التصنيف: رياضيات

فلسفة الرياضيات | من هو العبقري جورج كانتور؟

هل لك أن تتخيل كيف ستكون حياتك إن لم يكن هناك طريقة لتمثيل الأعمار والوزن والوقت والنتائج والحسابات المصرفية وأرقام الهواتف؟ بالطبع مستحيلة. تُستخدم الأرقام الرياضية، لتحديد كل هذه الكميات.

فمازلنا مستمرين في حديثنا في سلسلة «فلسفة الرياضيات»، وموضوعنا اليوم عن العبقري «جورج كانتور-Georg Cantor» الذي له تأثير كبير في مفهوم اللا نهائية.

لكن ما رأيك قبل أن نتعرف على ذلك العبقري المُؤثر في مفهوم اللانهائية. أن نلقي نظرة على تاريخ الأعداد التي من الواجب أن نعرفها، إذ أن للأرقام قصة مع عالمنّا في إحدى نظرياته!

فلسفة الرياضيات | ما هو فندق هيلبرت وعلاقته باللانهائية؟

قال «جاليليو جاليلي_Galileo Galilei» في عام 1638م بكتابه «علمان جديدان»: “كل مربع له جذره الخاص وكل جذر له مربعه الخاص، بينما لا يوجد مربع له أكثر من جذر واحد ولا يوجد جذر له أكثر من مربع واحد”.

الأعداد المربعة: 2^1-2^2-2^3-2^4… وجذورها الموجبة: 1-2-3-4… لكن ما هو الأكثر: الجذور أم المربعات؟

يمكننا الإجابة بأن كل مربع هو جذر بعض الأعداد الصحيحة الموجبة. لكن ليس العكس (الرقم 2، هو جذر 4، لأن 4=2^2. لكن 2 ليس مربع عدد صحيح موجب).

تترك لنا ملاحظة جاليليو مفارقة -المفارقة: رأي أو بيان مخالف للرأي العام ولكنه ربما يكون صحيح-. يبدو أن لدينا أسبابًا للاعتقاد بأن الجذور أكثر من المربعات، ولكن أيضًا هناك أسباب للاعتقاد بأن هناك العديد من الجذور مثل المربعات.

إن مفارقة جاليليو هي أكثر المفارقات إثارة للاهتمام، ولكن بعد قرنين من كتاب «علمان جديدان». نشر عالم الرياضيات الألماني «جورج كانتور_Georg Cantor» مقالًا يصف منهجية صارمة لمقارنة أحجام المجموعات اللانهائية وتنتج استنتاجًا لافتًا يشير إلى وجود أحجام مختلفة من اللانهاية.

لكن ماذا فعل كانتور بالتحديد وهل هو الوحيد؟ وما علاقة ذلك بالفسلفة… هذا ما سنعرفه في سلسلة «فلسفة الرياضيات». سنناقش فيها مواضيع عدة حول الرابط الجامع لكل من الفلسفة والرياضيات بشكل سلس. في بداية الأمر علينا أولًا أن نعرف القليل عن تلك العلاقة، ومن ثم ما هو فندق هيلبرت وعلاقته باللانهائية؟ فهيا بنا.

من وضع أسس المعلومات الحديثة؟

المصادر

1. quantamagazine
2. britannica
3. scientificamerican
4. مقدمة قصيرة جدًا | المعلومات لـ لوتشانو فلوريدي

تخيل أن عدد كبير من البشر يعيشون في جزيرة واحدة، وهناك فقط مجموعة صغيرة من الأشخاص على أيديهم بقعة سمراء، وتلك البقعة طفرة. قد تضيع تلك الطفرة إن لم تكن ميزتها قوية، ولكن إذا هاجر أولئك الأفراد الحاملين للطفرة؛ قد تكون الطفرة مفيدة وتنتشر وسط السكان وقد لا يحدث ذلك! [1]

