا أنهم استطاعوا وصف بعض الطرق للعلاج، والتي تتعلق بالطب الحقيقي، ولعل أشهر آثار المصريين القدماء الطبية هي البرديات الطبية، وأشهر هذه البرديات هي:
1- «بردية إيبرس-Ebers papyrus»
وهي عبارة عن نص من 110 صفحة، يصف بعض العلاجات المستخدمة في ذلك الوقت لأمراض القلب والسرطان والاكتئاب والأمراض الجلدية.
2- «بردية لندن-London papyrus»
وهي بردية مزجت بين المهارات الطبية الحقيقية وبين التعاويذ السحرية، فقد ذكرنا في السابق العلاقة القوية بين الطب في مصر القديمة وبين السحر.
3- «بردية إدوين سميث-Edwin Smith papyrus»
وهي أقدم عمل بشري يصف العمليات والتقنيات الجراحية، وهي تُظهر معرفة المصريين القدماء المفصلة بعلم التشريح، كما كانت تحتوي على خطوات العلاج التي يقوم بها الأطباء حتى اليوم، وهي الفحص والتشخيص ووصف العلاج.
اتصالات وحوسبة وتشفير وذكاء اصطناعيّ وتعلم آلي… في عصرنا عصر المعلومات الفضل يعود لعالم عبقري وحيد. إذ قدم إسهامات هامة وفريدة، اسمه قد يكون غريب على مسمعك فهو ليس «ألبرت أينشتاين_Albert Einstein» أو «ريتشارد فاينمان_Richard Feynman» ولم يفز بجائزة نوبل! إنه العالم «كلود شانون_Claude Shannon». ففي ورقة بحثية واحدة، وضع أساسيات الاتصالات التي كانت العمود الفقري لعصر المعلومات الحديث. هل تشعر الآن بفضول للتعرف عليه أكثر وعلى ما قدمه؟ في السطور القادمة سنسرد لك قصته، فهيا بنا…
حياة كلود شانون
ولد كلود شانون في جيلورد بولاية ميشيغان بالولايات المتحدة في عام 1916م. توفي في 24 فبراير 2001، كان والده رجل أعمال محلي ومعلم. تخرج شانون من جامعة ميشيغان بدرجة البكالوريوس في الرياضيات والهندسة الكهربائية في عام 1936م. حصل على منصب باحث مساعد في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (MIT). عمل مع الباحث الشهير «فانيفار بوش_Vannevar Bush». قد ألهمت فترة التدريب الصيفي التي قضاها شانون في «مختبرات بيل_Bell Labs» الأمريكية للهاتف والتلغراف في مدينة نيويورك عام 1937م مهاراته البحثية. حصل شانون على درجتي الماجستير في الهندسة الكهربائية والدكتوراه في الرياضيات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا في عام 1940م. إذ ساهم لأول مرة في العمل على أنظمة التحكم في الصواريخ المضادة للطائرات في عام 1941م، وأصبح شانون أستاذًا زائرًا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا في عام 1956م، وعضوًا دائمًا في هيئة التدريس في عام 1958م.
كلود شانون
الجدير بالذكر أن رسالة الماجستر الخاصة به في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا كانت في الجبر البوليني -هو منسوب للعالم «جورج بول_George Boole»، إذ يتعامل مع القيم المنطقية ويتضمن متغيرات ثنائية، ونستخدمه كمثال في تحليل البوابات والدوائر الرقمية- لتحليل وتركيب دوائر التبديل، حيث حول تصميم الدوائر من فن إلى علم.
من الدخان إلى الحمام الزاجل!
من التواصل بالدخان والنيران، حيث استخدمت القبائل الأصلية في أمريكا الشمالية النيران منذ مئات السنين أو حتى قبل ذلك؛ لنقل الرسائل فمثلًا كانوا يقيمون سُحب صغيرة بالدخان بأشكال مختلفة يمكن أن يكون لكل من رقم السحابة وشكلها والفاصل الزمني بينها معنى محدد. لم يكونوا هم الوحيدين، إذ استخدم الصينيون إشارات الدخان في العصور القديمة لإعطاء تحذيرات بشأن اقتراب العدو وكذلك اليونانيون.
