ما حل المعادلة الموضحة أدناه يا تُرى؟

غالبا ما ستكون قد درست حل هذه المعادلة والذي هو i. ولكن لماذا حل تلك المعادلة مختلف؟ وما معنى i وما علاقتها بعنوان المقال أصلًا؟ هذه هي معادلتنا الشهيرة التالية في سلسلة أشهر المعادلات الرياضية في التاريخ، حيث سنركز حديثنا حول ماهية الأعداد المركبة وأهميتها وتاريخها والكثير من المعلومات المثيرة حولها.

ما هي الأعداد المركبة؟

في نظام الأعداد الحقيقية لا يوجد حل للمعادلة التالية:

لذا هناك نظام رقمي آخر يوضح حل تلك المعادلة، وذلك النظام يعتمد على جزئين. الجزء الأول يسمى بالجزء الحقيقي والثاني بالجزء التخيلي والصيغة موضحة كالتالي:

أمثلة على الأعداد المركبة:

• 7i−2 حيث 2- الجزء الحقيقي و7 الجزء التخيلي.
• 4−3i حيث 4 الجزء الحقيقي و3- الجزء التخيلي.
• 9i حيث 0 الجزء الحقيقي و9 الجزء التخيلي.
• 2- حيث الجزء الحقيقي 2- والجزء التخيلي 0.

لندرس الآن بعض العمليات على الأعداد المركبة:

• الجمع

• الطرح

• الضرب

كيف ظهرت الأعداد المركبة؟

تتميز الأعداد بتاريخها الطويل، والحديث هنا سيرتكز على الأعداد المركبة؛ حيث ظهرت الأعداد المركبة للحاجة إلى حل المعادلات التكعيبية وليست المعادلات التربيعية كما هو شائع. فيمكننا رؤية حلول مختلفة الأنواع للمعادلات التربيعية وهي حلول جبرية وجدها الخوارزمي وتلك الحلول تُدرس إلى وقتنا هذا لكنها تقتصر على الحلول الموجبة فقط، لا السالبة. وقد كان الخوارزمي حينها عضوًا في بيت أو دار الحكمة وهي شبه أكاديمية للعلماء، أُنشأت في بغداد.

وقد أُدخلت الطرق الجبرية المعروفة عند العرب إلى إيطاليا عن طريق الترجمة اللاتينية لجبر الخوارزمي من قِبل جيرارد كريمونا ومن خلال أعمال ليوناردو دا بيزا (فيبوناتشي).

وفي حوالي عام 1225م، حينما عقد فريدريك الثاني محكمة في صقلية وتم تقديم فيبوناتشي للامبراطور، طرح عالم رياضيات محلي عدة مشكلات قام فيبوناتشي بحلها جميعًا ومن بينها حل المعادلة الموضحة أسفله: (فمن خلال ملاحظة ما يأتي جيدًا، يمكنك تتبع تلك المشكلة ومن توصل إلى حلها لفهم كيفية ظهور الأعداد المركبة).

حيث المعادلة التكعيبية العامة هي:

يمكن اختزال وتبسيط المعادلة على النحو الآتي:

ومن خلال تغير المتغير

حيث ظهر هذا التغيير للمتغير لأول مرة في مخطوطتين مجهولتي الهوية حوالي نهاية القرن الرابع عشر.

فإذا أخذنا المعاملات والقيم الموجبة لـ X فقط، فستكون لدينا ثلاث حالات، تُعرف باسم Depressed cubic وهي:

من سيبيوني إلى تارتاليا

فكان أول من حل المعادلة 1 وربما أيضًا المعادلتين 2 و3 هو سيبيوني ديل فيرو، وعلى فراش موته، أسند الصيغة إلى تلميذه أنطونيو ماريا فيوري، الذي تحدى عالم رياضيات يسمى نيكولو فونتانا تارتاليا في مسابقة رياضيات. وقد أعاد هذا الأخير اكتشاف الصيغة وأخبر جيرولامو كاردانو بها ووقع معه قسمًا على السرية بعد أن أخبره بالصيغة فقط. إلا أن كاردانو تمكن فيما بعد من بناء إثبات. وبعدها عرف كاردانو أن ديل فيرو لديه الصيغة وتحقق من ذلك من خلال مقابلة أقاربه والذين منحوه حق الوصول إلى أوراق ديل فيرو. فنشر كاردانو الصيغة بجميع حالاتها الثلاث في Ars Magna وذكر أن ديل فيرو هو المؤلف الأول، وأن تارتاليا عمل بطريقة مستقلة وحصل على الصيغة.

كانت تتمثل الصعوبة بالحالة 2، في ظهور جذر تربيعي لرقم سالب في الصيغة. فهنا الاشتقاق، حيث سنعوض X= U+V في المعادلة التي بالصورة.

لتكون النتيجة:

حيث 3uv = p وu^3+v^3=q، وu^3 v^3=(p/3)^3.

وبذلك يكون جمع وحاصل الضرب لمكعبين معروفين. فيستخدم ذلك لتكوين معادلة من الدرجة التانية، يتم حلها بسهولة.

لكن يوجد W- وقد تجنب كاردانو مناقشة تلك الحالة وتوضيحها في Ars Magna وربما قد يكون برر ذلك في ذهنه بعدم وجود حل حقيقي موجب للمعادلات التكعيبية. فتقول بعض المصادر أن كاردانو هو أول من أدخل الأعداد المركبة a+√-b في الجبر على الرغم من شكوكه، حيث طرح المشكلة الآتية في Ars Magna والتي تخص تقسيم 10 إلى جزئين ويكون حاصل ضربهمها 40.

ما حل مشكلة كاردانو؟

على ما يتضح أن تلك الحالة مستحيلة، لكن لنقسم 10 إلى جزئين متساويين، فيكون بذلك كل جزء 5. من ثم نربع 5، فستكون 25. لنطرحها من 40، فيكون الناتج 15- والجذر التربيعي المضاف إلى 5 أو مطروحًا منه سيعطينا أجزاء حاصل ضربها 40، لنرى ذلك.

الأجزاء هي 15-√- 5 و 15-√+ 5 ولنضرب الأجزاء في بعضها، ستعطينا (15-)-25، سيكون الناتج بذلك 40.

هذه ببساطة المشكلة المطروحة وحلها، لذلك ينسب البعض الفضل لكاردانو في إدخال الأعداد المركبة.

ما بعد كاردانو

بعد ذلك يأتي رافائيل بومبيلي بمجموعة كتبه (I’Algebra) المتكونة من ثلاثة كتب ويطرح فكرة 1-√ ويتعمق بشكل أكثر من كاردانو. حيث اعتبر بومبيلي المعادلة الآتية:

التي تعطيها صيغة كاردانو:

فيحصل على a=2, b=1 وهكذا ينتج:

يأتي بعد ذلك ديكارت لكي يربط الأرقام التخيلية التي توجد في العدد المركب بالاستحالة الهندسية، وصاغ مصطلح (لأي معادلة يمكن للمرء أن يتخيل لها العديد من الجذور ولكن قد لا يوجد كمية تتوافق مع ما يتخيله المرء). من ثم ينظر جون واليس إلى الأرقام السالبة بشكل مختلف ويوضح أنها تقدم تفسير مادي جيد وأعطى تفسير هندسي لـ 1-√. ننتقل بعدها لأبراهام دي موفر صاحب نظرية دي موفر الشهيرة والتي صيغتها بالأسفل وهي لحساب الجذور التكعيبية.

وقد أتى بعد ذلك العديد من العلماء والكثير من الاجتهادات في سبيل توضيح واستخدام العدد المركب أكثر وأكثر ووضع نظريات مثل جاوس وهاملتون وأرجاند وأويلر، نهاية بكوشي.

ما فائدة الأعداد المركبة؟

بعد ما تم توضيحه في الإطار التاريخي لتلك الأعداد وكيفية ظهورها على نحو موجز، تتبين أهميتها في العديد من العلوم، فللأعداد المركبة تطبيقات عدّة نجدها مثلًا في ميكانيكا الكم والهندسة الكهربائية والميكانيكية وعلوم الحاسوب وغيرها، والتي تعتمد على المعادلات بكل تأكيد، خاصة وأن سبب ظهورها، كما أسلفنا، هو حل المشكلات المتعلقة بالمعادلات التكعيبية والمثير أنها تسمح لنا بحل أي معادلة متعددة الحدود.

المصادر

1. khanacademy
2. ShortHistoryComplexNumbers2006
3. khanacademy
4. study
5. livescience
6. brilliant.org

يُعزى الفضل في النهضة الأوروبية إلى علوم منها التفاضل والتكامل. فلولاهما لما كنت تستخدم هاتفك الآن لقراءة هذا المقال مثلًا، فتطببقاتهما لا تُعد. فنحن بحاجة دائمة إليهما لفهم نماذج المناخ أو النمو السكاني أو انتشار الأمراض أو آليات حل النزاعات أو التعامل مع الأزمات الاقتصادية والمالية وغيرها من الأمور. كما ستجد تطبيقاتهما في أغلب العلوم. إذ يمثل التفاضل والتكامل العمود الفقري للتعامل مع المشكلات. وفي هذا المقال ستعرف عن كيفية بدء التفاضل والتكامل؟ وما الفرق بينهما؟ إضافةً إلى التطرق لأحد أهم المفاهيم التي أسهمت في بناء التفاضل والتكامل. والتعرف على المعادلة الخاصة به ألا وهي النهايات Limits، كأحد أشهر المعادلات الرياضية في التاريخ. 

ما هو التفاضل والتكامل؟ 

باختصار، يقيس التفاضل والتكامل معدل التغير الذي يحدث في كل ظاهرة بالكون تقريبًا. وينقسم إلى تكاملات ومشتقات. فالتكامل عملية عكسية للتفاضل، فالتفاضل معني بتقسيم الدالة إلى أجزاء، بينما يُستخدم التكامل لتوحيد تلك الأجزاء، لتشكيل الدالة الأصلية. أما هندسيًا، فيستخدم التفاضل والتكامل لإيجاد ميل المنحنى أو المساحة الواقعة أسفل المنحنى. ويعمل التفاضل على تحديد معدل التغيير كإيجاد ميل الدالة عند نقطة ما. بينما التكامل معني بإيجاد المنطقة الواقعة تحت منحنى دالة.