يدرس علماء الأحياء البنية السكانية لفهم آلية توارث الجينات عبر العصور وعلاقتها بالتطور، وهذا هو صلب حديثنا ولكن دعنا عزيزي القارئ نتعرف على أحد الدعائم الرئيسة لدراسة البنية السكانية وربطها بالتطور -كي نثبت أنه حتى الرياضيات أكدت نظرية التطور- ألا وهو الانتقاء الطبيعي.[1]

عام 1859م، صيغت لأول مرة نظرية التطور عن طريق الانتقاء الطبيعي في كتاب داروين «حول أصل الأنواع». ووضح لنا الانتقاء الطبيعي هو أن الأفراد في المجتمع مختلفون وأن هذا الاختلاف عبّر عن أن بعض الأفراد لديهم سمات وراثية تجعلهم قادرون على التكيف وسط بيئة معينة وأن الأشخاص ذوي السمات التكيفية هم من لديهم القدرة على البقاء والتكاثر، وينقلون تلك الصفات للأجيال التالية وبمرور الوقت تصبح السمات المفيدة أكثر شيوعًا بين السكان.[2]

والانتقاء الطبيعي قادر على أكثر من ذلك، فمن الممكن أصلًا أن يدعم أنواعًا جديدة، وتُعرف هذه العملية بالتطور الكبير. حيث بيّنت لنا تحول الديناصورات إلى طيور والثدييات البرمائية إلى حيتان وأسلاف القردة إلى بشر! ولكن كيف يحدث ذلك؟ يؤدي أحد الأنواع إلى ظهور نوع جديد ومختلف تمامًا، وأصل حدوث ذلك هي الطفرات -هي تغير في بنية الجزئية للجينات-. قد تكون الطفرات عشوائية (ناتجة عن حدوث خطأ أثناء تكرار الخلايا خلال نسخ الحمض النووي) أو تحدث نتيجة للتعرض لكوارث بيئية أو إنسانية أو طبيعية كالمواد الكيميائيّة الضارة والاشعاع للنووي. يمكن أن تكون الطفرات ضارة أو محايدة أو مفيدة في بعض الأحيان، مما يؤدي إلى سمة جديدة ومفيدة.[3]

الرياضيات إما أن تؤكد أو أن تنفي النظرية التطورية

زادت النماذج الرياضية للانتقاء الطبيعي التطور صعوبة. فقد تم نشر ورقة بحثية جديدة في مجلة «Communications Biology» لفريق متعدد التخصصات من علماء في النمسا والولايات المتحدة، حيث قاموا بتحديد طريقة محتملة للخروج من تلك المتاهة. لكن على صعيد آخر، كانت نتائجهم معارضة بعض الشيء لما يحدث في الطبيعة. في نهاية المطاف، فإن أبحاثهم مفيدة للغاية للباحثين في مجال التكنولوجيا الحيوية وغيرها من المجالات التي تحتاج لتدعيم الانتقاء الطبيعي.[1]

قد أشارت نتائج الدراسة إلى أن ظهور الطفرات المفيدة يجب أن ينتشر عبر السكان. لكن هذه النتيجة غير مضمونة، فيمكن للحوادث العشوائية والأمراض والمصائب أن تمحو تلك الطفرات بسهولة عندما تكون جديدة ونادرة.[3]

لم يكن لدى علماء الأحياء سوى أفكار غير مطبقة علميًا حول تأثير البنية السكانية على الانتقاء الطبيعي. هنا اتجه «مارتن نواك_Martin Nowak» للرسوم البيانية الرياضية، فقد تمثلت في البنية السكانية التي تمثل العلاقات الديناميكية بين مجموعات العناصر. تلك العناصر على رأس الهيكل وتصف الخطوط والحواف بين كل زوج من العناصر المرتبطة في نظرية الرسم البياني التطوري. حيث الكائنات الحية في القمة وبمرور الوقت يكون لدى كل فرد احتمالية إنجاب ذرية مماثلة -حاملة لنفس الصفات الوراثية لكل من الأب والأم ولا يوجد طفرة جديدة بالجيل-، والتي من الممكن أن تحل محل فرد على الرأس المجاور -كما في صورة بالأسفل-. كذلك تواجه مخاطر استبدالها ببعض الكائنات من الجيل التالي.[1]