ثم يأتي الحمام ونرى صورته على نقوش في سومر القديمة منذ ما يقرب من 5000 عام. كذلك الخلفاء المسلمون، إذ قاموا بإنشاء خدمة بريد الحمام الزاجل في جميع أنحاء الشرق الأوسط. ولم يتقاعد الحمام الزاجل حتى القرن الماضي. لعب أدوار مهمة في الحربين العالميتين. ومن الدخان إلى الحمام الزاجل ننتقل إلى الهاتف والتلفزيون! سعى البشر لإيجاد طرق تتيح لنا التواصل بشكل أسهل وأسرع، وهنا أتى دور عالمنا شانون الذي كان له دور هام.
رسالة بحثية لفانيفار بوش تغير مسار التاريخ
قام شانون بإرسال رسالة لمعلمه فانيفار بوش في عام 1939م. وضح فيها بعض أفكاره الأولية حول “الخصائص الرئيسة للأنظمة العامة لنقل الذكاء”. بعد عقد من الزمن، نشر شانون نظريته المصيرية. نشر “نظرية رياضة للتواصل” في عام 1948م، فدعونا نتعرف على تلك النظرية…
ما هي النظرية الرياضية في الاتصال؟
وضع شانون نموذج اتصال بسيط وهو أن يقوم المرسل بتشفير المعلومات في إشارة وتلك الإشارة تفسدها الضوضاء ثم يأتي مُستقبل ويفك تلك الإشارة ومن ثم نسمع الصوت واضح. على الرغم من بساطة النموذج إلا أنه شمل رؤيتين وهما عزل مصادر المعلومات والضوضاء عن نظام الاتصال المراد تصميمه، وتصميم هذين المصدرين بشكل احتمالي. تخيل أن مصدر معلومات ينتج العديد من الرسائل الممكنة للتواصل، ولكل منها احتمال معين. أضافت الضوضاء الاحتمالية المزيد من العشوائية لفك لغز المستقبل. قد ركز شانون -عزيزي القارئ- على سؤالين في ورقته البحثية وهما:
تحديد الترميز الأكثر كفاءة للرسالة باستخدام أبجدية معينة في بيئة خالية من الضوضاء.
فهم الخطوات الواجب تنفيذها في ظل وجود الضوضاء. ما معنى الكلام السابق؟ هذا ما سنتعرف عليه.
شرح نموذج شانون
هناك عدة مكونات في نموذجه ألا وهي:
مصدر الرسالة: هو المصدر أو المرجع الذي أنشأ الرسالة غالبًا ما يكون مصدر الرسالة بشريًا ولكن في نموذجه قد يكون حيوانًا أو كمبيوترًا أو أي كائنًا آخر حي أو غير حي.
المُشفر: هو الكائن الذي يربط الرسالة بالإشارات المادية الفعالة المرسلة فمثلًا، هناك طرق عديدة لتطبيق هذا النموذج على شخصين بينهما محادثة هاتفية. يمكن اعتبار أن الكلام الذي يقوله شخص واحد هو الرسالة واعتبار الهاتف والإلكترونيات المرتبطة به التي يتواصل من خلالها هي المُشفر. ذلك المُشفر الذي يحول الكلام إلى إشارات كهربائية تنتقل عبر شبكة الهاتف.
القناة: هي الوسيلة التي تنقل الرسالة، قد تكون القناة عبارة عن أسلاك أو هواء أو فضاء.
الضوضاء: هي التي تعارض إرسال الإشارة فهي بمثابة المانع. يحتوي النظام الواحد على عدة مصادر للضوضاء، لكن إذا تم فهم كل هذه المصادر، سيكون من الممكن التعامل مع كل مصدر على حدى وحل مشكلته.
وحدة فك التشفير: هي المسؤولة عن تحويل الإشارة إلى شكل مفهوم يمكن للمستقبل من خلاله فهم الرسالة. جهاز فك التشفير قد يكون سماعة الأذن مثلًا ودوائرها الإلكترونية.
المُستقبل: الكائن الذي يحصل على الرسالة.