وهناك بنية تحتية تحمل هذين الفرعين وقبل معرفة أحد هذه الركائز وهي «النهايات-Limits». والآن، لنفهم جيدًا المراحل التي مر بها علم التفاضل والتكامل ومن أين خرجت لنا النهايات وما فائدتها؟ 

علماء التفاضل والتكامل

ربما مرت على مسامعك معلومة أن العالم البريطاني إسحاق نيوتن والعالم الألماني جوتفريد لايبنتز هما من وضعا المبادئ الأساسية للتفاضل والتكامل في القرن ال17، وطور كلا منهما هذه الأساسيات على نحو مستقل. لذلك نسب الفضل لكليهما في اختراع التفاضل والتكامل. وتأتي كلمة Calculus من اللاتينية والتي تعني الحجر الصغير مشيرة إلى “الحصى” التي استُخدمت قديمًا في العد من قِبل الإغريق. ولقد كتب «ستيفن ستروغاتز-Steven Strogatz» في كتابه Infinite Powers ساخرًا أن كلا من إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبتنز كانا يعانيان من حصوات. حيث كان يعاني نيوتن من حصوات في المثانة، ولايبتنز بحصوة في الكلى، ويالها من صدفة!
المهم أن حساب التفاضل والتكامل كان مفتاحًا للعمل على قوانين نيوتن للحركة، والتي بدورها حفزت الثورة الصناعية. كما أنها أساسية لميكانيكا الكم، التي تدعم الثورة الحديثة في أجهزة الحاسوب والاتصالات. فكان تطور حساب التفاضل والتكامل ملبيًا للحاجة الماسة لمحاولات فهم الطبيعة. أي هندسة الخطوط والأسطح المنحنية، ودراسة الكواكب والتسارع والتباطؤ في مداراتها، وقوانين التغيير وغير ذلك. 

ما قبل نيوتن ولايبتنز

لكن قد سعى الكثيرون من قبل نيوتن ولايبتنز، فقد ناقشها أرخميدس في اليونان القديمة وباسكارا الثاني في الهند. وقد طورا أفكارًا لحساب التفاضل والتكامل قبل القرن ال17 بفترة طويلة. لكن لم يتم الاعتراف بأفكارهم وفهم اكتشافاتهم الثورية أو ربما دفنتها أفكار أخرى.

وفي أوائل القرن ال 17، تنافس الكثير من العلماء مثل ديكارت وبيير دي فيرما على الجمع بين الهندسة والجبر. نجم عن تلك المنافسة هندسة تحليلية ضرورية لحساب التفاضل والتكامل بالوقت الحاضر. فنحن الآن نأخذ الرسوم البيانية التي تحتوي على متغير واحد على المحور x والآخر على المحور y كأمر مسلم به. بينما لم يكن من البديهي حينذاك أنه يمكنك رسم المعادلات بهذه الطريقة.  

من أين أتى مفهوم النهايات Limits؟ 

استخدم الإغريق طريقة الاستنفاد، وهي طريقة لإيجاد مساحة الأشكال. وقد اشتهر أرخميدس باستخدام هذه التقنية لتقدير π وإيجاد مساحة سطح الدائرة. حيث وضع أشكال ذات أضلاع مستقيمة داخل الدائرة، لكن لم تعطِ هذه الطريقة تفسيرًا لغياب حساب تلك المساحات الصغيرة جدًا على الهامش داخل الدائرة. ومن هذه النقطة بالتحديد بدأ ظهور النهايات.

جاءت النهايات كي تعبر عن تلك المساحات الصغيرة جدًا في الهوامش، والتي مثلت مشكلة عند إيجاد مساحة أشكال كالدائرة. وهي نفس المشكلة التي عمل عليها علماء كثر وتعرف بإيجاد المماس أو المساحة تحت منحنى ما. فإذا عدنا لأرخميدس، فمهما قام بزيادة عدد الأضلاع، فستبقى هناك دائمًا مساحة صغيرة جدًا موجودة كما موضح بالصورة. ولكي تغطي الأضلاع جميع الدائرة دون أي مسافات، يجب أن تندمج نقطة البداية للضلع مع نقطة النهاية ويصبحا نقطة واحدة وذلك مستحيل رياضيًا. لأن عدد الأرقام على خط الأعداد الطبيعية لا نهائي، مهما كانت المسافة بين نقطتين صغيرة.

تلك هي نفس مشكلة الضلع الذي نود أن تتطابق نقطتيه. لذا وصل أرخميدس إلى نتيجة، وهي أن هناك رقم صغير جدًا مفقود، لكنه أكبر من الصفر. وهي نفس النتيجة التي توصل إليها أيضًا نيوتن ولايبتنز وأعطوها مصطلح «الأعداد متناهية الصغر-infinitesimal numbers». أتى العالم كوشي لاحقًا ليحل المشكلة التي ذكرناها، حيث لم يتمكن من سبقوه من حلها على نحو أدق. إذ أتى بمفهوم «النهايات-Limits». وجاء من بعده علماء مثل جورج كانتور للعمل أيضًا عليها. وتعدّ النهايات ركيزة أساسية لعلم التفاضل والتكامل بحق، فلماذا؟

إذًا ما هي النهايات Limits؟

تمثل النهاية -ويمكننا إطلاق اسم القيمة أو الحد عليها- فكرة التقارب. وتُستخدم لتعيين قيم دوال معينة في نقاط لا يمكن تحديد أي قيم فيها بالمرة. فمثلًا الدالة (x^2-1) / (x-1) غير معرفة عند x = 1. وذلك لأن القسمة على صفر ليست عملية رياضية صحيحة. لذلك، نحتاج إلى أن نعرف قيمة x التي تمكننا من تحليل البسط وقسمته على x-1 مع المقام لتجنب القسمة على الصفر، وهو ما سيعطينا x+1.

إذًا فحاصل القسمة سيساوي x+1 لجميع قيم x باستثناء 1والتي ليست لها قيمة. وعلى الرغم من ذلك، يمكننا تعيين 2 للدالة الأساسية ((x^2-1) / (x-1))  ليست كقيمتها عند x=1 لكن عندما تقترب x من 1.

وهذه هي معادلتنا الشهيرة: 

نهايةً، وجب عليك معرفة أنك لن تتمكن من الإلمام بالنهايات أو بالتفاضل والتكامل عامة بعد تلك المقدمة المبسطة بالتأكيد! لكن إليك بعض المساقات والكتب التي قد تساعد على نحو كبير في تأسيسك في هذا العلم الرائع والصعب. كما يحتاج إلى التزام وصبر، كما ننصحك بالتمارين بعد كل جزء لفهم الأفكار والتطبيقات المختلفة. 

1. Khan academy
2. anaHr
3. Thomas’ Calculus

بالاستعانة بتلك المصادر المبسطة للمبتدئين، فستفهم جيدًا. وستغنيك عن التيه بين الآلاف من المصادر التي قد تكون جيدة أيضًا. 

المصادر

• livescience
• britannica
• byjus
• britannica

كيف توصل نيوتن لقانون الجاذبية وما هي تطبيقاته؟

تقول القصة الشهيرة أنه بينما كان نيوتن جالسًا تحت شجرة التفاح. سقطت تفاحة على رأسه وظل يتساءل عن السبب وراء وقوع تلك التفاحة عموديًا على الأرض ولمَ لم تصعد لأعلى مثلًا. وبعدها صاغ نيوتن نظريته عن الجاذبية -الشهيرة- تقريبًا عام 1665 أو 1666. لذا في هذا المقال سنتعرف على تاريخ الجاذبية الذي أوصلنا لأشهر المعادلات الرياضية في التاريخ. وهي معادلة نيوتن للجاذبية وكذلك عن أهمية هذه المعادلة وتطبيقاتها وهل قصة تفاحة نيوتن حقًا مختلقة؟

نبذة عن تاريخ وتطور الجاذبية 

على الرغم من أن نيوتن له الفضل في الوصول إلى القانون الشهير للجاذبية المستخدم إلى يومنا. إلا أن للجاذبية تاريخ طويل حقًا فيه علماء كثيرين تفكروا في ماهيتها قبل نيوتن. فمنذ بداية القرن السادس عشر، نشأت وجهات نظر وتطورات من ناحية الظواهر الفيزيائية مثل فكرة التركيب الذري للكون. ويُعدُّ ديموقراطيس من أكثر الفلاسفة المؤثرين وأحد مؤسسي المدرسة الذرية في الفلسفة، والتفكر في المفهوم الذري لطبيعة المادة وأنواع الذرات المختلفة التي تتحرك في الفراغ والتفاعلات بين الذرات وتأثيرها. كذلك في هذا العصر تم توضيح فكرة الفراغ والذرات والتصادمات بينها، فمثلًا وضح «لوكريتيوس-Lucretius» أنه يتم استنتاج الترتيب الزماني و المكاني للظواهر الفيزيائية من خلال طبيعة الذرات وتصادمها داخل الفراغ، أيضًا ذكر مبدأ ثبات المادة وعدم فنائها وذلك ينتمي إلى أساسيات ميتافيزيقيا ديموقراطيس، وبعد ذلك أتت العديد من المفاهيم والتفسيرات للكتلة، فكل ذلك كان بمثابة مقدمات غير مباشرة عن الجاذبية. 

مفهوم الكتلة… الباب للجاذبية

أتت العديد من التفسيرات لمفهوم الكتلة فمثلًا يأتي أرخميدس ليصيغ مفهوم الكتلة كما هو مفهوم حديثًا من خلال أطروحاته في الإحصاء والهيدروستاتيكا، حيث يحدد مركز الكتلة وكذلك يصيغ لأول مرة في تاريخ الميكانيكا قانون الروافع مع تطويره طرق لتحديد المساحات والأحجام ذات الطبيعة المعقدة واقترابه من بعض المفاهيم المتعلقة بطبيعة القوى الفيزيائية وقوة الجاذبية. 

كذلك أتى «نقولاس الكوزاني-Nicholas of Cusa» ليوضح خصائص الكتلة ولهذا العالم تأثير كبير على فكر «جوهانس كيبلر-Johannes Kepler» الذي قدم مقترحات حول فكرة الجاذبية أثناء بحثه في حركة الكواكب. ومن بعد ذلك وفي نفس الفترة -القرون الوسطى- وضح «جون فيلوبونوس-John Philoponus» لأول مرة أهم مفهوم للزخم والذي يمكن اعتباره رائدًا لمفهوم غاليليو عن القصور الذاتي، إذ تتناول نظريته كل من مفهوم الكتلة والحركة، لذا يمكن اعتباره مرتبطًا بمفهوم الجاذبية. 

وتوصل «جوهانس كيبلر-Johannes Kepler» أيضًا إلى فكرة وجود قوة فيزيائية مسؤولة عن إبقاء الكواكب في حركتها حول الشمس وبعدها تطرق لمفهوم الكتلة بشكل أكثر دقة عن من سبقوه، ويقترب من صياغة قانون الجاذبية، وعلى الرغم من عدم توصله له إلا أن عمله أحد أضلاع المثلث المهمة لنظرية الجاذبية لنيوتن.

من علم الحركة لقانون نيوتن! 

يأتي دور العالم «جاليليو جاليلي-Galileo Galilei» ليساهم في الجانب الحركي لحركة الأجسام المادية والتي تنشأ بالأساس تحت تأثير قوة ثابتة مع رفضه لأي تخمين نظري حول الجوهر الحقيقي لمصطلح القوة، وأفكاره هذه أيضًا أحد الأضلاع المساهمة في نشأة قانون الجاذبية. 