يتم ربط هذه الاحتمالات في البنية كـ “أوزان” -ذات اللونين الأزرق والأحمر- واتجاهات في الخطوط بين الرؤوس. فالأوزان تمثل السلوكيات في المجتمعات الحية كـ “أن تعبر الارتباطات التي تزيد من احتمال عزل السلالات عن بقية السكان عن الهجرات”.[1]

تم نشر ورقة بحثية في مجلة «Nature» عام 2005م، أظهر فيها نواك وزملاؤه مدى قوة بعض البنى السكانية. تلك التي يمكن أن تمنع أو تدعم تأثيرات الانتقاء الطبيعي، فعند وجود أفراد مختلفون أي يحملون طفرة معينة مميزة فأولئك لن يستطيعوا أن يحتلوا أماكن وسط المجتمع وتلك البنية بمثابة عائق للتطور أي لا ينشأ جيل جديد مختلف. أيضًا لا يكون هناك فئات أخرى بينها نسب مشترك، ولكن حدث العكس مع بنية اختبروها العلماء -هي التي تمثل شكل النجمة في الأسفل- ووضحوا أن هناك طفرات تنتشر بشكل فعال. في نهاية المطاف، أتت النتائج بأن النماذج السكانية لهذه الدراسات تنطبق فقط على الكائنات الحية اللاجنسية مثل البكتيريا والميكروبات… [1]

ختامًا -عزيزي القارئ- نستطيع القول بأن الرياضيات أكدت قوة البنى السكانية التي تدعم الانتقاء الطبيعي وتقدم الأوراق الحديثة والسابقة حجة للبنية السكانية كقوة ذات مغزى في التطور.[1]

المصدر:

• quantamagazine

• britannica

• nationalgeographic

ما هي اللانهاية؟ وكيف أسهم جورج كانتور وجاليليو في اللانهايات؟

يكشف تاريخ اللانهاية الستار عن العقل الفضولي للإنسان. كيف فكرنا في هذه الفكرة لآلاف السنين ولسنا قريبين من الإجابة الآن كما كنا منذ آلاف السنين؟ ومع ذلك، ما زلنا مفتونين بفكرة ورمزية اللانهاية.

 لطالما عُومل مفهوم اللانهاية بمزيجٍ من الرهبة والإبهار بل ساوى البعض بينه وبين الألوهية ويرى آخرون أنه مفهوم ليس له قيمة عملية في العالم الحقيقي، بحجة أنه حتى الرياضيات التي تعتمد على ما يبدو على اللانهاية مثل حساب التفاضل والتكامل يمكن جعلها تعمل باللجوء إلى كميات لا تنضب ولكنها محدودة. لم يبد الإغريق القدماء ارتياحًا لهذا المفهوم بل أطلقوا عليه اسم «أبيرون-Apeiron»، الذي يحمل نفس النوع من الدلالات السلبية التي نطبقها الآن على كلمة الفوضى. كان “الأبيرون” مفهومًا خارج نطاق السيطرة، وحشي وخطير.

يحمل رمز اللانهاية معنى عميقًا للروحانية والحب والجمال والقوة، ففي بلاد الهند القديمة والتبت، مثّلت اللانهايةُ الازدواجيةَ والوحدة بين الذكر والأنثى. عندما يتعلق الأمر بالعلاقات الحميمية، لا يتوانى الشعراء والأدباء في وصف شعورهم نحو محبوباتهم بأنه أبديٌ سرمديٌ، بل نحن الأناس العاديون والذي لا يمتلك معظمنا ذائقة أدبية، نود أن نصدق أن الحب بين الرجل والمرأة لا حدود له.  أدى هذا القياس الجميل إلى ظهور هدايا مثل الأساور والأقراط والساعات وغيرها من المجوهرات التي تحمل رمز اللانهاية وغالبًا ما يرتدي الأزواج هذه القطع كتمثيل مادي لروحين مرتبطين بالحب الأبدي. في هذا المقال سنمضي معًا في جولة تاريخية لنعرف المعنى العميق لمفهوم اللانهاية في الرياضيات وكيف تطور هذا المفهوم عبر القرون الماضية وسنتعرف عن إسهامات أرسطو وجاليليو وكانتور في مجال اللانهايات.