لاحظ شانون أن مفتاح الاتصال هو «مبدأ عدم اليقين». مثال على مبدأ عدم اليقين، معك عملة عليها رمزان متساويان في الاحتمال إما صورة أو كتابة (على جهاز كمبيوتر مثلًا)، فقبل قذف العملة لا يعرف المُتلقي البيانات وأي رمز سيصدر في الجهاز وحيث يكون المُتلقي لديه حالة نسميها عجز بياناتي. فاستخدم هنا شانون المصطلح المعبر عن العجز البياناتي ألا وهو «عدم اليقين».
بدأ شانون في إطار عدم اليقين والاحتمال، بوضع مفهوم «بت_Bit» المعلومات الذي استخدمها كوحدة أساسية لعدم اليقين وقد كان أول من استخدم الكلمة (على الرغم من قوله أن عالم الرياضيات «جون توكي_John Tukey» استخدمها في مذكرة أولًا).
أهم ما توصل إليه شانون
توصل إلى معادلة للحد الأدنى من عدد البتات في الثانية لتمثيل المعلومات، وهو رقم أطلق عليه «معدل إنتروبي». وصياغة مفهوم الإنتروبي في الميكانيكا الإحصائية. يرتبط المفهوم المعلوماتي والديناميكا الحرارية للإنتروبي من خلال مفاهيم الاحتمالات والعشوائية. ذلك الرقم يحدد مقدار عدم اليقين في تحديد الرسالة التي سيولدها المصدر وكلما انخفض معدل الإنتروبي «H»، قل عدم اليقين. أي تقابل القيم الأعلى للإنتروبي الكميات الأعلى من عجز البيانات.
قدم معادلة للحد الأقصى لعدد وحدات البت في الثانية التي تتمكن من مواجهة الضوضاء والتي أسماها سعة النظام C وهذا المعدل الأقصى الذي يمكن للمُستقبل من خلاله حل عدم اليقين في الرسالة وفهمها بشكل أسرع.
أخيرًا، وضح أن الاتصال الفعال للمعلومات من مصدر يمكن أن يواجهة الضوضاء إذا كانت H <C، فالمعلومات كالماء وإذا كان معدل التدفق أقل من سعة الأنبوب، فسيمر الماء بشكل فعال.
تفسيرات غير منطقية!
إذا كنت تتحدث في مكان يعج بالصخب، فمن المنطقي أن أفضل طريقة تتأكد بها من وصول رسالتك هي أن تكررها عدة مرات. لكن وضح شانون أن ذلك ليس فعالًا للغاية. بالفعل كلما كررت كان الاتصال أكثر فعالية لكنك تضحي بالسرعة من أجل الفاعلية، فوضح أنه يمكن للمرء عدم التكرار وأن التواصل سيتم بشكل أسرع.
نتيجة أخرى، أنه مهما كانت طبيعة المعلومات فمن الأفضل ترميزها إلى أجزاء قبل إرسالها. في الراديو مثلًا يشير شانون إلى تحويل الموجة الصوتية أولاً إلى وحدات بت، ثم تعيين تلك البتات في الموجة الكهرومغناطيسية بما أن كلا من الصوت والإشارة الكهرومغناطيسية موجات. تُعد تلك النتيجة هي أساس عصر المعلومات الرقمية الحديث.
في نهاية مقالنا عزيزي القارئ، يمكننا القول بأن شانون اخترع رياضيات جديدة لوصف قوانين الاتصال. إذ وضحت النظرية كيفية إنتاج المعلومات ونقلها -كما وضحنا-. يُعتبر شانون” أب نظرية المعلومات”. فقد أصبحت الآن نظريته هي أساس ما تقوم عليه جميع أنظمة الاتصالات الحديثة: البصرية أو تحت الماء أو حتى بين الكواكب.