 بعد ذلك ينشر نيوتن كتابه الشهير المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية لأول مرة في عام 1687. الذي يقدم فيه الوصف الحركي والديناميكي للظواهر الفيزيائية فيما يتعلق بحركات وتفاعلات الأجسام المادية، ويستطيع نيوتن إعادة صياغة جميع قوانين كيبلر الثلاثة. كما أنهت نظرية الجاذبية لنيوتن كل معارضة لعمل جوهانس كيبلر أي لقوانينه الثلاثة لحركة الكواكب. 

كذلك اعتبر نيوتن الوقت مفهومًا فيزيائيًا أساسيًا، فيعيد عمله صياغة مفاهيم الفضاء والوقت والحركة والكتلة في طبيعتها القصورية والجاذبية ويمهد الطريق نحو الوصف المادي الحديث للواقع. كما يقدم مفهوم القوة في استخدامها الحديث؛ لوصف تفاعل الجاذبية ويميز بين العديد من أنواع القوى الفيزيائية.

إضافة لتوسيعه وجهات نظره حول القضايا العلمية المركزية مثل النظرية المعرفية والمنهجية والقضايا التجريبية. وكذلك القضايا الميتافيزيقية واللاهوتية والتي كان لها دور في تشكيل مفهوم نيوتن عن الطبيعة. وأخيرًا إدراكه المشكلات المفاهيمية وخاصة مشكلة تعريف القصور الذاتي للجسم المادي ومفهوم الفعل عن بُعد.

قصة التفاحة.. ما بين الحقيقة والاختلاق؟ 

تتيح الجمعية الملكية في لندن مخطوطة أصلية تصف كيف اكتشف نيوتن الجاذبية بعد أن شاهد تفاحة تسقط من شجرة في حديقة والدته حينما كان ناظرًا يتأمل من النافذة المطلة على الحديقة، ولكن لم يُروي أنها سقطت على رأسه. والناقل لهذه الرواية هو عالم الآثار ويليام ستوكلي وهو الكاتب للسيرة الذاتية لإسحاق نيوتن. حيث حينما كان معه في لقاء ما، خرج كل منهم بعد العشاء واحتسوا مشروبًا ما في الحديقة تحت أشجار التفاح. وقال له نيوتن أن الموقف الواقعين فيه الآن هو نفسه حينما خطرت في ذهنه فكرة الجاذبية. وقد روى كذلك تلك القصة فولتير الذي قيل بأنه سمعها من كاثرين بارتون ابنة أخت نيوتن وزوجها جون كوندويت وهذا يرجح أنه ربما تكون تلك القصة التي رواها نيوتن صحيحة.

ما هو قانون نيوتن للجاذبية وعلامَ ينص؟ 

يبيّن لنا قانون نيوتن للجاذبية كيف تتجاذب الأجسام -في الكون- ذات الكتلة مع بعضها البعض. وينص على وجود قوة تجاذب بين أي جسمين في الكون، وهذه القوة تتناسب طرديًا مع حاصل ضرب كتلتي أي الجسمين وتتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بينهما.

وتمثل:

F قوة التجاذب بين الأجسام. 

m1, m2 هي كتل الأجسام.

G هو ثابت الجذب العام أو ثابت الجاذبية.

ما هي أهمية وتطبيقات هذا القانون؟ 

لولا الجاذبية لما كنت تقرأ هذا المقال! فأنت ثابت على الأرض ممسكًا هاتفك دون أن تطير أو يطير هاتفك مثلًا، فهذا بفضل الجاذبية! وهذا مثال بسيط، فيُعدّ قانون الجاذبية أساسيًا في الفيزياء الكلاسيكية، إذ يفسر العديد من الظواهر من سقوط التفاحة من الشجرة إلى دوران الكواكب حول الشمس والقمر حول الأرض. ومن تطبيقاته الشهيرة في الفلك أنه يمثل أهمية قصوى في حساب قوة الجاذبية للكواكب أو في حساب مسار الأجسام الفلكية عامة والتنبؤ بحركتها. 

نهايةً -عزيز القارئ- لولا اكتشاف نيوتن للجاذبية وقانونه لمَ توصل العلم إلى مهو عليه الآن. حيث يدخل استخدام هذا القانون في الرياضيات والفيزياء خاصة والتي بدورها ترتبط مع باقي العلوم المختلفة وتساهم في تقدمها. 

المصادر

• nationalgeographic

• independent

• academia.edu

• britannica

• byjus

ما هي اللوغاريتمات وما تطبيقاتها؟

هل تتذكر العمليات الحسابية مثل القسمة المطولة أو عملية الضرب التي تتكون من ضرب رقم أو أكثر في رقمين أو ربما أكثر. والتي قد تكون عقدة في حياة البعض من الطلاب في المرحلة الإبتدائية تحديدًا لوقتنا هذا. حيث أجرى العلماء عامة وعلماء الرياضيات خاصة، حساباتهم بتلك الطرق لمئات السنين والتي كانت تستغرق منهم وقتًا طويلًا. إضافةً إلى الاحتمالية في الخطأ. وقد استُبعدت هذه العمليات من علوم كثيرة لهذا السبب على سبيل المثال علم الفلك والملاحة وغيرها. لكن اكتشاف اللوغاريتمات حل مشكلة عدم الدقة وأحدث ثورة. وفي هذه المقالة سنناقش المعادلات اللوغاريتمية والتي هي جزء من سلسلتنا عن أشهر المعادلات الرياضية  في التاريخ. 

كيف ظهرت اللوغاريتمات؟

ظهرت اللوغاريتمات من خلال مقارنة المتواليات الحسابية والهندسية. حيث يشكل كل حد نسبة ثابتة مع الذي يتبعه. فمثلًا:

.. 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000 ..

في المتتالية الهندسية السابقة، النسبة المشتركة هي 10.

والآن لاحظ هذه المتتالية:

… 3, 2 ,1 , 0, 3- ,2- ,1- …

هنا الفرق المشترك هو 1، وهذه هي المتتالية الحسابية -التي تعتمد على الفرق والجمع-،  على عكس المتتالية الهندسية -التي تعتمد على القسمة والضرب-.

كذلك يمكن كتابة التسلسل الهندسي للمتتالية الأولى على النحو التالي:

فضرب رقمين في المتتالية الهندسية مثل 10/1 و100، سيساوي جمع الأسس للنسبة المشتركة 1- و2؛ للحصول على:

وبالتالي يتساوى الضرب مع الجمع، لكن على الرغم من ذلك فإن المقارنة الأصلية بين المتتاليتين لم تستند على أي استخدام صريح للتدوين الأسي. لذا نشر عالم الرياضيات السويسري «جوست بورجي-Joost Burgi» عام 1620 أول جدول يستند على مفهوم ربط المتتاليات الهندسية والحسابية.

من هو مكتشف اللوغارتيمات؟

نشر عالم الرياضيات الاسكتلندي «جون نابير-John Nabier-» عام 1614 جدوله الخاص باللوغاريتمات، حينها أحدث هذا الاكتشاف ثورة في العمليات الحسابية. كذلك وبشكل مستقل، يُقال أن عالم الفلك الشهير يوهان كيبلر اكتشف اللوغارتيمات أيضًا. لكن نابير هو من نشر أولًا. وكان هدف نابير المساعدة في مضاعفة الكميات التي كانت تسمى الجيب. كان الجيب هو قيمة ضلع مثلث قائم الزاوية به وتر كبير. وبالتعاون مع عالم الرياضيات الإنجليزي هنري بريجز، قام نابير بتعديل اللوغاريتمات الخاصة به إلى شكلها الحديث.

توفي نابير في عام 1617 واستمر بريجز بمفرده، وجاء علماء من بعده مثل الهولندي «أدريان فلاك-Adriaan Vlacq» ومصطلح اللوغاريتمات مصاغ من الكلمات اليونانية logos (نسبة) وarithmos (عدد).

ما هي اللوغارتيمات؟

تُعرّف اللوغاريتمات على أنها طريقة أخرى للتفكير في الأسس، حيث تربط التقدم الهندسي بالتقدم الحسابي. إذ تصف اللوغاريتمات كيف يفكر البشر غريزيًا في الأرقام. وبشكل أخر إن اللوغاريتم هو عبارة عن عملية حسابية تحدد عدد المرات التي تم فيها ضرب رقم معين -يُسمى الأساس- في نفسه وصولًا إلى رقم آخر (كمعرفة عدد المرات التي تحتاجها لطيّ ورقة للحصول على 64 طبقة).

مثال: إذا كان الرقم 2 (الأساس) مضروب في 4 (الأس) فعلينا ضرب 2*2*2*2 لتساوي 16، فإن التعبير عن ذلك من خلال المعادلة الأسية يكون:

ولنفترض أن شخص سألك بصيغة أخرى، ما الرقم الذي إذا رفعناه للرقم 2 (أي أس 2) يكون الناتج 16؟ سيكون جوابك 4. ويتم التعبير عن ذلك بالمعادلة اللوغارتيمية:

وتُقرأ لوغارتم 16 للأساس 2 يساوي 4.

ما هي أنواع اللوغاريتمات؟

– اللوغاريتم المشترك

يُعرف باسم اللوغاريتم العشري أو العام أو briggsian (نسبة إلى عالم الرياضيات الإنجليزي «هنري بريغز-Henry Briggs»، حيث يحدد اللوغاريتم المشترك عدد المرات التي مطلوب فيها ضرب الرقم 10 للحصول على الناتج بمعنى آخر لوغاريتم أي عدد بالنسبة للأساس (الثابت) عشرة). ويكتب على هذا النحو:

وأحيانًا يكتب بدون الأساس عشرة وستجدها في الآلة الحاسبة حيث يشير عدم وجود أساس أن الأساس عشرة.

‏اللوغاريتم الطبيعي

اللوغاريتم الطبيعي (ln) -الذي يحدد كم علينا ضرب العدد e للحصول على الناتج المطلوب- حيث e ثابت أويلر الذي يساوي 2.71828.

تُعرّف دالة اللوغاريتم الطبيعي بواسطة:

x > 0، فهو مشتق من:

قواعد اللوغاريتمات

قاعدة الضرب

توضح تلك القاعدة أن ضرب اثنين من اللوغاريتمات ببعضهما يساوي مجموعهما.

على سبيل المثال:

قاعدة القسمة

توضح تلك القاعدة أن قسمة اثنين من اللوغاريتمات تساوي طرحهم.

على سبيل المثال:

القاعدة الأسية

توضح تلك القاعدة أن لوغاريتم أي رقم مرفوع لأس يساوي الأس مضروبًا في لوغاريتمه.

على سبيل المثال:

قاعدة تغيير أساس اللوغاريتمات

توضح تلك القاعدة أنه يمكننا تغيير أساس اللوغاريتم.

على سبيل المثال:

قاعدة تبديل أساس اللوغاريتمات

توضح تلك القاعدة أنه يمكننا تبديل الأساس.

