الوسم: الأعداد التخيلية

ما حل المعادلة الموضحة أدناه يا تُرى؟

غالبا ما ستكون قد درست حل هذه المعادلة والذي هو i. ولكن لماذا حل تلك المعادلة مختلف؟ وما معنى i وما علاقتها بعنوان المقال أصلًا؟ هذه هي معادلتنا الشهيرة التالية في سلسلة أشهر المعادلات الرياضية في التاريخ، حيث سنركز حديثنا حول ماهية الأعداد المركبة وأهميتها وتاريخها والكثير من المعلومات المثيرة حولها.

ما هي الأعداد المركبة؟

في نظام الأعداد الحقيقية لا يوجد حل للمعادلة التالية:

لذا هناك نظام رقمي آخر يوضح حل تلك المعادلة، وذلك النظام يعتمد على جزئين. الجزء الأول يسمى بالجزء الحقيقي والثاني بالجزء التخيلي والصيغة موضحة كالتالي:

أمثلة على الأعداد المركبة:

• 7i−2 حيث 2- الجزء الحقيقي و7 الجزء التخيلي.
• 4−3i حيث 4 الجزء الحقيقي و3- الجزء التخيلي.
• 9i حيث 0 الجزء الحقيقي و9 الجزء التخيلي.
• 2- حيث الجزء الحقيقي 2- والجزء التخيلي 0.

لندرس الآن بعض العمليات على الأعداد المركبة:

• الجمع

• الطرح

• الضرب

كيف ظهرت الأعداد المركبة؟

تتميز الأعداد بتاريخها الطويل، والحديث هنا سيرتكز على الأعداد المركبة؛ حيث ظهرت الأعداد المركبة للحاجة إلى حل المعادلات التكعيبية وليست المعادلات التربيعية كما هو شائع. فيمكننا رؤية حلول مختلفة الأنواع للمعادلات التربيعية وهي حلول جبرية وجدها الخوارزمي وتلك الحلول تُدرس إلى وقتنا هذا لكنها تقتصر على الحلول الموجبة فقط، لا السالبة. وقد كان الخوارزمي حينها عضوًا في بيت أو دار الحكمة وهي شبه أكاديمية للعلماء، أُنشأت في بغداد.

وقد أُدخلت الطرق الجبرية المعروفة عند العرب إلى إيطاليا عن طريق الترجمة اللاتينية لجبر الخوارزمي من قِبل جيرارد كريمونا ومن خلال أعمال ليوناردو دا بيزا (فيبوناتشي).

وفي حوالي عام 1225م، حينما عقد فريدريك الثاني محكمة في صقلية وتم تقديم فيبوناتشي للامبراطور، طرح عالم رياضيات محلي عدة مشكلات قام فيبوناتشي بحلها جميعًا ومن بينها حل المعادلة الموضحة أسفله: (فمن خلال ملاحظة ما يأتي جيدًا، يمكنك تتبع تلك المشكلة ومن توصل إلى حلها لفهم كيفية ظهور الأعداد المركبة).

حيث المعادلة التكعيبية العامة هي:

يمكن اختزال وتبسيط المعادلة على النحو الآتي:

ومن خلال تغير المتغير

حيث ظهر هذا التغيير للمتغير لأول مرة في مخطوطتين مجهولتي الهوية حوالي نهاية القرن الرابع عشر.

فإذا أخذنا المعاملات والقيم الموجبة لـ X فقط، فستكون لدينا ثلاث حالات، تُعرف باسم Depressed cubic وهي:

من سيبيوني إلى تارتاليا

فكان أول من حل المعادلة 1 وربما أيضًا المعادلتين 2 و3 هو سيبيوني ديل فيرو، وعلى فراش موته، أسند الصيغة إلى تلميذه أنطونيو ماريا فيوري، الذي تحدى عالم رياضيات يسمى نيكولو فونتانا تارتاليا في مسابقة رياضيات. وقد أعاد هذا الأخير اكتشاف الصيغة وأخبر جيرولامو كاردانو بها ووقع معه قسمًا على السرية بعد أن أخبره بالصيغة فقط. إلا أن كاردانو تمكن فيما بعد من بناء إثبات. وبعدها عرف كاردانو أن ديل فيرو لديه الصيغة وتحقق من ذلك من خلال مقابلة أقاربه والذين منحوه حق الوصول إلى أوراق ديل فيرو. فنشر كاردانو الصيغة بجميع حالاتها الثلاث في Ars Magna وذكر أن ديل فيرو هو المؤلف الأول، وأن تارتاليا عمل بطريقة مستقلة وحصل على الصيغة.

