الوسم: الاحتمالات

الاحتمالات في ميكانيكا الكم

هناك العديد من التفسيرات لميكانيكا الكم، والتي توضح لنا عدم إمكانية التنبؤ بالنتائج بموثوقية تامة، ولكن نعتمد على مجموعة من القواعد والتي تخضع للاحتمال، فما هي الاحتمالات في ميكانيكا الكم؟

ما هي قاعدة «بورن-Born» وما دورها؟

تخبرنا النظريات الفيزيائية عن ماهية النظام وكيف يتغير بمرور الوقت. تفعل ميكانيكا الكم ذلك أيضًا ولكنها تأتي مع مجموعة جديدة من القواعد التي تحكم ما يحدث عند ملاحظة الأنظمة أو قياسها، وخاصة باخبارها إنه لا يمكن التنبؤ بنتائج القياس بثقة تامة. وكل ما علينا فعله هو حساب احتمال الحصول على كل نتيجة محتملة.

إذ تخضع القياسات الكمية لقاعدة «بورن-Born»، وهي قاعدة وضعها ماكس بورن. الذي أدرك أن سعة الموجة الكمية تتنبأ باحتمالية اكتشاف جسيم في موضع معين، وقد تتضمن السعة أعددًا مركبة، ولا نستخدم سوى الأرقام الموجبة في الاحتمال فلا يوجد ما يُسمى الجذر التربيعي لسالب واحد، ذلك لا معنى له في الاحتمال! لكن قاعدة بورن حلت تلك المشكلة، بتعاملها مع الأعداد المركبة، حيث تقوم الدالة الموجية بتعين (سعة) لكل نتيجة قياس واحتمال الحصول على هذه النتيجة يساوي تربيع السعة.

لماذا نربّع السعة؟

المضاعفة هي الطريقة التي نجد بها احتمال وقوع حدثين، تخيل معيّ على سبيل المثال انبعاث فوتون واحد باتجاه لوحة فوتوغرافية. في هذه الحالة يتجه الفوتون نحو موضع معين على الصفيحة وإلكترون في هذا الموضع يمتصه، فأنت ترصد كل من الألكترون والفوتون.

ما هو الاحتمال إذًا في ميكانيكا الكم؟

يبدأ الاحتمال بمعنى مباشر وواضح ومن ثم كلما اقتربنا يصبح أكثر تعقيدًا. لديك عملة معدنية رميتها عدة مرات، فالنسبة قبل التجريب هي احتمال ظهور أي من الوجهين بنسبة 50٪. لكن إذا بدأت بالتجريب عدة مرات قد تختلف النسبة لكل من الوجهين كليًا.

هناك مفاهيم عديدة لتعريف الاحتمال، الأول هو الموضوعية أو المادية التي تتعامل مع الاحتمالية على أنها سمة أساسية للنظام، وهي طريقة لوصف السلوك، فالتكرار هو مثال على نهج موضوعي للاحتمال ويُعرّف هنا الاحتمال بأنه تكرار حدوث الأشياء من خلال العديد من التجارب مثل رمي العملات.

الثاني، هو الذاتية أو الإثباتية والتي تتعامل مع الاحتمالية على أنها شخصية أو انعكاس لمصدقية الفرد أو درجة الاعتقاد حول ما هو صحيح أو ما سيحدث ومثال على ذلك هو احتمال بايز والذي يوضح لنا كيفية تحديد مصداقيتنا عندما نحصل على معلومات جديدة حول شيء أو حدث ما، أي يمكننا وصف احتمالية وقوع حدث ما بمعرفة المعلومات المرتبطة به. وذلك على النقيض من التكرار، فمن المنطقي في نظرية بايز إرفاق احتمالات مسبقة بناء على معلومات مرتبطة بالحدث.

فيساعدنا التفكير في ميكانيكا الكم على توضيح الاحتمالات والعكس صحيح، وبوضوح ميكانيكا الكم كما هي مفهومة لوقتنا هذا لا تساعدنا فعليًا في الاختيار بين المفاهيم المتنافسة للاحتمالية، فهناك حالات مختلفة تستدعي تلك المفاهيم وليس مفهومًا واحدًا محددًا.