على سبيل المثال:

بعض قواعد الإضافية:

تطبيقات اللوغاريتمات

تطبيقات اللوغاريتمات عديدة وقد ذكرنا أن الهدف منها تبسيط الاحصاءات التي تحتوي على أرقام كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا فحتى بعد اختراع الآلات الحاسبة والحواسيب العملاقة ما زالت اللوغاريتمات مستخدمة لوقتنا، فتدخل اللوغاريتمات في معظم العلوم مثل علوم الحاسوب والكيمياء والفيزياء وبالطبع الرياضيات وفي حياتنا اليومية وإليك بعض الأمثلة.

– مثال من حياتنا، إذا أردت تحديد هل قيادة الدراجات بدون خوذة مخاطرة أقل أم القفز بالحبال في وادي ما، فستجد بيانات متوفرة مثل أن 20 ألف شخص يتوفى بسبب عدم ارتداء خوذة، كذلك لديك معلومة أخرى وأن مائة ألف شخص يتوفى بسبب القفز بالحبال. فهل هكذا القفز بالحبال أكثر أمانًا؟ إن الأرقام الكبيرة صعب معالجتها في أدمغتنا. لذا اللوغاريتمات تحل ذلك، فهيا لنستخدمها. حيث يمكننا وضع مقياس مثلًا من 1 لـ 10. فيكون 1 هو الأكثر خطورة و10 الأكثر أمانًا. فيمكننا التعبير عن ذلك بأن لوغاريتم 20 ألف للأساس عشرة وهذا سيساوي 4.3 ولوغاريتم 100 ألف للأساس عشرو سيساوي خمسة. وسنستنج بطريقة منطقية وخالية من الاحتمال ودقيق أن القفز بالأحبال أكثر أمانًا بقليل من ركوب الدرجات بغير خوذة. هذا دور الخوارزميات وهذا مثال بسيط حيث تظهر أهميتها ودقتها أكثر في احصائيات صعب استيعاب ارقامها وفي علوم تحتاج لدقة.

– مثال آخر من الكيمياء، إذا أردت معرفة حموضة أو قلوية مادة ما فاللوغاريتمات ستساعدك. فعلى سبيل المثال يحتوي الماء على 1*10 أس 7- مول من أيونات الهيدروجين لكل لتر، فهل هو حامضي؟ لذا هناك مقياس وهو الأس الهيدروجيني الذي يعالج الأعداد الصغيرة جدًا. ويتراوح بين 0 و14. فالماء محلولًا متعادلًا برقم هيدروجيني 7. لذلك المقايس التي تضعها اللوغاريتمات هي حل لرؤى واضحة.

المصادر

britannica

khanacademy

byjus

britannica

livescience

Explaining Logarithms: A Progression of Ideas Illuminating an Important Mathematical Concepts, Dan  ,UmbargerBrown Books Publishing Group (January 1, 2006), P (1:25)

britannica

ما هي نظرية فيثاغورث وما تطبيقاتها؟

كنت خارج المنزل ونسيت المفتاح بالداخل ويوجد نافذة وحيدة مفتوحة في الطابق الثاني على ارتفاع 25 قدمًا فوق سطح الأرض. لابد لك أن تستعير سُلم من أحد جيرانك ويوجد شجيرة على حافة منزلك؛ لذا سيكون عليك وضع السلم على بعد عشرة أقدام من المنزل. فما طول السلم الذي تحتاجه للوصول إلى النافذة؟

لمعرفة طول السلم، ما عليك سوى استخدام قانون فيثاغورث الذي بالتأكيد قد درسته في إحدى مراحلك الدراسية. في هذه المقالة ستتعرف على ما هي نظرية فيثاغورث وما تطبيقاتها؟ بالتفصيل -وهذه المقالة هي الأولى من سلسلة أشهر المعادلات الرياضية-، فهيا بنا لنتعرف على أولى معادلتنا الشهيرة.

فيثاغورث ليس رياضيًّا فقط

وُلد فيثاغورث في ساموس باليونان في 570 قبل الميلاد، وتوفي حوالي (500-490) قبل الميلاد. ذهب إلى مصر وبابل في شبابه وهاجر إلى جنوب إيطاليا تقريبًا في 532 قبل الميلاد -غالبًا هربًا من الحكم المستبد في ساموس- وأسس مدرسته في كروتون بإيطاليا ومن ثم فر منها إلى ميتابونتو بإيطاليا حيث توفي.

قيّل أنه أول عالم رياضيات اقترح أن كل شيء تمثله الأرقام. وعلى الرغم من أنه اشتهر عن طريق الرياضيات بنظريته الشهيرة، إلا أنه حقق إنجازات غير عادية في علم الفلك؛ فأدى اهتمامه بالفلك -كما هو الحال مع العديد من الإغريق قديمًا- مع فهمه العميق للأرقام إلى تأكيد أن الأرض عبارة عن كرة. كذلك كان يرى فيثاغورث أن كل من الرياضيات والموسيقى مترابطتين، وكان يعتقد أن للموسيقى خصائص علاجية. إضافةً إلى أنه ساهم في تطور نظرية الموسيقى. كما كان لأكاديميته في كروتون بإيطاليا تأثير في فكر أفلاطون وأرسطو…

ما هي نظرية فيثاغورث؟

هي نظرية هندسية شهيرة، إذ تشرح العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية -وتسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية أيضًا بثلاثيات فيثاغورث-. وعلى الرغم من ارتباط النظرية بالعالم فيثاغورث إلا أنها قديمة، حيث اكتُشتف النظرية على ألواح بابلية بين 1600 و1900 قبل الميلاد وذلك من قبل فيثاغورث وكذلك ذُكرت النظرية في الهند مكتوبة بين 800 و400 قبل الميلاد. لكن يقترح العلماء بأنه ربما تلك الاكتشافات كانت كلا منها على نحو مستقل في العديد من الثقافات المختلفة.

بيان نظرية فيثاغورث

تنص النظرية على أن “مربع طول الوتر (الضلع الطويل) يساوي مجموع مربعات الضلعين الآخرين (ضلعي الزاوية القائمة)”. فتوضع أضلاع المثلث القائم الزاوية (أ ب ج) والتي لها قيم صحيحة موجبة في معادلة تسمى ثلاثية فيثاغورث.

حيث أ الضلع العمودي وب ضلع القاعدة وج هو الوتر وتكون العلاقة هكذا:

أ² + ب² = ج²

إثبات نظرية فيثاغورث

من الشكل التالي، مساحة المربع الداخلي هي: ج × ج = ج²

ومساحة المربع الخارجي تكون:

(أ + ب)² = أ² + ب² + 2 أب

قد نجد مساحة المربع الخارجي هكذا:

مساحة المربع الخارجي = مساحة المربع الداخلي + مجموع مساحات المثلثات الأربعة القائمة حول المربع الداخلي وستكون:

أ² + ب² + 2 أب = ج² + 4•1/2 أب

ونستنتج من المعادلة الأخيرة أن: أ² + ب² = ج²

(هذا إثبات من إثباتات عديدة للنظرية).

عكس نظرية فيثاغورث

تنص عكس النظرية على أنه “إذا كان مربع أحد الأضلاع يساوي مجموع مربع الضعلين الآخرين، فيجب أن يكون المثلث قائم الزاوية”.

إثبات عكس نظرية فيثاغورث

علمنا أنه النظرية تنص على:

أ² + ب² = ج²

وبفرض المثلث ه‍ و د أدناه، حيث أ ج = ه‍ د، ب ج = و د. باستخدام معادلة فيثاغورث ينتج أن:

(ه‍ و)² = (و د)² + (ه‍ د)² = ب’² + أ’² >>> (1)

ومن المثلث أ ب ج، باستخدام فيثاغورث ينتج أن:

(أ ب)² = (ب ج)² + (أ ج)² = ب’² + أ’² >>> (2)

من معادلة 1, 2، ينتج أن:

(ه‍ و)² = (أ ب)²، إذًا ه‍ و = أ ب.

وينتج عن ذلك أن المثلثين متطابقين وزاوية د (ه‍ د و) هي زاوية قائمة.

تطبيقات نظرية فيثاغورث

يمكننا رؤية تطبيقات تلك النظرية في حياتنا اليومية -كما ذكرنا مثال في بداية المقالة- وفي شتى المجالات المختلفة وإليكم بعض الأمثلة:

المجالات الهندسية والإنشائية

يستخدم معظم المهندسين المعماريين النظرية للعثور على الأبعاد غير المعروفة، عندما يكون الطول والعرض معروفين؛ بذلك يكون من السهل حساب قطر قطاع معين. فتُستخدم بشكل رئيس في بعدين في المجالات الهندسية.

تُطبق نظرية فيثاغورث في التصميم الداخلي والهندسة المعمارية للمنازل والمباني.

الكاميرات الأمنية

تستخدم ميزة التعرف على الوجوه في الكاميرات الأمنية النظرية، بحساب المسافة بين الكاميرا وموقع الشخص.

الملاحة

يستخدم الأشخاص المسافرين عبر البحر نظرية فيثاغورث للعثور على أقصر مسافة أحيانًا للوصول لوجهتهم المعنية.

الطب

اعتمد علماء الأوبئة المنحنيات لمساعدتهم على تحديد النقطة التي يتعافي فيها الفرد من المرض وقد اتفقوا على أن النقطة الصحيحة للاختيار هي الأقرب للزاويا العلوية اليسرى ويتم استخدام النظرية في تحديد تلك النقطة.

فتطبيقات نظرية فيثاغورث لا تُعد ولا تحصى وستجد أهميتها في كل شيء حولك.

المصادر

• mit.edu

• livescience

• byjus

• britannica

تؤثر البالستيات في العديد من مجالات الدراسة، والتي تتراوح من تحليل منحني مسار كرة البيسبول إلى تطوير أنظمة توجيه الصواريخ في الجيش. [2]

لنتعرف في هذا المقال على علم المقذوفات ومجالات دراسته.

علم «البالستيات-Ballistics» (القذائف)

هو العلم الذي يدرس حركة وتأثير المقذوفات. ويقسم إلى عدة تخصصات، وهي البالستيات الداخلية والخارجية، وتبحثان في دفع وطيران المقذوفات. ويسمى الانتقال بين هذين النظامين البالستيات الوسيطة. والبالستيات النهائية، وتدرس تأثير المقذوفات على الأجسام المستهدفة.

و«القذيفة-Projectile» هي الجسم الذي تم إطلاقه أو إسقاطه، والذي يستمر في الحركة بسبب عطالته. ويحدد مسارها بواسطة سرعتها الابتدائية واتجاهها وقوى الجاذبية ومقاومة الهواء. فمثلاً، بالنسبة للأجسام المقذوفة بالقرب من الأرض ومع مقاومة هواء مهملة، يتخذ المسار شكل قطع مكافئ. [1]، [2]

دفع القذائف

تعد البندقية والمحرك الصاروخي مثلًا نوعان من المحركات الحرارية، يحوّلان جزئيًا الطاقة الكيميائية للوقود الدافع إلى طاقة حركية للقذيفة. وتختلف المواد الدافعة عن أنواع الوقود التقليدية من حيث أن احتراقها لا يتطلب الأوكسجين الجوي. ويؤدي إنتاج الغازات الساخنة عن طريق الوقود المحترق إلى زيادة الضغط الذي يدفع القذيفة ويزيد من معدل الاحتراق. كما تسبب الغازات الساخنة تآكل تجويف البندقية.