كانت تتمثل الصعوبة بالحالة 2، في ظهور جذر تربيعي لرقم سالب في الصيغة. فهنا الاشتقاق، حيث سنعوض X= U+V في المعادلة التي بالصورة.

لتكون النتيجة:

حيث 3uv = p وu^3+v^3=q، وu^3 v^3=(p/3)^3.

وبذلك يكون جمع وحاصل الضرب لمكعبين معروفين. فيستخدم ذلك لتكوين معادلة من الدرجة التانية، يتم حلها بسهولة.

لكن يوجد W- وقد تجنب كاردانو مناقشة تلك الحالة وتوضيحها في Ars Magna وربما قد يكون برر ذلك في ذهنه بعدم وجود حل حقيقي موجب للمعادلات التكعيبية. فتقول بعض المصادر أن كاردانو هو أول من أدخل الأعداد المركبة a+√-b في الجبر على الرغم من شكوكه، حيث طرح المشكلة الآتية في Ars Magna والتي تخص تقسيم 10 إلى جزئين ويكون حاصل ضربهمها 40.

ما حل مشكلة كاردانو؟

على ما يتضح أن تلك الحالة مستحيلة، لكن لنقسم 10 إلى جزئين متساويين، فيكون بذلك كل جزء 5. من ثم نربع 5، فستكون 25. لنطرحها من 40، فيكون الناتج 15- والجذر التربيعي المضاف إلى 5 أو مطروحًا منه سيعطينا أجزاء حاصل ضربها 40، لنرى ذلك.

الأجزاء هي 15-√- 5 و 15-√+ 5 ولنضرب الأجزاء في بعضها، ستعطينا (15-)-25، سيكون الناتج بذلك 40.

هذه ببساطة المشكلة المطروحة وحلها، لذلك ينسب البعض الفضل لكاردانو في إدخال الأعداد المركبة.

ما بعد كاردانو

بعد ذلك يأتي رافائيل بومبيلي بمجموعة كتبه (I’Algebra) المتكونة من ثلاثة كتب ويطرح فكرة 1-√ ويتعمق بشكل أكثر من كاردانو. حيث اعتبر بومبيلي المعادلة الآتية:

التي تعطيها صيغة كاردانو:

فيحصل على a=2, b=1 وهكذا ينتج:

يأتي بعد ذلك ديكارت لكي يربط الأرقام التخيلية التي توجد في العدد المركب بالاستحالة الهندسية، وصاغ مصطلح (لأي معادلة يمكن للمرء أن يتخيل لها العديد من الجذور ولكن قد لا يوجد كمية تتوافق مع ما يتخيله المرء). من ثم ينظر جون واليس إلى الأرقام السالبة بشكل مختلف ويوضح أنها تقدم تفسير مادي جيد وأعطى تفسير هندسي لـ 1-√. ننتقل بعدها لأبراهام دي موفر صاحب نظرية دي موفر الشهيرة والتي صيغتها بالأسفل وهي لحساب الجذور التكعيبية.

وقد أتى بعد ذلك العديد من العلماء والكثير من الاجتهادات في سبيل توضيح واستخدام العدد المركب أكثر وأكثر ووضع نظريات مثل جاوس وهاملتون وأرجاند وأويلر، نهاية بكوشي.

ما فائدة الأعداد المركبة؟

بعد ما تم توضيحه في الإطار التاريخي لتلك الأعداد وكيفية ظهورها على نحو موجز، تتبين أهميتها في العديد من العلوم، فللأعداد المركبة تطبيقات عدّة نجدها مثلًا في ميكانيكا الكم والهندسة الكهربائية والميكانيكية وعلوم الحاسوب وغيرها، والتي تعتمد على المعادلات بكل تأكيد، خاصة وأن سبب ظهورها، كما أسلفنا، هو حل المشكلات المتعلقة بالمعادلات التكعيبية والمثير أنها تسمح لنا بحل أي معادلة متعددة الحدود.

المصادر

1. khanacademy
2. ShortHistoryComplexNumbers2006
3. khanacademy
4. study
5. livescience
6. brilliant.org

العدد التخيلي هو الجذر التربيعي لسالب واحد (1-)، أما العدد الذي على الصورة a+bi حيث a و b أعداد حقيقية وi عدد تخيلي، فيسمى عدداً مركباً أو عدداً عقدياً، تعتبر الأعداد التخيلية من أكثر المفاهيم صعوبة للفهم لدي الكثير، على الرغم من أهميتها الكبيرة في عالمنا المعاصر، وكم من شخص سيصدم لو سألته ما أهمية الأعداد التخيلية؟ .