أمثلة على الفرق بين الذاتية والموضوعية؟

لننظر لثلاثة من المناهج الرائدة لنظرية الكم. هناك نظريات “الانهيار الديناميكي” مثل نموذج الانهيار التلقائي (GRW) الذي اقترحه «جيانكارلو غيراردي-Giancarlo Ghirardi» و«ألبرتو ريميني-Alberto Rimini» و«توليو ويبر-Tullio Weber» في عام 1985. ثانيًا، هناك نهج “الموجة التجريبية” أو “المتغير الخفي”، وأشهرها نظرية دي برولي-بوم، التي اخترعها «ديفيد بوم-David Bohm» في عام 1952 بناءً على أفكار سابقة من «لويس دي برولي-Louis de Broglie». وأخيرًا، “العوالم المتعددة” التي اقترحها «هيو إيفريت-Hugh Everett» في عام 1957.

تمثل الأمثلة السابقة طريقة لحل مشكلة القياس في ميكانيكا الكم. تكمن المشكلة في نظرية الكم التقليدية بأنها تصف حالة النظام من حيث دالة الموجة، والتي تتطور بسلاسة وحتمية وفقًا لمعادلة شرودنجر. وعند المراقبة تنهار وظيفة الموجة فجأة لتتحول إلى نتيجة رصد معينة، فالانهيار نفسه لا يمكن التنبؤ به. فتقوم الدالة الموجية بتعيين رقم لكل نتيجة محتملة، واحتمال ملاحظة تلك النتيجة يساوي قيمة تربيع الدالة الموجية. فالاحتمالية في مثل هذه النماذج أساسية وموضوعية. لا يوجد شيء في الحاضر يحدد المستقبل بدقة.

المناهج الثلاثة ذاتية أم موضوعية؟ وكيف توضح مفهوم الاحتمالية؟

تتوافق نظريات الانهيار الديناميكي تمامًا مع النظرة المتكررة القديمة للاحتمالية. ما سيحدث بعد ذلك غير معروف، والتكرار هو المؤدي للنتائج المختلفة. فنظريات الانهيار الديناميكي توضح على نحو رياضي دقيق كيف ينشأ العالم الحتمي للأجسام الصلبة الكلاسيكية من العالم المجهري للأنظمة العشوائية والمموجة. فتُصنف نظريات الانهيار على أنها نظريات متنافسة لميكانيكا الكم ويمكن بسهولة تحديد بعض الآثار الفيزيائية باختبارات؛ للإتيان بنتائج قاطعة.

نظرية الموجة التجريبية؟

أما عن نظرية الموجة التجريبية، فهي توضح أنه لا يوجد شيء عشوائي. تتطور الحالة الكمية على نحو حتمي. الجديد هو مفهوم المتغيرات الخفية مثل المواضع الفعلية للجسيمات، إضافةً إلى دالة الموجة التقليدية. الجسيمات هي ما نلاحظه بالفعل، بينما تعمل الدالة الموجية فقط على إرشادها. فهي تعيدنا إلى عالم الميكانيكا الكلاسيكية مع ملاحظة أنه عندما لا نجري ملاحظة، فإننا لا نعرف ولا نستطيع معرفة القيم الفعلية للميكانيكا الكلاسيكية.

فنتعرف على المتغيرات الخفية من خلال مراقبتها، ووجب الاعتراف بجهلنا للآن وإدخال توزيع احتمالي على قيمهم المحتملة. إذًا الاحتمالية في نظريات الموجة التجريبية ذاتية حيث تفسر ميكانيكا الكم على أنها حتمية بعيدًا عن إشكاليات كانهيار الموجة أو ازدواجية الجسيمات وغيرها، فهي بمثابة تفسير لنظرية الكم أيضًا.

الاحتمالات في العوالم المتعددة

وأخيرًا العوالم المتعددة، التي تخضع لمعادلة شرودنجر ولا توجد أية انهيارات أو متغيرات إضافية، فقط نستخدم معادلة شرودنجر لكي نتنبأ بما سيحدث حينما يقيس مراقب جسمًا كميًا في تراكب. حيث يكون النظام المشترك للمراقب والجسم يتطور إلى تراكب متشابك، وفي كل جزء من التراكب، يكون للجسم نتيجة قياس محددة ويقوم المراقب بقياس تلك النتيجة. فكل جزء من النظام يتطور على نحو منفصل عن الأجزاء الأخرى.