عندما تشتعل شحنة المادة الدافعة في حجرة البندقية، تحصر غازات الاحتراق بواسطة الطلقة؛ فيرتفع الضغط. وتبدأ الطلقة في التحرك عندما يتغلب الضغط على مقاومتها للحركة. يستمر الضغط في الارتفاع لبعض الوقت ثم ينخفض، وذلك بينما تسرّع الطلقة لتصل إلى سرعة عالية. سرعان ما ينفد الوقود الدافع الذي يحترق بسرعة، وفي الوقت المناسب تخرج الطلقة من الفوهة. وقد سجّلت سرعات تصل إلى 15 كيلومترًا (9 أميال) في الثانية. تعمل البنادق المقاومة للارتداد على تنفيس الغاز عبر الجزء الخلفي من الحجرة لمقاومة قوى الارتداد.

يحدث الانفجار الأولي الذي يسبق خروج الطلقة، ثم يتبعه الانفجار الرئيسي، حيث تطلق الغازات المضغوطة خلف الطلقة. يتخطى التدفق الغازيّ السريع الطلقة لفترة وجيزة وبالتالي قد تعاني من تذبذب شديد. وتسمع موجة الصدمة الانفجارية، التي تنتقل إلى الخارج بسرعة أكبر من سرعة الصوت، كطلقات نارية. وتتسبب الحرارة المتولدة قرب الفوهة في حدوث وميض تصاحبه ألسنة اللهب في المدافع الكبيرة. كما يمكن تثبيت الأجهزة على الفوهة لكتم الانفجار والوميض عن طريق تشتيت موجات الصدمة، ويمكنها تقليل الارتداد عن طريق تشتيت التدفق. [1]

تعرّف البالستيات الوسيطة أو الانتقالية بأنها حالة انتقالية بين البالستيات الداخلية والخارجية قرب الفوهة. إذ يدل انبعاث الغاز من السبطانة أمام القذيفة وتفريغ الغازات الدافعة خلفها على هذه التغيرات الانتقالية. وفي هذا الصدد، فإن التأثير على مغادرة القذيفة للمدفع واستخدام زخم الغازات الدافعة لهما أهمية خاصة. [3]

السقوط الحر للأجسام

لفهم حركة المقذوفات من الضروري أولاً فهم حركة «السقوط الحر-Free Fall» للأجسام، وهي أجسام نسقطها ببساطة من ارتفاع معين فوق الأرض. في أبسط الحالات، عندما تكون مقاومة الهواء مهملة وعندما تكون الأجسام قريبة من سطح الأرض، بيّن الفلكي والفيزيائي الإيطالي «جاليليو جاليلي-Galileo Galilei» (1564-1642) أن جسمين يسقطان نفس المسافة وفي نفس الفترة الزمنية، بغض النظر عن وزنيهما. تزيد سرعة الجسم الساقط زيادات متساوية في فترات زمنية متساوية. على سبيل المثال، ستبدأ الكرة التي تسقط من أعلى مبنى من السكون، وتزيد سرعتها إلى 32 قدمًا (9.8 مترًا) في الثانية بعد ثانية واحدة، ثم إلى سرعة 64 قدمًا (19.6 مترًا) في الثانية بعد ثانيتين، ثم إلى سرعة 96 قدمًا (29.4 مترًا) في الثانية بعد ثلاث ثوانٍ، وهكذا. وبالتالي، نجد أن التغير في السرعة هو دائمًا 32 قدمًا في الثانية. يعرف التغير في السرعة لكل فترة زمنية بالتسارع وهو ثابت. ويساوي هذا التسارع 1 g حيث يرمز g إلى التسارع الناتج عن قوة الجاذبية الأرضية.

يصبح تسارع الجاذبية g أصغر مع زيادة المسافة عن الأرض. ولكن بالنسبة لمعظم التطبيقات الأرضية يمكن أن نعد قيمة g ثابتة (تتغير فقط بنسبة 0.5٪ مع تغير الارتفاع بمقدار 10 أميال [16 كم]). من ناحية أخرى يمكن أن تختلف «مقاومة الهواء-Air Resistance» اختلافًا كبيرًا اعتمادًا على الارتفاع والرياح وخصائص وسرعة المقذوف نفسه. فمن المعروف أن المظلّيّين يمكنهم تغيير ارتفاعهم بالنسبة إلى المظليين الآخرين ببساطة عن طريق تغيير شكل أجسامهم. ومن المعروف أيضًا أن الصخرة ستسقط بسرعة أكبر من سقوط الريشة. فعند البحث في مسائل المقذوفات، من الضروري فصل التأثيرات الناتجة عن الجاذبية -وهي بسيطة جدًا- والتأثيرات الناتجة عن مقاومة الهواء، وهي أكثر تعقيدًا. [2]

المصادر

[1]

[2]

[3]

الاحتمالات في ميكانيكا الكم

هناك العديد من التفسيرات لميكانيكا الكم، والتي توضح لنا عدم إمكانية التنبؤ بالنتائج بموثوقية تامة، ولكن نعتمد على مجموعة من القواعد والتي تخضع للاحتمال، فما هي الاحتمالات في ميكانيكا الكم؟

ما هي قاعدة «بورن-Born» وما دورها؟

تخبرنا النظريات الفيزيائية عن ماهية النظام وكيف يتغير بمرور الوقت. تفعل ميكانيكا الكم ذلك أيضًا ولكنها تأتي مع مجموعة جديدة من القواعد التي تحكم ما يحدث عند ملاحظة الأنظمة أو قياسها، وخاصة باخبارها إنه لا يمكن التنبؤ بنتائج القياس بثقة تامة. وكل ما علينا فعله هو حساب احتمال الحصول على كل نتيجة محتملة.

إذ تخضع القياسات الكمية لقاعدة «بورن-Born»، وهي قاعدة وضعها ماكس بورن. الذي أدرك أن سعة الموجة الكمية تتنبأ باحتمالية اكتشاف جسيم في موضع معين، وقد تتضمن السعة أعددًا مركبة، ولا نستخدم سوى الأرقام الموجبة في الاحتمال فلا يوجد ما يُسمى الجذر التربيعي لسالب واحد، ذلك لا معنى له في الاحتمال! لكن قاعدة بورن حلت تلك المشكلة، بتعاملها مع الأعداد المركبة، حيث تقوم الدالة الموجية بتعين (سعة) لكل نتيجة قياس واحتمال الحصول على هذه النتيجة يساوي تربيع السعة.

لماذا نربّع السعة؟

المضاعفة هي الطريقة التي نجد بها احتمال وقوع حدثين، تخيل معيّ على سبيل المثال انبعاث فوتون واحد باتجاه لوحة فوتوغرافية. في هذه الحالة يتجه الفوتون نحو موضع معين على الصفيحة وإلكترون في هذا الموضع يمتصه، فأنت ترصد كل من الألكترون والفوتون.

ما هو الاحتمال إذًا في ميكانيكا الكم؟

يبدأ الاحتمال بمعنى مباشر وواضح ومن ثم كلما اقتربنا يصبح أكثر تعقيدًا. لديك عملة معدنية رميتها عدة مرات، فالنسبة قبل التجريب هي احتمال ظهور أي من الوجهين بنسبة 50٪. لكن إذا بدأت بالتجريب عدة مرات قد تختلف النسبة لكل من الوجهين كليًا.

هناك مفاهيم عديدة لتعريف الاحتمال، الأول هو الموضوعية أو المادية التي تتعامل مع الاحتمالية على أنها سمة أساسية للنظام، وهي طريقة لوصف السلوك، فالتكرار هو مثال على نهج موضوعي للاحتمال ويُعرّف هنا الاحتمال بأنه تكرار حدوث الأشياء من خلال العديد من التجارب مثل رمي العملات.

الثاني، هو الذاتية أو الإثباتية والتي تتعامل مع الاحتمالية على أنها شخصية أو انعكاس لمصدقية الفرد أو درجة الاعتقاد حول ما هو صحيح أو ما سيحدث ومثال على ذلك هو احتمال بايز والذي يوضح لنا كيفية تحديد مصداقيتنا عندما نحصل على معلومات جديدة حول شيء أو حدث ما، أي يمكننا وصف احتمالية وقوع حدث ما بمعرفة المعلومات المرتبطة به. وذلك على النقيض من التكرار، فمن المنطقي في نظرية بايز إرفاق احتمالات مسبقة بناء على معلومات مرتبطة بالحدث.

فيساعدنا التفكير في ميكانيكا الكم على توضيح الاحتمالات والعكس صحيح، وبوضوح ميكانيكا الكم كما هي مفهومة لوقتنا هذا لا تساعدنا فعليًا في الاختيار بين المفاهيم المتنافسة للاحتمالية، فهناك حالات مختلفة تستدعي تلك المفاهيم وليس مفهومًا واحدًا محددًا.

أمثلة على الفرق بين الذاتية والموضوعية؟

لننظر لثلاثة من المناهج الرائدة لنظرية الكم. هناك نظريات “الانهيار الديناميكي” مثل نموذج الانهيار التلقائي (GRW) الذي اقترحه «جيانكارلو غيراردي-Giancarlo Ghirardi» و«ألبرتو ريميني-Alberto Rimini» و«توليو ويبر-Tullio Weber» في عام 1985. ثانيًا، هناك نهج “الموجة التجريبية” أو “المتغير الخفي”، وأشهرها نظرية دي برولي-بوم، التي اخترعها «ديفيد بوم-David Bohm» في عام 1952 بناءً على أفكار سابقة من «لويس دي برولي-Louis de Broglie». وأخيرًا، “العوالم المتعددة” التي اقترحها «هيو إيفريت-Hugh Everett» في عام 1957.

تمثل الأمثلة السابقة طريقة لحل مشكلة القياس في ميكانيكا الكم. تكمن المشكلة في نظرية الكم التقليدية بأنها تصف حالة النظام من حيث دالة الموجة، والتي تتطور بسلاسة وحتمية وفقًا لمعادلة شرودنجر. وعند المراقبة تنهار وظيفة الموجة فجأة لتتحول إلى نتيجة رصد معينة، فالانهيار نفسه لا يمكن التنبؤ به. فتقوم الدالة الموجية بتعيين رقم لكل نتيجة محتملة، واحتمال ملاحظة تلك النتيجة يساوي قيمة تربيع الدالة الموجية. فالاحتمالية في مثل هذه النماذج أساسية وموضوعية. لا يوجد شيء في الحاضر يحدد المستقبل بدقة.