تخيل أن عدد كبير من البشر يعيشون في جزيرة واحدة، وهناك فقط مجموعة صغيرة من الأشخاص على أيديهم بقعة سمراء، وتلك البقعة طفرة. قد تضيع تلك الطفرة إن لم تكن ميزتها قوية، ولكن إذا هاجر أولئك الأفراد الحاملين للطفرة؛ قد تكون الطفرة مفيدة وتنتشر وسط السكان وقد لا يحدث ذلك! [1]
يدرس علماء الأحياء البنية السكانية لفهم آلية توارث الجينات عبر العصور وعلاقتها بالتطور، وهذا هو صلب حديثنا ولكن دعنا عزيزي القارئ نتعرف على أحد الدعائم الرئيسة لدراسة البنية السكانية وربطها بالتطور -كي نثبت أنه حتى الرياضيات أكدت نظرية التطور- ألا وهو الانتقاء الطبيعي.[1]
الانتقاء الطبيعي
عام 1859م، صيغت لأول مرة نظرية التطور عن طريق الانتقاء الطبيعي في كتاب داروين «حول أصل الأنواع». ووضح لنا الانتقاء الطبيعي هو أن الأفراد في المجتمع مختلفون وأن هذا الاختلاف عبّر عن أن بعض الأفراد لديهم سمات وراثية تجعلهم قادرون على التكيف وسط بيئة معينة وأن الأشخاص ذوي السمات التكيفية هم من لديهم القدرة على البقاء والتكاثر، وينقلون تلك الصفات للأجيال التالية وبمرور الوقت تصبح السمات المفيدة أكثر شيوعًا بين السكان.[2]
والانتقاء الطبيعي قادر على أكثر من ذلك، فمن الممكن أصلًا أن يدعم أنواعًا جديدة، وتُعرف هذه العملية بالتطور الكبير. حيث بيّنت لنا تحول الديناصورات إلى طيور والثدييات البرمائية إلى حيتان وأسلاف القردة إلى بشر! ولكن كيف يحدث ذلك؟ يؤدي أحد الأنواع إلى ظهور نوع جديد ومختلف تمامًا، وأصل حدوث ذلك هي الطفرات -هي تغير في بنية الجزئية للجينات-. قد تكون الطفرات عشوائية (ناتجة عن حدوث خطأ أثناء تكرار الخلايا خلال نسخ الحمض النووي) أو تحدث نتيجة للتعرض لكوارث بيئية أو إنسانية أو طبيعية كالمواد الكيميائيّة الضارة والاشعاع للنووي. يمكن أن تكون الطفرات ضارة أو محايدة أو مفيدة في بعض الأحيان، مما يؤدي إلى سمة جديدة ومفيدة.[3]
الرياضيات إما أن تؤكد أو أن تنفي النظرية التطورية
زادت النماذج الرياضية للانتقاء الطبيعي التطور صعوبة. فقد تم نشر ورقة بحثية جديدة في مجلة «Communications Biology» لفريق متعدد التخصصات من علماء في النمسا والولايات المتحدة، حيث قاموا بتحديد طريقة محتملة للخروج من تلك المتاهة. لكن على صعيد آخر، كانت نتائجهم معارضة بعض الشيء لما يحدث في الطبيعة. في نهاية المطاف، فإن أبحاثهم مفيدة للغاية للباحثين في مجال التكنولوجيا الحيوية وغيرها من المجالات التي تحتاج لتدعيم الانتقاء الطبيعي.[1]
قد أشارت نتائج الدراسة إلى أن ظهور الطفرات المفيدة يجب أن ينتشر عبر السكان. لكن هذه النتيجة غير مضمونة، فيمكن للحوادث العشوائية والأمراض والمصائب أن تمحو تلك الطفرات بسهولة عندما تكون جديدة ونادرة.[3]
لم يكن لدى علماء الأحياء سوى أفكار غير مطبقة علميًا حول تأثير البنية السكانية على الانتقاء الطبيعي. هنا اتجه «مارتن نواك_Martin Nowak» للرسوم البيانية الرياضية، فقد تمثلت في البنية السكانية التي تمثل العلاقات الديناميكية بين مجموعات العناصر. تلك العناصر على رأس الهيكل وتصف الخطوط والحواف بين كل زوج من العناصر المرتبطة في نظرية الرسم البياني التطوري. حيث الكائنات الحية في القمة وبمرور الوقت يكون لدى كل فرد احتمالية إنجاب ذرية مماثلة -حاملة لنفس الصفات الوراثية لكل من الأب والأم ولا يوجد طفرة جديدة بالجيل-، والتي من الممكن أن تحل محل فرد على الرأس المجاور -كما في صورة بالأسفل-. كذلك تواجه مخاطر استبدالها ببعض الكائنات من الجيل التالي.[1]
يتم ربط هذه الاحتمالات في البنية كـ “أوزان” -ذات اللونين الأزرق والأحمر- واتجاهات في الخطوط بين الرؤوس. فالأوزان تمثل السلوكيات في المجتمعات الحية كـ “أن تعبر الارتباطات التي تزيد من احتمال عزل السلالات عن بقية السكان عن الهجرات”.[1]
محاكاة التطور في رسم بياني سكاني
أهنالك شكوك تحيط كل التأكيدات!