لكن ما طبيعة الاحتمال في العوالم المتعددة؟

كما ذكرنا في العوالم المتعددة، يمكن معرفة الدالة الموجية التي تتطور ولا يوجد شيء غير متوقع. لكن تخيل أنك ستقيس نظام كمي وتتفرع الدالة الموجية إلى عوالم مختلفة، للتبسيط سنفرض أن هناك عالمان. لن نسأل بعد القياس في (أي عالم سأكون فيه!) فهذا ليس منطقي. فسيكون هناك شخصان واحد في كل فرع كلاهما ينحدر منك وليس لدى أي منهما ادعاء بأنه (أنت بالفعل).

عدم اليقين والدالة الموجية

ولكن حتى لو كلاهما يعرف الدالة الموجية للكون، فهناك الآن شيء لا يعرفانه: أي فرع من الدالة الموجية هم فيه. سيكون هناك فترة من الوقت بعد حدوث التفرع ولكن قبل أن يكتشف المراقبون النتيجة التي تم الحصول عليها في فرعهم. إنهم لا يعرفون مكان وجودهم في الدالة الموجية، هذا هو عدم اليقين الذاتي بموضعك.

قد تعتقد أنه يمكنك فقط إلقاء نظرة على النتيجة التجريبية بسرعة كبيرة. بحيث لا تكون هناك فترة ملحوظة من عدم اليقين. لكن في العالم الحقيقي، تتفرع الدالة الموجية بسرعة كبيرة بمقاييس زمنية تتراوح من 10 إلى 21 ثانية أو أقل. هذا أسرع بكثير من وصول الإشارة إلى عقلك. ستكون هناك دومًا فترة زمنية عندما تكون في فرع معين من الدالة الموجية، لكنك لا تعرف أي فرع.

فمهما كانت التنبؤات التي تقوم بها للنتائج التجريبية. فلا يجب أن تتغير إذا انفصلت أجزاء من الدالة الموجية تمامًا من النظام. فيوضح لك عدم اليقين بأنه يمكنك معرفة كل شيء عن الكون لكن لا يزال هناك شيء لست متأكدًا منه. فنستخدم قاعدة بورن فمثلًا أنت تعرف كيف سيتطور الكون ولكن تتضمن هذه المعرفة اقتناعك بأن جميع التوقعات التي تصدرها غير مؤكدة وتستخدم هنا قاعدة بورن لتعيين مصداقية كل توقع. ففي حالة الدالة الموجية أيضًا ستستخدم تلك القاعدة.

فمن الممكن اعتبار كل مفاهيم الاحتمال نسخًا من عدم اليقين. فكل ما عليك فعله هو النظر لكل العوالم الممكنة أو النسخ المختلفة للواقع التي يمكن للمرء أن يتصورها، فتخضع بعض العوالم لقواعد نظريات الانهيار الديناميكي، وتتميز كل منها بالتسلسل الفعلي للنتائج لجميع القياسات الكمية التي أُجريت. وتوصف عوالم أخرى من خلال نظريات الموجة التجريبية. فتجول بنا دراسة الاحتمال من تقليب العملات إلى العوالم المتعددة موضحة أننا لا نعتمد على مفهوم واحد أو قاعدة بخصوص الاحتمالات في ميكانيكا الكم، فعالم الكم مليء بالاحتمالات.

المصادر

• plato.stanford

• quantamagazine

• oxfordre

مقدمة في قوانين الاحتمالات

تعود دراسة الاحتمال كفرع من الرياضيات إلى أكثر من 300 عام، إذ نشأ بسبب الأسئلة المتعلقة بألعاب الحظ مثل لعبة رمي النرد… وفي هذا المقال سنعرض مقدمة في قوانين الاحتمالات، إذ أن تعلمها هو جزء مهم لاستيعاب علوم كثيرة مثل الطب والفيزياء وعلوم الحاسوب والحوسبة الكمية وحتى في حياتنا اليومية في اتخاذنا للقرارات.

يمكنك معرفة تاريخ علم الاحتمال وأهميته من خلال هذا المقال: نظرية الاحتمال بين الماضي والمستقبل.