المناهج الثلاثة ذاتية أم موضوعية؟ وكيف توضح مفهوم الاحتمالية؟

تتوافق نظريات الانهيار الديناميكي تمامًا مع النظرة المتكررة القديمة للاحتمالية. ما سيحدث بعد ذلك غير معروف، والتكرار هو المؤدي للنتائج المختلفة. فنظريات الانهيار الديناميكي توضح على نحو رياضي دقيق كيف ينشأ العالم الحتمي للأجسام الصلبة الكلاسيكية من العالم المجهري للأنظمة العشوائية والمموجة. فتُصنف نظريات الانهيار على أنها نظريات متنافسة لميكانيكا الكم ويمكن بسهولة تحديد بعض الآثار الفيزيائية باختبارات؛ للإتيان بنتائج قاطعة.

نظرية الموجة التجريبية؟

أما عن نظرية الموجة التجريبية، فهي توضح أنه لا يوجد شيء عشوائي. تتطور الحالة الكمية على نحو حتمي. الجديد هو مفهوم المتغيرات الخفية مثل المواضع الفعلية للجسيمات، إضافةً إلى دالة الموجة التقليدية. الجسيمات هي ما نلاحظه بالفعل، بينما تعمل الدالة الموجية فقط على إرشادها. فهي تعيدنا إلى عالم الميكانيكا الكلاسيكية مع ملاحظة أنه عندما لا نجري ملاحظة، فإننا لا نعرف ولا نستطيع معرفة القيم الفعلية للميكانيكا الكلاسيكية.

فنتعرف على المتغيرات الخفية من خلال مراقبتها، ووجب الاعتراف بجهلنا للآن وإدخال توزيع احتمالي على قيمهم المحتملة. إذًا الاحتمالية في نظريات الموجة التجريبية ذاتية حيث تفسر ميكانيكا الكم على أنها حتمية بعيدًا عن إشكاليات كانهيار الموجة أو ازدواجية الجسيمات وغيرها، فهي بمثابة تفسير لنظرية الكم أيضًا.

الاحتمالات في العوالم المتعددة

وأخيرًا العوالم المتعددة، التي تخضع لمعادلة شرودنجر ولا توجد أية انهيارات أو متغيرات إضافية، فقط نستخدم معادلة شرودنجر لكي نتنبأ بما سيحدث حينما يقيس مراقب جسمًا كميًا في تراكب. حيث يكون النظام المشترك للمراقب والجسم يتطور إلى تراكب متشابك، وفي كل جزء من التراكب، يكون للجسم نتيجة قياس محددة ويقوم المراقب بقياس تلك النتيجة. فكل جزء من النظام يتطور على نحو منفصل عن الأجزاء الأخرى.

لكن ما طبيعة الاحتمال في العوالم المتعددة؟

كما ذكرنا في العوالم المتعددة، يمكن معرفة الدالة الموجية التي تتطور ولا يوجد شيء غير متوقع. لكن تخيل أنك ستقيس نظام كمي وتتفرع الدالة الموجية إلى عوالم مختلفة، للتبسيط سنفرض أن هناك عالمان. لن نسأل بعد القياس في (أي عالم سأكون فيه!) فهذا ليس منطقي. فسيكون هناك شخصان واحد في كل فرع كلاهما ينحدر منك وليس لدى أي منهما ادعاء بأنه (أنت بالفعل).

عدم اليقين والدالة الموجية

ولكن حتى لو كلاهما يعرف الدالة الموجية للكون، فهناك الآن شيء لا يعرفانه: أي فرع من الدالة الموجية هم فيه. سيكون هناك فترة من الوقت بعد حدوث التفرع ولكن قبل أن يكتشف المراقبون النتيجة التي تم الحصول عليها في فرعهم. إنهم لا يعرفون مكان وجودهم في الدالة الموجية، هذا هو عدم اليقين الذاتي بموضعك.

قد تعتقد أنه يمكنك فقط إلقاء نظرة على النتيجة التجريبية بسرعة كبيرة. بحيث لا تكون هناك فترة ملحوظة من عدم اليقين. لكن في العالم الحقيقي، تتفرع الدالة الموجية بسرعة كبيرة بمقاييس زمنية تتراوح من 10 إلى 21 ثانية أو أقل. هذا أسرع بكثير من وصول الإشارة إلى عقلك. ستكون هناك دومًا فترة زمنية عندما تكون في فرع معين من الدالة الموجية، لكنك لا تعرف أي فرع.

فمهما كانت التنبؤات التي تقوم بها للنتائج التجريبية. فلا يجب أن تتغير إذا انفصلت أجزاء من الدالة الموجية تمامًا من النظام. فيوضح لك عدم اليقين بأنه يمكنك معرفة كل شيء عن الكون لكن لا يزال هناك شيء لست متأكدًا منه. فنستخدم قاعدة بورن فمثلًا أنت تعرف كيف سيتطور الكون ولكن تتضمن هذه المعرفة اقتناعك بأن جميع التوقعات التي تصدرها غير مؤكدة وتستخدم هنا قاعدة بورن لتعيين مصداقية كل توقع. ففي حالة الدالة الموجية أيضًا ستستخدم تلك القاعدة.

فمن الممكن اعتبار كل مفاهيم الاحتمال نسخًا من عدم اليقين. فكل ما عليك فعله هو النظر لكل العوالم الممكنة أو النسخ المختلفة للواقع التي يمكن للمرء أن يتصورها، فتخضع بعض العوالم لقواعد نظريات الانهيار الديناميكي، وتتميز كل منها بالتسلسل الفعلي للنتائج لجميع القياسات الكمية التي أُجريت. وتوصف عوالم أخرى من خلال نظريات الموجة التجريبية. فتجول بنا دراسة الاحتمال من تقليب العملات إلى العوالم المتعددة موضحة أننا لا نعتمد على مفهوم واحد أو قاعدة بخصوص الاحتمالات في ميكانيكا الكم، فعالم الكم مليء بالاحتمالات.

المصادر

• plato.stanford

• quantamagazine

• oxfordre

مقدمة في قوانين الاحتمالات

تعود دراسة الاحتمال كفرع من الرياضيات إلى أكثر من 300 عام، إذ نشأ بسبب الأسئلة المتعلقة بألعاب الحظ مثل لعبة رمي النرد… وفي هذا المقال سنعرض مقدمة في قوانين الاحتمالات، إذ أن تعلمها هو جزء مهم لاستيعاب علوم كثيرة مثل الطب والفيزياء وعلوم الحاسوب والحوسبة الكمية وحتى في حياتنا اليومية في اتخاذنا للقرارات.

يمكنك معرفة تاريخ علم الاحتمال وأهميته من خلال هذا المقال: نظرية الاحتمال بين الماضي والمستقبل.

ما هي التجربة؟

التجربة: هي أي نشاط أو عملية، تخضع نتيجتها إلى عدم اليقين (أي أننا لسنا متأكدين من نتيجتها بنسبة 100٪). على الرغم من أن كلمة “التجربة” تُشير عامة إلى حالة اختبار معملية مخطط لها أو خاضعة للرقابة، لكن نستخدمها في علم الاحتمال على نحو أوسع.

في تجارب مثل رمي عملة معدنية مرة واحدة أو عدة مرات، واختيار بطاقة أو بطاقات من مجموعة، والتأكد من وقت التنقل من المنزل إلى العمل في صباح يوم معين، والحصول على فصائل الدم من مجموعة من الأفراد، وغيرها.

ما هو «فضاء العينة-Sample space» في التجربة؟

فضاء العينة: مجموعة من جميع النتائج المحتملة لتجربة عشوائية، تُمثل بالرمز “S”، نكتب النتائج في قوسين هكذا “{}”.

مثال: عند رمي قطعة نقود، فإن هناك نتيجتين وهما «الرأس والذيل (صورة وكتابة)-Head and Tail»، إذًا فإن فضاء العينة لتلك التجربة سيكون:

S = {H,T}= {Head, Tail}.

وعند رمي العملة مرتين، سيكون عدد النتائج المحتملة أربعة. سنفرض أنهم H1, T1 للمرة الأولى وH2 وT2 للمرة الثانية، فيكون فضاء العينة:

S = {(H1, H2), (H1, T2), (T1, H2), (T1, T2)}.

ويمكنك تحديد النتائج بدقة بأنه لو كان لديك عدد n من العملات، فإن عدد النتائج المحتملة 2 أس n.

فإذا رميت عملة معدنية ثلاث مرات متتالية، فإن (n = 3). فسيكون عدد النتائج المحتملة (8 = 3^2).

مثال آخر: عند رمي قطعة نرد واحد، فهي لها 6 أوجه أي 6 نتائج، لذا ففضاء العينة سيكون: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ما هي «الأحداث-Events» في التجربة؟

في دراسة الاحتمال، لا نهتم فقط بالنتائج التي في فضاء العينة ككل بل أيضًا بمجموعات مختلفة من النتائج من فضاء العينة.

«الحدث-Event»: هو أي مجموعة (مجموعة فرعية) من النتائج -لتجربة معينة- الموجودة في فضاء العينة، يكون الحدث بسيطًا إذا كان يتكون من نتيجة واحدة بالضبط ومركبًا إذا كان يتكون من أكثر من نتيجة. ويقع احتمال وقوع أي حدث بين 0 و1.

مثال: عند رمي عملة ثلاث مرات متتاليات، فإن فضاء العينة سيكون:

S = {(T, T, T), (T, T, H), (T, H, T), (T, H, H ), (H, T, T ), (H, T, H), (H, H, T), (H, H, H)}.

فإذا أردنا إيجاد النتائج التي تحوي رأسان فقط (H) على الأقل، فستكون هكذا:

E = { (H, T, H) , (H, H, T) , (H, H, H) , (T, H, H)}.

وهذا هو الحدث، مجموعة فرعية من فضاء العينة يُرمز له بـ (E).

ما هو احتمال وقوع الحدث؟

ذكرنا سابقًا أن احتمال وقوع أي حدث يكون بين 0 و1، فـ 1 إذا كان احتمال وقوع الحدث مؤكدًا بنسبة 100٪ و0 إذا كان العكس (التجارب العشوائية مثل رمي قطعة نرد لا تخضع لأي من الرقمين لكن نتيجة وقوع أي حدث تكون بينهما). لذا فببساطة، نحصل على احتمال حدث معين A من تجربة من عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها A مقسومًا على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. ففي المثال السابق يكون احتمال وقوع حدث أن تكون هناك رأسان على الأقل هو: 8÷4= 2÷1.

أنواع الأحداث في الاحتمال

ذكرنا في البداية أن هناك نوعين أساسيان وهما المركب والبسيط وسنتعرف عليهم بالتفصيل وعلى أنواع أخرى من الأحداث الاحتمالية المهمة.

«أحداث مؤكدة ومستحيلة-Impossible and Sure Events»

إذا كان احتمال حدوث حدث هو 0، فإن هذا الحدث يُسمى حدثًا مستحيلًا وإذا كان احتمال حدوث حدث هو 1، فإنه يُسمى حدثًا مؤكدًا. بمعنى آخر، المجموعة الفارغة ϕ هي حدث مستحيل وفضاء العينة S هي حدث أكيد.