تم نشر ورقة بحثية في مجلة «Nature» عام 2005م، أظهر فيها نواك وزملاؤه مدى قوة بعض البنى السكانية. تلك التي يمكن أن تمنع أو تدعم تأثيرات الانتقاء الطبيعي، فعند وجود أفراد مختلفون أي يحملون طفرة معينة مميزة فأولئك لن يستطيعوا أن يحتلوا أماكن وسط المجتمع وتلك البنية بمثابة عائق للتطور أي لا ينشأ جيل جديد مختلف. أيضًا لا يكون هناك فئات أخرى بينها نسب مشترك، ولكن حدث العكس مع بنية اختبروها العلماء -هي التي تمثل شكل النجمة في الأسفل- ووضحوا أن هناك طفرات تنتشر بشكل فعال. في نهاية المطاف، أتت النتائج بأن النماذج السكانية لهذه الدراسات تنطبق فقط على الكائنات الحية اللاجنسية مثل البكتيريا والميكروبات… [1]
ختامًا -عزيزي القارئ- نستطيع القول بأن الرياضيات أكدت قوة البنى السكانية التي تدعم الانتقاء الطبيعي وتقدم الأوراق الحديثة والسابقة حجة للبنية السكانية كقوة ذات مغزى في التطور.[1]
كثيراً ما ورد إسم هيباتيا على مسمعك قبل قراءتك للمقال، حيث ذكرت في العديد من الكتب والروايات مثل رواية “عزازيل” للكاتب يوسف زيدان ورواية “هيباتيا” للروائي الإنجليزي تشارلز كينجسلي-Charles Kingsley. وبالطبع تتساءل الآن عن حياة هيباتيا التاريخية ولماذا تعتبر بهذه الأهمية. خلال هذا المقال البسيط سنذكر باختصار حياة عالمة الرياضيات والفيلسوفة السكندرية وسبب اغتيالها الوحشي وكيف قتلت؟
نشأة فيلسوفة الإسكندرية وتحول المشهد الديني للإمبراطورية الرومانية
الفيلسوفة وعالمة الرياضيات هيباتيا السكندرية
في عام 355 رُزق عالم الرياضيات والفيلسوف الشهير ثيون السكندري وزوجته المنحدرة من أسرة مفكرة بهيباتيا؛ وذلك ما شجع والديها على تعليمها ونشأتها لتكون شابة فيلسوفة ورياضية مثقفة، حيث حظيت هيباتيا على تعليم مختلف تماماً عن التدريب العملي للمصريات في ذلك الوقت. تعلمت هيباتيا في البداية كيفية تصحيح القواعد النحوية وتطوير مهارة التعبير البلاغي بالإضافة إلى إجادة المحتوى الرئيسي لبعض الأعمال الأدبية الشهيرة للعصور الوسطى، وتعلمت الرياضيات على يد والدها وهو ما وسع مداركها واهتمامها لتشمل لتشمل صوراً أُخرى مثل الفلسفة. والدليل على تقدمها وإجادتها للغة والقواعد النحوية هو تفوقها على والدها نفسه، الذي اهتم بتعليم الرياضيات بشكل مركز. وتضمن تدريبها قراءة منهجية لمجموعة من النصوص الرياضية التي تم إعدادها بصورة خاصة بحيث تسمح لها باكتساب وتطوير المهارات الرياضية الأكثر تعقيداً.
وعلى الرغم من أن الرياضيات والفلسفة تختلفان بشدة في إطار التعليم الجامعي الحالي، إلا أنهما مرتبطين بشدة خلال العصور القديمة؛ فكان فلاسفة المدرسة الأفلاطونية يهتمون بشرح الرياضيات كمنهج تمهيدي بحيث يتم تهيئ التلاميذ لدراسة أرسطو وأفلاطون.