ما هي التجربة؟

التجربة: هي أي نشاط أو عملية، تخضع نتيجتها إلى عدم اليقين (أي أننا لسنا متأكدين من نتيجتها بنسبة 100٪). على الرغم من أن كلمة “التجربة” تُشير عامة إلى حالة اختبار معملية مخطط لها أو خاضعة للرقابة، لكن نستخدمها في علم الاحتمال على نحو أوسع.

في تجارب مثل رمي عملة معدنية مرة واحدة أو عدة مرات، واختيار بطاقة أو بطاقات من مجموعة، والتأكد من وقت التنقل من المنزل إلى العمل في صباح يوم معين، والحصول على فصائل الدم من مجموعة من الأفراد، وغيرها.

ما هو «فضاء العينة-Sample space» في التجربة؟

فضاء العينة: مجموعة من جميع النتائج المحتملة لتجربة عشوائية، تُمثل بالرمز “S”، نكتب النتائج في قوسين هكذا “{}”.

مثال: عند رمي قطعة نقود، فإن هناك نتيجتين وهما «الرأس والذيل (صورة وكتابة)-Head and Tail»، إذًا فإن فضاء العينة لتلك التجربة سيكون:

S = {H,T}= {Head, Tail}.

وعند رمي العملة مرتين، سيكون عدد النتائج المحتملة أربعة. سنفرض أنهم H1, T1 للمرة الأولى وH2 وT2 للمرة الثانية، فيكون فضاء العينة:

S = {(H1, H2), (H1, T2), (T1, H2), (T1, T2)}.

ويمكنك تحديد النتائج بدقة بأنه لو كان لديك عدد n من العملات، فإن عدد النتائج المحتملة 2 أس n.

فإذا رميت عملة معدنية ثلاث مرات متتالية، فإن (n = 3). فسيكون عدد النتائج المحتملة (8 = 3^2).

مثال آخر: عند رمي قطعة نرد واحد، فهي لها 6 أوجه أي 6 نتائج، لذا ففضاء العينة سيكون: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ما هي «الأحداث-Events» في التجربة؟

في دراسة الاحتمال، لا نهتم فقط بالنتائج التي في فضاء العينة ككل بل أيضًا بمجموعات مختلفة من النتائج من فضاء العينة.

«الحدث-Event»: هو أي مجموعة (مجموعة فرعية) من النتائج -لتجربة معينة- الموجودة في فضاء العينة، يكون الحدث بسيطًا إذا كان يتكون من نتيجة واحدة بالضبط ومركبًا إذا كان يتكون من أكثر من نتيجة. ويقع احتمال وقوع أي حدث بين 0 و1.

مثال: عند رمي عملة ثلاث مرات متتاليات، فإن فضاء العينة سيكون:

S = {(T, T, T), (T, T, H), (T, H, T), (T, H, H ), (H, T, T ), (H, T, H), (H, H, T), (H, H, H)}.

فإذا أردنا إيجاد النتائج التي تحوي رأسان فقط (H) على الأقل، فستكون هكذا:

E = { (H, T, H) , (H, H, T) , (H, H, H) , (T, H, H)}.

وهذا هو الحدث، مجموعة فرعية من فضاء العينة يُرمز له بـ (E).

ما هو احتمال وقوع الحدث؟

ذكرنا سابقًا أن احتمال وقوع أي حدث يكون بين 0 و1، فـ 1 إذا كان احتمال وقوع الحدث مؤكدًا بنسبة 100٪ و0 إذا كان العكس (التجارب العشوائية مثل رمي قطعة نرد لا تخضع لأي من الرقمين لكن نتيجة وقوع أي حدث تكون بينهما). لذا فببساطة، نحصل على احتمال حدث معين A من تجربة من عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها A مقسومًا على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. ففي المثال السابق يكون احتمال وقوع حدث أن تكون هناك رأسان على الأقل هو: 8÷4= 2÷1.

أنواع الأحداث في الاحتمال

ذكرنا في البداية أن هناك نوعين أساسيان وهما المركب والبسيط وسنتعرف عليهم بالتفصيل وعلى أنواع أخرى من الأحداث الاحتمالية المهمة.