نبذة تاريخية عن الأعداد التخيلية

من الطريف أن بداية ظهور الأعداد التخيلية ليست مع محاولات إيجاد حلول للدالة التربيعية، بل عند حل معادلات من الدرجة الثالثة، بدأ هذا الأمر للعلن مع عالم الرياضيات والطبيب الإيطالي جيرولامو كاردانو، وفي عام 1637 جاء العالم الفرنسي الملقب بأبو الفلسفة الحديثة رينيه ريكارد بصيغة نموذجية للعدد التخيلي، وفي عام 1777 قام العالم السويسري ليونهارت أويلر بوضع رمز للعدد التخيلي i، حتى جاء العالم الأيرلندي ويليام هاملتون فقام بتطوير الأعداد المركبة تطويرا هائلا.

أين توجد الأعداد التخيلية في الحقيقة؟

يجد الكثير من الغير الرياضيين صعوبة في تقبل أن الأعداد التخيلية لها قيمة وفائدة في حياتنا، على عكس الأعداد الحقيقية فهي عندهم لها معنى وفائدة واضحة، يرجع ذلك في الأساس لاسم هذه الأعداد، فوصفها بالتخليلية يعني بالنسبة لهم أنها لا علاقة لها بالواقع، ولكن الحقيقة أن التطبيقات الحياتية للأعداد التخيلية كثيرة جداً، فيندر أن يخلو علم من وجودها فيه، بل إن بعض العلوم قامت على وجودها مثل علم فيزياء الكم.

الأعداد التخيلية لا توجد في الطبيعة، ولا غرابة في هذا فالأعداد السالبة لا توجد في الطبيعة أيضاً، فمن منا رأي عدداً سالباً، فعندما نقول أن بائعاً خسر 100 جنيهاً، فنرمز لهذا رياضياً (100ـ) وليس هذا معناه أن البائع معه سالب 100 جنيهاً في محفظته، .وعلينا أن نلاحظ هنا الفرق بين علوم الطبيعة مثل الأحياء والكيمياء وبين الرياضيات فالأولى مرتبطة بالواقع الفعلي الذي نعيشه، بينما الرياضيات مرتبطه بما يستطيع العقل أن يعقله ويربطه ربطاً منطقياً سليماً، وقدرات العقل أوسع من واقعنا الملموس فالرياضيات بها جزء ينتمي لواقعنا الملوس وجزء أكبر مرتبط بعالم يستطيع العقل أن يتصوره أو يتخيله.

هل يحق لنا أن نصف الواقع بأعداد تخيلية؟

لا يوجد أي تعارض أن نصف واقعنا الفعلي بأعداد ليست جزء منه، فالعبرة بمرونة هذه الأعداد وقدرتها على الوصول إلى النتيجة النهائية بشكل مرضي، فالنموذج الرياضي يعبر عن الواقع ولكنه ليس الواقع بعينه.

ما أهمية الأعداد التخيلية؟

الأعداد التخيلية توجد في ميكانيكا الموائع وعلم الفوضى والكسيريات والكهربية والمغناطيسية والاهتزازات الميكانيكية وغيرها الكثير ونكتفي هنا بذكر مثالين فقط للتوضيح

1ـ في التيار المتردد نجد أن فرق الجهد وشدة التيار والمقاومة، كميات متجهة،هذه الكميات التي تتعاقب في الاتجاه والسعة تؤثر عليها أمور أخرى هي التردد وانزياح طور الموجة ومن أجل تحليل الدارات للتيار المتردد بصورة دقيقة يتم استخدام الأعداد المركبة، للتعبير عن بعدي التردد وانزياح طور الموجة في الوقت ذاته.
2ـ بدلاً من محاولة توصيف المجال الكهرومغناطيسي عن طريق كميتين حقيقيتين فقط هما قوة المجال الكهربي و وقوة المجال المغناطيسي، يمكننا وصفه بطريقة أفضل مستخدمين عدد مركباً حيث تكون المكونات الكهربية والمغناطيسية الجزئين الحقيقي والتخيلي للعدد المركب.

المصادر:

1ـ Livescience

2ـ Math

3ـ Mathshistory