«أحداث بسيطة-Simple Events»

يُعرف أي حدث يتكون من نقطة واحدة (outcome or sample point or element or member) من فضاء العينة بأنه حدث بسيط في الاحتمال. فمثلًا:

إذا كان S = {5, 6, 7, 8, 9} و E = {7}، فإن E هو حدث بسيط.

«أحداث مركبة-Compound Events»

على النقيض من الحدث البسيط، إذا كان أي حدث يتكون من أكثر من نقطة واحدة من فضاء العينة، فإن هذا الحدث يسمى حدثًا مركبًا. فمثلًا:

S = {5, 6, 7, 8, 9}, E1 = {5, 6}, E2 = {7, 8, 9}.

إذن E1 وE2 يمثلان حدثان مركبان.

«الأحداث المستقلة والتابعة-Independent and Dependent Events»

إذا كان وقوع أي حدث لا يتأثر بحدوث أي حدث آخر، تُعرف هذه الأحداث على أنها «أحداث مستقلة» وتعرف الأحداث التي تتأثر بأحداث أخرى بـ «الأحداث التابعة».

«أحداث متنافية-Mutually Exclusive Events»

إذا كان وقوع حدث واحد يستبعد حدوث حدث آخر، فإن مثل هذه الأحداث تكون «أحداثًا متنافية-Mutually exclusive events» (أي لا يوجد أي نقطة مشتركة بين حدثين). فمثلًا، إذا كانت

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

وE1 وE2 حدثين، حيث:

E1 = {1, 2, 3} – E2 = {4, 5, 6}.

فهنا لا يوجد أي نقاط مشتركة، فـ E1 وE2 حدثان متنافيان.

‏«أحداث شاملة-Exhaustive Events»

الأحداث الشاملة هي مجموعة من الأحداث في فضاء العينة بحيث يحدث أحدها على نحو إلزامي أثناء إجراء التجربة. أي أن جميع الأحداث المحتملة في فضاء عينة من التجربة تشكل أحداثًا شاملة. فمثلًا، أثناء إلقاء عملة معدنية، هناك نتيجتان محتملتان. لذلك، فإن هاتين النتيجتان، هما حدثان شاملان لأن أحدهما سيحدث بالتأكيد أثناء قلب العملة. وليس من الضروري أن يكون للأحداث احتمالية متساوية لتكون شاملة، فعند رمي حجر نرد هناك 6 نتائج وهم {1, 2, 3, 4, 5, 6} وسيكون أي من هذه الأرقام هو النتيجة بالتأكيد، فإن كل هذه النتائج الست هي أحداث شاملة. لذلك، فأن اتحاد الأحداث الشاملة يعطي فضاء العينة بأكملها.

«الأحداث التكميلية-Complementary Events»

لأي حدث E1، يوجد حدث آخر ‘E1 والذي يمثل العناصر المتبقية من فضاء العينة S.

E1 = S – E1′.

مثال: إذا رمينا حجر نرد، فسيكون فضاء العينة:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ‏

إذا كان الحدث E1 يمثل جميع النتائج التي تكون أكبر من 4، فإن E1 = {5, 6} و E1‘= {1, 2, 3, 4}.

وبالتالي فإن ‘E1 هو مكمل للحدث E1، وبالمثل مكملة E1, E2, E3… En هي’E1′, E2’, E3’… En.

الأحداث المرتبطة بـ “أو-OR”

إذا ارتبط حدثان E1 و E2 بـ «أو-OR»، فهذا يعني أنه إما E1 أو E2 أو كلاهما. يستخدم رمز الاتحاد (∪) لتمثيل «أو-OR» في الاحتمال. بالتالي، يشير الحدث E1 U E2 إلى E1 أو E2.

الأحداث المرتبطة بـ “و-And”

إذا ارتبط حدثان E1 و E2 بـ «و-AND»، فهذا يعني تقاطع العناصر المشتركة لكلا الحدثين. يستخدم رمز التقاطع (∩) لتمثيل «و-AND» في الاحتمال.بالتالي، فإن الحدث E1 ∩ E2 يشير إلى E1 و E2.

الحدث E1 – E2

يمثل رمز (-) الفرق بين كلا الحدثين. فحينما نقول E1 – E2 نقصد جميع النتائج الموجودة في E1 والتي ليست موجودة في E2. فمثلًا:

E1 = {2, 4, 6}, E2 ={2, 3, 6}. E1 – E2 ={4}.

ما هي أنواع الاحتمال؟

هناك أنواع مختلفة من الاحتمالات بناءً على طبيعة النتيجة أو النهج المتبع أثناء العثور على احتمال وقوع حدث ما. يمكن دراسة نظرية الاحتمالات بعدة طرق وسنبدأ بثلاث طرق أساسية وهما:

الاحتمال النظري (الكلاسيكي)

الاحتمال النظري هو المرتبط بالنظرية الكامنة وراء الاحتمال. للعثور على احتمال وقوع حدث باستخدام الاحتمال النظري، لا يلزم إجراء تجربة. فهو يعتمد على الرياضيات البحتة. فمثلًا إذا كان لدينا صندوق يحوي 10 كرات حمراء وزرقاء، فإن بالاحتمال النظري احتمال سحب كرة حمراء هو 10/20 = 1/2. (عدد الكرات الحمراء على المجموع الكلي للكرات).

الاحتمال التجريبي

الاحتمال التجريبي هو احتمال يتم تحديده على أساس سلسلة من التجارب. نُجري تجربة عشوائية ونُكررها عدة مرات لتحديد احتمالية حدوثها ويعرف كل تكرار على أنه تجربة. ففي المثال السابق بعد تجربة السحب السادسة وجدنا أن 4 من الكرات المسحوبة حمراء واثنين من الكرات زرقاء، هنا اختلفت النتائج عن الاحتمال النظري.

الاحتمال البديهي

الاحتمال البديهي هو نظرية احتمالية موحدة، يحدد مجموعة من البديهيات (القواعد) التي تنطبق على جميع أنواع الاحتمالات، بما في ذلك الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري. البديهيات الثلاثة هي:

• البديهية الأولى: توضح أن بالنسبة لأي حدث A، يكون احتمال A أكبر من أو يساوي الصفر، لأنه كما ذكرنا أن أي حدث يقع بين 0 و1 و0 حدث مستحيل الوقوع و1 مؤكد الوقوع.
• البديهية الثانية: توضح أن جميع النتائج المحتملة في فضاء العينة تساوي 1.
• البديهية الثالثة: توضح أنه إذا كان A1 و A2 نتيجتان متنافيتان، فإن:

P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2).

لذا فاحتمال حدوث A1, A2, A3… يساوي مجموعهم.

وهكذا انتهينا من المقدمة في قوانين الاحتمالات، دعونا نختم بهذا المثال المجمع والذي ستتضح فيه تفاصيل أخرى، حيث هناك أنوا أخرى، فقد تكون الاحتمالات إما هامشية أو مشتركة أو مشروطة، وفهم الاختلافات بينهم هو مفتاح لفهم أسس الإحصاء (انظر للصورة أدناه).

«الاحتمال الهامشي-Marginal probability»

احتمال وقوع حدث P(A)، يُنظر إليه على أنه احتمال غير مشروط. لا يشترط على حدث آخر.

مثال: احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة صفراء من 52 بطاقة صفراء وحمراء (26 منها حمراء و26 منها صفراء) هو 1/2. والقوانين في الأعلى -بالصورة- في الاحتمال الهامشي هي الأساسية كما وضحنا سابقًا.

«الاحتمال الشرطي-Conditional probability»

يُعرَّف الاحتمال الشرطي بأنه احتمال وقوع حدث أو نتيجة، بناءً على حدوث حدث أو نتيجة سابقة، والصيغة العامة: ‏

P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

أو

P(B|A) = P(A∩B)/P(A).

مثال:

S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ={2,4, 6}, B ={2, 3}.

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (1/6)÷(2/6) = 1/2.

(احتمال أن A يحدث بشرط أن يحدث B، أولًا التقاطع يساوي عدد عناصر الحدث على فضاء العينة، وP(B) يساوي عدد العناصر على فضاء العينة).

«نظرية بايز-Bayes Theorem»

هي نظرية في الاحتمالات والإحصاءات، سميت على اسم عالم الرياضيات البريطاني «توماس بايز-Thomas Bayes»، في القرن الثامن عشر والتي تساعد في تحديد احتمال وقوع حدث يعتمد على بعض الأحداث التي حدثت بالفعل. نظرية بايز لها العديد من التطبيقات مثلًا في قطاع الرعاية الصحية؛ لتحديد فرص تطوير المشاكل الصحية مع زيادة العمر.

تنص نظرية بايز على أن الاحتمال الشرطي لحدث A، نظرًا لحدوث حدث B آخر، يساوي ناتج احتمالية B، مع الأخذ في الاعتبار A واحتمال A.

الفرق بين صيغة الاحتمال الشرطي ونظرية بايز

الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع حدث “A” يعتمد على وقوع حدث آخر “B”. الصيغة:

نظرية بايز: اشتقت نظرية بايز باستخدام تعريف الاحتمال الشرطي، تشتمل صيغة النظرية على احتمالين شرطيين. الصيغة:

«الاحتمال المشترك-Joint probability»

هو احتمال وقوع الحدث A والحدث B. أي احتمال تقاطع حدثين أو أكثر.

مثال: احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة صفراء (من 52 بطاقة و26 منهم حمراء و26 صفراء) وعليها الرقم 4 هو P (four and red) = 2/52 = 1/26، نفرض هنا أن B هو احتمال أن البطاقة صفراء وA هو احتمال ظهور الرقم 4.

P(A∩B) = P(A).P(B) = (4/52).(26/52) = 1/26.

السابق قانون التقاطع عندما نقول (بطاقة صفراء ورقم 4)، ماذا لو قلنا (بطاقة صفراء أو رقم 4)؛ حينها سنطبق قانون الاتحاد وقانون:

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

من ثم عند الإتيان بالمكملة، نطرح كل ما سبق من 1، فإذا قلنا لا بطاقة حمراء ولا رقم 4؛ سيكون القانون التالي:

P(A’∩B’) = 1 – P(A).P(B).

وإذا قلنا لا بطاقة حمراء أو رقم 4، سيكون القانون التالي:

P(A’UB’) = 1 – P(A) + P(B) – P(A∩B).

«الاحتمال المنفصل-Disjoint probability»

وذلك يكون حينما يكون الحدثان متنافيين أو منفصلين ولا يحدث كلاهما في نفس الوقت، ومن أشهر الأمثلة هي عند رمي عملة واحدة مرة واحدة، فلن يظهر سوى وجه واحد ويستحيل ظهور الرأس والذيل معًا.

ولو فرضنا أن A تعبر عن عملات معدنية وB هو الطقس -حدثان متنافيان ولا علاقة لهم ببعضهما- ولاحظ القوانين التالية:

عند تقاطعهم سيعطينا المجموعة الخالية أو ϕ.

P(A∩B) = ϕ أو { }.

عند الاتحاد سيعطينا مجموعهما:

P(AUB) = P(A) + P(B).