«أحداث مؤكدة ومستحيلة-Impossible and Sure Events»

إذا كان احتمال حدوث حدث هو 0، فإن هذا الحدث يُسمى حدثًا مستحيلًا وإذا كان احتمال حدوث حدث هو 1، فإنه يُسمى حدثًا مؤكدًا. بمعنى آخر، المجموعة الفارغة ϕ هي حدث مستحيل وفضاء العينة S هي حدث أكيد.

«أحداث بسيطة-Simple Events»

يُعرف أي حدث يتكون من نقطة واحدة (outcome or sample point or element or member) من فضاء العينة بأنه حدث بسيط في الاحتمال. فمثلًا:

إذا كان S = {5, 6, 7, 8, 9} و E = {7}، فإن E هو حدث بسيط.

«أحداث مركبة-Compound Events»

على النقيض من الحدث البسيط، إذا كان أي حدث يتكون من أكثر من نقطة واحدة من فضاء العينة، فإن هذا الحدث يسمى حدثًا مركبًا. فمثلًا:

S = {5, 6, 7, 8, 9}, E1 = {5, 6}, E2 = {7, 8, 9}.

إذن E1 وE2 يمثلان حدثان مركبان.

«الأحداث المستقلة والتابعة-Independent and Dependent Events»

إذا كان وقوع أي حدث لا يتأثر بحدوث أي حدث آخر، تُعرف هذه الأحداث على أنها «أحداث مستقلة» وتعرف الأحداث التي تتأثر بأحداث أخرى بـ «الأحداث التابعة».

«أحداث متنافية-Mutually Exclusive Events»

إذا كان وقوع حدث واحد يستبعد حدوث حدث آخر، فإن مثل هذه الأحداث تكون «أحداثًا متنافية-Mutually exclusive events» (أي لا يوجد أي نقطة مشتركة بين حدثين). فمثلًا، إذا كانت

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

وE1 وE2 حدثين، حيث:

E1 = {1, 2, 3} – E2 = {4, 5, 6}.

فهنا لا يوجد أي نقاط مشتركة، فـ E1 وE2 حدثان متنافيان.

‏«أحداث شاملة-Exhaustive Events»

الأحداث الشاملة هي مجموعة من الأحداث في فضاء العينة بحيث يحدث أحدها على نحو إلزامي أثناء إجراء التجربة. أي أن جميع الأحداث المحتملة في فضاء عينة من التجربة تشكل أحداثًا شاملة. فمثلًا، أثناء إلقاء عملة معدنية، هناك نتيجتان محتملتان. لذلك، فإن هاتين النتيجتان، هما حدثان شاملان لأن أحدهما سيحدث بالتأكيد أثناء قلب العملة. وليس من الضروري أن يكون للأحداث احتمالية متساوية لتكون شاملة، فعند رمي حجر نرد هناك 6 نتائج وهم {1, 2, 3, 4, 5, 6} وسيكون أي من هذه الأرقام هو النتيجة بالتأكيد، فإن كل هذه النتائج الست هي أحداث شاملة. لذلك، فأن اتحاد الأحداث الشاملة يعطي فضاء العينة بأكملها.

«الأحداث التكميلية-Complementary Events»

لأي حدث E1، يوجد حدث آخر ‘E1 والذي يمثل العناصر المتبقية من فضاء العينة S.

E1 = S – E1′.

مثال: إذا رمينا حجر نرد، فسيكون فضاء العينة:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ‏

إذا كان الحدث E1 يمثل جميع النتائج التي تكون أكبر من 4، فإن E1 = {5, 6} و E1‘= {1, 2, 3, 4}.

وبالتالي فإن ‘E1 هو مكمل للحدث E1، وبالمثل مكملة E1, E2, E3… En هي’E1′, E2’, E3’… En.

الأحداث المرتبطة بـ “أو-OR”

إذا ارتبط حدثان E1 و E2 بـ «أو-OR»، فهذا يعني أنه إما E1 أو E2 أو كلاهما. يستخدم رمز الاتحاد (∪) لتمثيل «أو-OR» في الاحتمال. بالتالي، يشير الحدث E1 U E2 إلى E1 أو E2.