سوار زينة على شكل رمز اللانهاية منقوش عليه عبارة ” لربما نلتقي مجددًا”، العبارة المشهورة من مسلسل The 100

ما هي اللا نهاية؟

تعرف اللا نهاية ببساطة بأنها الشيء اللا محدود وغير قابل للعد. نحمل جميعنا فكرة عن ماهية اللا نهاية، فهي صفة للأشياء غير المنتهية، كون لا نهائي، أو قائمة لا نهائية، كمجموعة الأعداد الطبيعية 1، 2، 3، 4، … فمهما استمريت بالعدّ، فلن تصل للنهاية أبدًا، كما أنه من المستحيل أن تصل إلى نهاية الكون حتى لو سافرت بواسطة أسرع مركبة

فضائية، وهذا النوع من اللا نهايات هو ما سمّاه العالم الرياضي الإغريقي «أرسطو-Aristotle» باللانهاية الممكنة: هذه النهاية موجودة فعلًا، لكن من المستحيل أن تصل إليها.   صنّف أرسطو نوعاً آخر من اللانهايات يُسمى باللانهاية الفعلية والتي تصف الأشياء التي باستطاعتنا قياسها، مثلًا قياس درجة حرارة جسم ما في مكان ووقت معين. لم يسبق لأحد الوصول إلى لانهاية فعلية مطلقًا، ويعتقد أرسطو أن اللانهاية الفعلية غير موجودة في العالم المادي، وحتى هذا اليوم لا يعلم الفيزيائيون مدى صحة اعتقاده.

مفهوم أرسطو للا نهاية

لقد تطلب الأمر من أرسطو أن يضع مفهوم اللانهاية بشكل دقيق بحيث لا يكاد أحد يعطيه اعتبارًا مباشرًا مرة أخرى حتى القرن التاسع عشر. كان النهج الذي اتخذه عمليًا بشكل مدهش. قرّر أرسطو أن تكون اللانهاية موجودة، لأنه بدا أن الزمن ليس له بداية ولا نهاية، كما لم يكن من الممكن القول أن أرقام العد لها نهاية على الإطلاق. إذا كان هناك رقم أكبر -أطلق عليه “max”، فما الخطأ في max + 1 أو max + 2؟ ولكن من ناحية أخرى، لا يمكن أن توجد اللانهاية في العالم الحقيقي. وقال إنه إذا كان هناك -على سبيل المثال-جسد مادي غير محدود، فسيكون بلا حدود ومع ذلك، يجب أن يكون للكائن حدودًا.

كان الحل الوسط الذي طوره أرسطو -وهو حل ذكي -هو القول إن اللانهاية موجودة وغير موجودة. وقال إنه بدلاً من أن تكون ملكية حقيقية لأي شيء حقيقي، كان هناك احتمال لانهائي. يمكن أن يكون اللانهاية من حيث المبدأ، ولكن من الناحية العملية لم يكن كذلك. يعطينا أرسطو مثالاً ممتازًا لتوضيح ذلك. الألعاب الأولمبية موجودة -من المستحيل إنكار ذلك. ومع ذلك، فقد كان كائنًا أجنبيًا يظهر (أرسطو لم يتضمن في الواقع كائنًا فضائيًا في مثاله) ويسألنا “أرني هذه الألعاب الأولمبية التي تتحدث عنها”، لم نتمكن من فعل ذلك. في الوقت الحالي هم غير موجودون في الواقع لكنهم موجودون كإمكانات. وجادل أرسطو بأن اللانهاية كانت في نفس الحالة المحتملة تمامًا.