نشأت هيباتيا في بيئة مضطربة دينياً، حيث شهدت الإمبراطورية الرومانية تحولاً من الدولة الوثنية إلى مجتمع مسيحي وثني واحتلت الديانة المسيحية الأغلبية شرق الإمبراطورية وخاصة في الإسكندرية. نشأت العديد من الصراعات بين الطائفتين بمصر وحاولت كل منهما السيطرة لتسود عقيدتها على البقية سواء بطرق شرعية أم لا، وهو ما سنذكر فيه اغتيال هيباتيا فيما بعد.
أعمال هيباتيا في الرياضيات والفلسفة
لوحة فنية للفنان Robert Trewick تظهر فيها هيباتيا وهي تشرح لتلاميذها بالإسكندرية
أكملت هيباتيا دراستها في أثينا وأصبحت عميدة للمدرسة الأفلاطونية في عام 400 م، وكانت معروفة آنذاك بدفاعها عن الفلسفة والتساؤل، ومعارضتها للإيمان المجرد ولا يوجد مصدر يؤكد ديانتها. تناولت هيباتيا في منهجها الدراسي فلسفة أفلاطون وأرسطو وتميز فصلها الدراسي بتلاميذ من ديانات مختلفة مثل المسيحية، الوثنية والديانات الأجنبية. كانت هيباتيا محل تقدير وإعجاب تلاميذها المسيحيين واعتبرها بعض المؤلّفين المسيحيين في العصور اللاحقة رمزًا للفضيلة.
اشتركت هيباتيا مع والدها في معظم أعمالها نظراً لندرة وجود أعمال أنثوية منفردة في العصور القديمة، ومن اسهاماتها:
علم الفلك: رسمت مواقع للأجرام السماوية، واخترعت مقياس ثقل السائل النوعي (الهيدرومتر) المستخدم في قياس كثافة ولزوجة السوائل. الرياضيات: بعد الدمار الدامي لأماكن العلم مثل مكتبة الإسكندرية، وُجدت فقط البعض من أعمال هيباتيا وثيون من كتاب “الأصول” لإقليدس، وتعليقات هيباتيا على كل من كتاب “أريثميتيكا” لديوفانتوس، وكتاب الجداول – Handy Tables لبطليموس، وكتاب بليناس “القطع المخروطي – Conics” ولم يتم الحفاظ عليها إلا من خلال النسخ التي جلبها العلماء إلى مدن الشرق الأدنى؛ حيث تمت ترجمتها إلى العربية.
صراع هيباتيا مع الكنيسة واغتيالها الوحشي
كانت هيباتيا تعتبر نفسها أفلاطونية محدثة، ومن أتباع أفكار فيثاغورس؛ وهو ما وجه أعين العديد من المنافسين الفلسفيين – وخصوصاً المسيحية – بالعداوة لها ورفض أقوالها الأفلاطونية. والذي زاد هذه العداوة وسبب حرجاً للكنيسة هو الجمهور التي حظيت به هيباتيا من المثقفين. وكانت الكنيسة وعلى رأسها وراعيها الأسقف “كيرلس الأول” الملقب بعمود الدين قد أدركوا خطورة هيباتيا الفيلسوفة على جماعة المسيحيين في المدينة، بالإضافة إلى صداقتها بوالي الإسكندرية «أوريستوس». كان أوريستوس يحترم ويقدر هيباتيا ومن أحد أحد تلاميذتها بالمدرسة الأفلاطونية، ومن الممكن أنه سبب آخر لاستياء البابا وقتها.
اتهمت الكنيسة هيباتيا بالإلحاد والسحر وتعارضها مع المبادئ المسيحية، وتشكل جيش من الرهبان بالكنيسة يكن لها العداوة ويراقب تحركاتها داخل المدينة. وفي عام 414 م تعقبها الرهبان وهي عائدة من إحدى الندوات واعتدوا عليها وجردوها من ملابسها وجروها عبر شوارع الإسكندرية عارية تماماً بحبل ملفوف على يدها. وفي مقرهم عذبوها بسلخ جلدها حتى الموت وحرقوا جثتها ليكون موتها إيذاناً بنهاية عصر التنوير الفكري والتقدم المعرفي الذي شهدته مدينة الإسكندرية لمدة 750 عاماً وترك العديد من العلماء المدينة والتوجه لأثينا مراكز أخرى.