الأحداث المرتبطة بـ “و-And”

إذا ارتبط حدثان E1 و E2 بـ «و-AND»، فهذا يعني تقاطع العناصر المشتركة لكلا الحدثين. يستخدم رمز التقاطع (∩) لتمثيل «و-AND» في الاحتمال.بالتالي، فإن الحدث E1 ∩ E2 يشير إلى E1 و E2.

الحدث E1 – E2

يمثل رمز (-) الفرق بين كلا الحدثين. فحينما نقول E1 – E2 نقصد جميع النتائج الموجودة في E1 والتي ليست موجودة في E2. فمثلًا:

E1 = {2, 4, 6}, E2 ={2, 3, 6}. E1 – E2 ={4}.

ما هي أنواع الاحتمال؟

هناك أنواع مختلفة من الاحتمالات بناءً على طبيعة النتيجة أو النهج المتبع أثناء العثور على احتمال وقوع حدث ما. يمكن دراسة نظرية الاحتمالات بعدة طرق وسنبدأ بثلاث طرق أساسية وهما:

الاحتمال النظري (الكلاسيكي)

الاحتمال النظري هو المرتبط بالنظرية الكامنة وراء الاحتمال. للعثور على احتمال وقوع حدث باستخدام الاحتمال النظري، لا يلزم إجراء تجربة. فهو يعتمد على الرياضيات البحتة. فمثلًا إذا كان لدينا صندوق يحوي 10 كرات حمراء وزرقاء، فإن بالاحتمال النظري احتمال سحب كرة حمراء هو 10/20 = 1/2. (عدد الكرات الحمراء على المجموع الكلي للكرات).

الاحتمال التجريبي

الاحتمال التجريبي هو احتمال يتم تحديده على أساس سلسلة من التجارب. نُجري تجربة عشوائية ونُكررها عدة مرات لتحديد احتمالية حدوثها ويعرف كل تكرار على أنه تجربة. ففي المثال السابق بعد تجربة السحب السادسة وجدنا أن 4 من الكرات المسحوبة حمراء واثنين من الكرات زرقاء، هنا اختلفت النتائج عن الاحتمال النظري.

الاحتمال البديهي

الاحتمال البديهي هو نظرية احتمالية موحدة، يحدد مجموعة من البديهيات (القواعد) التي تنطبق على جميع أنواع الاحتمالات، بما في ذلك الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري. البديهيات الثلاثة هي:

• البديهية الأولى: توضح أن بالنسبة لأي حدث A، يكون احتمال A أكبر من أو يساوي الصفر، لأنه كما ذكرنا أن أي حدث يقع بين 0 و1 و0 حدث مستحيل الوقوع و1 مؤكد الوقوع.
• البديهية الثانية: توضح أن جميع النتائج المحتملة في فضاء العينة تساوي 1.
• البديهية الثالثة: توضح أنه إذا كان A1 و A2 نتيجتان متنافيتان، فإن:

P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2).

لذا فاحتمال حدوث A1, A2, A3… يساوي مجموعهم.

وهكذا انتهينا من المقدمة في قوانين الاحتمالات، دعونا نختم بهذا المثال المجمع والذي ستتضح فيه تفاصيل أخرى، حيث هناك أنوا أخرى، فقد تكون الاحتمالات إما هامشية أو مشتركة أو مشروطة، وفهم الاختلافات بينهم هو مفتاح لفهم أسس الإحصاء (انظر للصورة أدناه).

«الاحتمال الهامشي-Marginal probability»

احتمال وقوع حدث P(A)، يُنظر إليه على أنه احتمال غير مشروط. لا يشترط على حدث آخر.

مثال: احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة صفراء من 52 بطاقة صفراء وحمراء (26 منها حمراء و26 منها صفراء) هو 1/2. والقوانين في الأعلى -بالصورة- في الاحتمال الهامشي هي الأساسية كما وضحنا سابقًا.

«الاحتمال الشرطي-Conditional probability»

يُعرَّف الاحتمال الشرطي بأنه احتمال وقوع حدث أو نتيجة، بناءً على حدوث حدث أو نتيجة سابقة، والصيغة العامة: ‏

P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

أو

P(B|A) = P(A∩B)/P(A).

مثال:

S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ={2,4, 6}, B ={2, 3}.

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (1/6)÷(2/6) = 1/2.