«الأحداث المستقلة-Independent events»

سبق وذكرنا أن الأحداث المستقلة التي لا تعتمد على ما حدث من قبل، أي لا تتأثر هذه الأحداث بالنتائج التي حدثت سابقًا.

«الأحداث التابعة-Dependent events»

الأحداث التابعة هي التي تعتمد على ما حدث من قبل، أي تتأثر هذه الأحداث بالنتائج التي حدثت سابقًا، وإذا تغير حدث ما بالصدفة، فمن المحتمل أن يختلف الآخر. وتعبر (B|A)P أن احتمال حدوث B في حالة حدوث A أي يعتمد عليه. لاحظ القوانين بالصورة…

نهايةً، لو أردت «الاحتمال الكلي-Total probability» فهو يساوي مجموع كل الاحتمالات الموجودة.

المصادر

1. Jay L. Devore, Probability and statistics, Eighth Edition, Page (50:73).
2. investopedia
3. bujus
4. cuemath
5. investopedia
6. nicholas.duke

ما هي معضلة التقسيم العادل؟

تقطيع الكعك هو استعارة لمجموعة واسعة من المشاكل في عالمنا مثل تقسيم قطعة أرض وهناك طريقة معروفة منذ القدم للتقسيم والتي تعتمد على مبدأ (أنا أقطع، وأنت تختار). لكن هذا المبدأ خاضع لتفضيلات شخصية مثل تصرف والدتك حينما تعطي لأخيك قطعة كعك أكبر منك مثلًا، فهل يمكن للرياضيات تحقيق العدل وتقسيم كعكة على نحو متساوٍ دون تدخل التفضيلات الشخصية للفرد؟

ما هي معضلة التقسيم العادل؟

تتمثل معضلة التقسيم العادل في التعاملات البشرية في أشياء عدة حولنا وهي معضلة قديمة منذ الأربعنيات عندما بدأ (هوغو شتاينهاوس- Hugo Steinhaus) في دراسة تلك المعضلة وتحليلها. ولتلك المعضلة روابط بالعديد من الموضوعات مثل الاستقراء الرياضي ونظرية الرسم البياني والخوارزميات والطبولوجيا وغيرها.

أنا أقطع، وأنت تختار

كيف يمكن لهذا المبدأ أن يخرج الطرفين راضيين وسعداء؟ لنفهم ذلك، بداية وجب مراعاة التفضيلات للأشخاص والتي في كل الأحوال مختلفة في الغالب. فقد يفضل الشخص في الكعكة جزء الشكولا والآخر جزء الكريمة والفراولة.

إضافة إلى التفضيلات المختلفة، توجد طرق عدة لتفسير الإنصاف. فتقسيم الكعكة بين اثنين نسبي، إذا كان كلا الشخصين يعتقدا أنهما تلقيا على الأقل نصف الكعكة. فهذا التقسيم مُرضي وخالٍ من الحسد. فطبقًا لهذا المبدأ يمكننا التعميم بأنه إذا كان التقسيم بين عدد n من الأشخاص وكل منهم يعتقد أنه تلقى القطعة الأكبر والأفضل من وجهة نظره؛ فإنه التقسيم مُرضي للجميع. إذًا جميع التقسيمات المُرضيّة متناسبة (متساوية)، لكن هل جميع التقسيمات المتناسبة مرضية؟

هل جميع التقسيمات المتناسبة مرضية؟

لدينا كعكة، نريد تقسيمها على ثلاثة أشخاص A,B,C بحيث كل منهم يقتنع بأنه يمتلك 1/3 الكعكة، ولدينا سكين معلقة، يبدأ A بلفها ببطء. حينما يتيقن أي منهم أن التقسيم متساو أي 1/3الكعكة من وجهة نظره؛ يصرخ بأقطع. والذي يصرخ أولًا يأخذ القطعة جانبًا وإذا صرخ عدة أشخاص فيمكن الاختيار من بينهم عشوائيًا. وتستمر عملية السكين المتحرك مع الشخصين الباقين. ولنحلل صراخ شخصين والثالث صمت، قد تلقى الآن كل منهم القطع التي بنظرهم تساوي 1/3 أما الشخص الثالث فيعتقد أن القطعة المتبقية أقل من 1/3 وهذا مثال على أن التقسيمات قد تكون ليست مرضية لبعض الأشخاص أحيانًا. يمكنك ملاحظة مثل هذا المثال حولك أو من موقف مشابهة قد تعرضت له. لأن ذلك خاضع لإدراك الأشخاص وتفضيلاتهم، فهنا تتمثل المعضلة ما بين التقسيم المرضي وغير العادل والتقسيم العادل غير المرضي.

المثال السابق يقودنا لسؤال: هل هناك تقسيم مرضي بين أكثر من اثنين؟

في عام 1960، ابتكر علماء الرياضيات خوارزمية بإمكانها إخراج الكعك على نحو متساوٍ ومرضٍ لثلاثة أشخاص. وفي عام 1995، كان أفضل ما توصل إليه العلماء لأكثر من ثلاثة أشخاص خوارزمية غير محدودة من قِبل عالم السياسة (ستيفن برامز- Steven Brams) وعالم الرياضيات (آلان تايلور- Alan Taylor) وخاضع لتفضيلات كل شخص؛ لذا فعملية التقسيم غير محدودة بين أكثر من ثلاثة ويمكنها أن تصل لمليون أو مليار مرة. فكانت اللامحدودية عيبًا. على مدار الخمسين عام الماضين، أقنع علماء الرياضيات أنفسهم أنه ربما لا توجد خوارزمية محدودة ومرضية لأكثر من ثلاثة.

أخيرًا، خوارزمية لأكثر من ثلاثة!

تحدى اثنان من علماء الحاسوب -(هاريس عزيز- Haris Aziz) و(سيمون ماكنزي- Simon Mackenzie)- تلك التوقعات بشأن عدم وجود خوارزمية مرضية لأكثر من ثلاثة أشخاص. فنشرا ورقة بحثية على الإنترنت في عام 2016. تصف خوارزمية مرضية لأربعة أشخاص.

الخوارزمية معقدة ووضح الباحثون أن هناك الكثير من العمل ينتظرهم لجعلها أبسط وأسرع. تعتمد الخوارزمية الجديدة على إجراء، ابتكره عالما الرياضيات جون سلفريدج وجون كونواي على نحو مستقل في حوالي عام 1960؛ لتقسيم الكعكة على ثلاثة أشخاص.

خوارزمية سلفريدج-كونواي (Selfridge-Conway)

هناك ثلاثة أشخاص A, B, C، ستطلب الخوارزمية من الشخص C تقطيع الكعكة لثلاث قطع على نحو متساوٍ من وجهة نظره. من ثم يُطلب من الشخصين A, B اختيار قطعتهم المفضلة ويأخذ C الشريحة المتبقية وهكذا انتهى الأمر. إذا كان كل منهم يريد نفس القطعة، سيُطلب من B قطع جزء صغير من تلك الشريحة بحيث يكون ما تبقى مساويًا لشريحته المفضلة الثانية. يوضع الجزء المقتطع جانبًا؛ لجعلهما متساويين. ويختار A قطعته المفضلة ومن ثم B (بشرط إذا لم يختار A الشريحة التي قُطع منها؛ فعلى B اختيارها) ويأخذ C المتبقية. هكذا يخرج كل منهم راضٍ. هنا لا يحسد أحد منهم الأخر حيث اختار A أولًا وB حصل على واحدة من الاثنين وC أخذ المتبقية لأنه هو الذي قسّم؛ فهو راضٍ تمامًا.

ماذا سنفعل في الجزء المتبقي؟

إذا كان A حصل على القطعة التي أُخذ منها جزء، فإن الخوارزمية تستمر كالتالي. يقطع B الجزء المتبقي لثلاثة قطع متساوية من وجهة نظره. ثم يختار A أولًا ثم C ونهاية B. الآن الكل سعيد؛ لأن A هو من اختار أولًا وC حصل على الشريحة المحببة لديه والتي هي أفضل من شريحة B برأيه ولم يكن يهتم لأمره وB في نظره الكل متساوي لأنه هو من قطع. دون الدخول في دوره لانهائية من التقطيع.

يعد C هو المهيمن، استخدم برامز وتايلور مفهوم الهيمنة (دون تسميته ذلك وقتها) في تصميم خوارزمية عام 1995، لكنهما لم يتمكنا من جعلها محدودة.

خوارزمية عزيز وماكينزي

لم يتمكن الباحثان من توسيع الخوارزمية على الفور لأكثر من أربعة أشخاص وكما الحال في خوارزمية سلفريدج-كونواي، حيث كما سبق تُقطع الكعكة من قبل شخص ويُطلب من الآخرين ضبط الحواف واختيار القطع مع وضع احتمالات إذا لم يختر الشخص الذي ضبط القطعة وهكذا. وتنفذ الخوارزمية خطوات أخرى مع زيادة علاقات الهيمنة.

إذ تسمح علاقات الهيمنة بتقليل تعقيد المشكلة. مثلًا إذا سيطر ثلاثة لاعبين على جميع اللاعبين الآخري، فيمكن طرد هؤلاء الثلاثة بعيدًا بشرائحهم. حيث سيكونون سعداء بغض النظر عمن سيحصل على الباقي (الأجزاء من عملية الضبط). الآن هناك عدد أقل من اللاعبين الذين يجب القلق بشأنهم، وبعد عدد محدود من هذه الخطوات، كان الجميع راضين وتم توزيع كل الكعكة.

فليس من المستغرب أن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً قبل أن يعثر شخص ما على واحدة، وهناك الكثير من العمل لتبسيط الخوارزمية ولا يمكن تعميم ذلك الحل على كل شيء.

لا تقطيع الكعك عادل ولا الرياضيات!

كما وضحنا سابقًا، كيف استطاع اثنان من علماء الحاسوب في عمل خوارزمية لتقطيع الكعك على نحو خال مرضي بين أربعة أشخاص والتي قد ينتج عنها عدد كبير من القطع نظرًا لكثرة احتمالات تفضيلات الأشخاص وبالطبع كلما زادو عن أربعة أشخاص؛ أصبحت العملية معقدة. عد الرضى هو مجرد مفهوم من عدة مفاهيم متنافسة للعدالة مثل الإنصاف. وإذا حققنا مفهوم فليس شرطًا أن يتحقق البقية.

فمبدأ أنا أقطع، وأنت تختار فاشل في تحقيق الإنصاف والكفاءة. وذلك يعني أنه قبل تنفيذ أي خوارزمية عادلة، يجب أن يتفقوا ويقررو مفهوم العدالة بالنسبة إليهم. فالرياضيات لا يمكنها تقرير ذلك. فعند تقسيم الميراث، هل وجب إعطاء لوحة ثمينة للشخص المحب للفن أم بيعها وتقسيم الأموال؟ لا توجد إجابة صحيحة، الأمر متروك للأشخاص.

المصادر

1. Scientific American
2. Brilliant
3. Quanta Magazine