تخليد ذكرى هيباتيا
ذُكرت هيباتيا في العديد من النصوص التاريخية للقرن الخامس، والسابع، والعاشر. وقصة حياتها وموتها، وإسهاماتها في الرياضيات والفلسفة. وفي عام 1851م، قام الروائي الإنجليزي تشارلز كينجسلي بتحويل قصة حياة واغتيال هيباتيا إلى عمل درامي في رواية “هيباتيا“، كما جاء وصف السيرة الذاتية لهيباتيا في العديد من كتب والقصص القصيرة المجمعة مثل كتاب “رحلات إلى بيوت معلمين عظام” للكاتب ألبرت هابرت في عام 1908.
الرياضيات علم بالمعنى الواسع للمعرفة المنهجية الوضعية، لكن القطاع الأكبر من الناس تستخدم مصطلح العلم-science لوصف العلوم الطبيعية فقط، الرياضيات تستخدمها العلوم الطبيعية كلغة لوصف وتحليل الكون بإيجاز ودقة، هل تعتبر الرياضيات علماً؟ ، جوهر الإجابة على هذا السؤال في فهم المنهج العلمي والمنهج الرياضي ومعرفة الفرق بينهما.
المنهج العلمي يستخدم العلم منهجاً يتكون من صياغة الفروض ثم اختبارها ثم بناء على نتائج الاختبار يتحدد موقفنا من الفرضية، فالنظرية العلمية تعبر عن أفضل التقديرات المقبولة وفق الأدلة التجريبية المتاحة في وقت صياغتها، ومن الممكن تعديلها في حالة ظهور دليل جديد، على سبيل المثال نظرية التطور هي نظرية تحظى باحترام كبير في الأوساط العلمية، ولكن لا يمنع هذا من إحداث تغييرات فيها إذا ظهرت أدلة جديدة.
المنهج الرياضي الرياضيات تعتمد على البرهان وليس الدليل التجريبي، والنظرية الرياضية تكون صحيحة دائماً وفق شروطها، ولإثبات صحتها تحتاج سلسلة من البراهين المنطقية تبدأ من الشروط لتصل إلى الاستنتاج المطلوب، على سبيل المثال مبرهنة أن كل عدد زوجي أكبر من أربعة هو مجموع عددين فرديين، هناك العديد من الأدلة التجريبية لا حصر لها تثبت صحة هذه المبرهنة 17+3=20، 333+7=340، 15+15=30، 101+3=104 …..…..إلخ، لكن لا يمكننا الجزم بصحة هذه المبرهنة بدون وجود برهان رياضي، وحتى يأتي هذا الإثبات من المقبول رياضياً أن نتصور وجود عدد زوجي أكبر من أربعة لا يتكون من مجموع عددين فرديين.
جدير بالذكر أنه في عصرنا الحديث ومع تعقيداته على المرء أن يضبط استعماله للمعادلات الرياضية بالمعرفة التجريبية والاختبار في بعض نواحي المعرفة، مثال ذلك التنبؤات الاقتصادية بعيدة المدى.
لماذا لا توجد جائزة نوبل للرياضيات؟ قد يتبادر للذهن عندما نعلم أنه لا توجد جائزة نوبل للرياضيات، بأن الرياضيات تعامل معاملة من الدرجة الثانية، وأن قيمتها مبالغ فيها بعض الشئ، قد يكون هذا الأمر قد تسرب لألفريد نوبل وشعر بأن الرياضيات ليس لها تأثير كبير في عصره الذي عاش فيه، وأن الكيمياء والفيزياء والطب والأدب لها تاثير أكبر على العالم ، لكن علينا ألا نهمل سبب رئيس آخر هو وجود جائرة ذات قيمة معتبرة للرياضيات يمنحها ملك السويد أوسكار الثاني، ولم يرد ألفريد نوبل وقتها أن يكون منافس للملك في ذلك، فمالسألة هنا مرتبطة بتصور شخصي لألفريد نوبل وفق ظروف عصره، كما أن الجائزة من ماله الخاص يعطيها لمن يشاء، ولا يعتبر هذا حكماً على شئ بالدونية إذا لم يكن يشعر بالحاجة لإعطاء الجائزة لمجالات أخرى مثل الرياضيات.