(احتمال أن A يحدث بشرط أن يحدث B، أولًا التقاطع يساوي عدد عناصر الحدث على فضاء العينة، وP(B) يساوي عدد العناصر على فضاء العينة).

«نظرية بايز-Bayes Theorem»

هي نظرية في الاحتمالات والإحصاءات، سميت على اسم عالم الرياضيات البريطاني «توماس بايز-Thomas Bayes»، في القرن الثامن عشر والتي تساعد في تحديد احتمال وقوع حدث يعتمد على بعض الأحداث التي حدثت بالفعل. نظرية بايز لها العديد من التطبيقات مثلًا في قطاع الرعاية الصحية؛ لتحديد فرص تطوير المشاكل الصحية مع زيادة العمر.

تنص نظرية بايز على أن الاحتمال الشرطي لحدث A، نظرًا لحدوث حدث B آخر، يساوي ناتج احتمالية B، مع الأخذ في الاعتبار A واحتمال A.

الفرق بين صيغة الاحتمال الشرطي ونظرية بايز

الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع حدث “A” يعتمد على وقوع حدث آخر “B”. الصيغة:

نظرية بايز: اشتقت نظرية بايز باستخدام تعريف الاحتمال الشرطي، تشتمل صيغة النظرية على احتمالين شرطيين. الصيغة:

«الاحتمال المشترك-Joint probability»

هو احتمال وقوع الحدث A والحدث B. أي احتمال تقاطع حدثين أو أكثر.

مثال: احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة صفراء (من 52 بطاقة و26 منهم حمراء و26 صفراء) وعليها الرقم 4 هو P (four and red) = 2/52 = 1/26، نفرض هنا أن B هو احتمال أن البطاقة صفراء وA هو احتمال ظهور الرقم 4.

P(A∩B) = P(A).P(B) = (4/52).(26/52) = 1/26.

السابق قانون التقاطع عندما نقول (بطاقة صفراء ورقم 4)، ماذا لو قلنا (بطاقة صفراء أو رقم 4)؛ حينها سنطبق قانون الاتحاد وقانون:

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

من ثم عند الإتيان بالمكملة، نطرح كل ما سبق من 1، فإذا قلنا لا بطاقة حمراء ولا رقم 4؛ سيكون القانون التالي:

P(A’∩B’) = 1 – P(A).P(B).

وإذا قلنا لا بطاقة حمراء أو رقم 4، سيكون القانون التالي:

P(A’UB’) = 1 – P(A) + P(B) – P(A∩B).

«الاحتمال المنفصل-Disjoint probability»

وذلك يكون حينما يكون الحدثان متنافيين أو منفصلين ولا يحدث كلاهما في نفس الوقت، ومن أشهر الأمثلة هي عند رمي عملة واحدة مرة واحدة، فلن يظهر سوى وجه واحد ويستحيل ظهور الرأس والذيل معًا.

ولو فرضنا أن A تعبر عن عملات معدنية وB هو الطقس -حدثان متنافيان ولا علاقة لهم ببعضهما- ولاحظ القوانين التالية:

عند تقاطعهم سيعطينا المجموعة الخالية أو ϕ.

P(A∩B) = ϕ أو { }.

عند الاتحاد سيعطينا مجموعهما:

P(AUB) = P(A) + P(B).

«الأحداث المستقلة-Independent events»

سبق وذكرنا أن الأحداث المستقلة التي لا تعتمد على ما حدث من قبل، أي لا تتأثر هذه الأحداث بالنتائج التي حدثت سابقًا.

«الأحداث التابعة-Dependent events»

الأحداث التابعة هي التي تعتمد على ما حدث من قبل، أي تتأثر هذه الأحداث بالنتائج التي حدثت سابقًا، وإذا تغير حدث ما بالصدفة، فمن المحتمل أن يختلف الآخر. وتعبر (B|A)P أن احتمال حدوث B في حالة حدوث A أي يعتمد عليه. لاحظ القوانين بالصورة…

نهايةً، لو أردت «الاحتمال الكلي-Total probability» فهو يساوي مجموع كل الاحتمالات الموجودة.

المصادر

1. Jay L. Devore, Probability and statistics, Eighth Edition, Page (50:73).
2. investopedia
3. bujus
4. cuemath
5. investopedia
6. nicholas.duke