كان هذا الشكل من اللانهاية هو الذي من شأنه أن يفرز حساب التفاضل والتكامل وسيتم تضمينه عمليًا في جميع الاعتبارات الرياضية لللامحدود حتى قام العالم جورج كانتور باكتشافات ثورية في هذا الصدد والتي قادته في نهاية الأمر إلى الجنون. لكن رجلاً واحدًا خالف هذا الاتجاه مبكرًا، وهو العالم جاليليو جاليلي المشهور في مجال علم الفلك.

مفهوم غاليليو غاليلي للانهايات

بعد بدء الإقامة الجبرية في منزل جاليليو في عام 1634، إبان محاكمته بشأن عمله الهرطقي حول حركة الأرض حول الشمس، لم يتوقف جاليليو عن الكتابة. في ذلك الوقت ، أنتج الكتاب الذي يمكن القول إنه أعظم أعماله العلمية ، والذي يعادل كتاب المبادئ الرياضية لنيوتن. ، أطللق جاليليو على كتابه اسم «Discorsi e dimostrationi matematiche» ، والذي احتوى على مفاهيم جديدة أو نقاشات وتوضيحات رياضية تتعلق بعلوم جديدة. واجه جاليليو صعوبة كبيرة في نشر هذا -أوضحت محاكم التفتيش أنه لن يتم نشر أي عمل من قبل هذا المهرطق في أي بلد تحت نفوذها-. عندما تناول الناشر الهولندي العظيم «إلسفير- Elsevier» الكتاب في نهاية المطاف، أعرب جاليليو عن دهشته الكبيرة من أنه نُشر على الإطلاق، وهو ما زعم أنه لم يكن نيته أبدًا.

اتخذ الكتاب شكل محادثة بين عدد من الشخصيات إلى حد كبير حول مسائل خطيرة. لكن بعد التساؤل عما يجعل المادة متماسكة (اعتقد جاليليو أنها جيوب صغيرة من الفراغ بين جسيمات المادة)، فإنهم يتحولون، فقط من أجل المتعة، إلى طبيعة اللانهاية. يبرز جاليليو عددًا من النقاط، ومن بين هذه النقاط واحدة جديرة بالملاحظة بشكل خاص تتضمن دوران زوج من العجلات.

بدأ جاليليو بصنع عجلات ذات جوانب قليلة على سبيل المثال، يمكن أن تكون سداسية. هذه أشكال ثلاثية الأبعاد -تخيل أن الأشكال السداسية مقطوعة من صفائح من الرخام. يُثبت الشكل السداسي الأصغر على الأكبر، ويستند كل واحد منهم على سكة أفقية خاصة به.

الآن نقوم بتدوير العجلة المدمجة بحيث تتحرك إلى جانبها التالي. عندما تقوم العجلة الكبيرة بتدويرها تدور على الزاوية وتتحرك على طول المسار بطول جانب واحد. لكن ماذا حدث للعجلة الأصغر؟ لم تتحرك العجلة الكبيرة بهذه المسافة فحسب، بل تحركت العجلة الصغيرة أيضًا. يجب أن: يتم إصلاحهما معًا. ومع ذلك، عند الدوران بمقدار 1/6 من الدوران، يجب أن يتدحرج الصغير فقط على طول المسار بطول جانبه -مسافة أصغر بكثير، مميزة باللون الأحمر في الرسم التخطيطي. لتحقيق الحركة الإضافية، رُفعت العجلة الأصغر تمامًا عن المسار.

الآن هذا هو الشيء الذكي. تخيل جاليليو زيادة عدد الجوانب. كلما زاد عدد الجوانب، زادت مجموعات الحركات الصغيرة على طول القضيب والقفزات الصغيرة التي تحصل عليها أثناء تدوير العجلات. أخيرًا، دعنا نتخيل، إذا كان من الممكن، أن نأخذ هذا العدد من الأضلاع إلى ما لا نهاية. ننتهي بعجلات دائرية.

مرة أخرى نقوم بتدوير العجلتين، معًا، على طول القضبان الخاصة بهما. مرة أخرى كلاهما يقطعان نفس المسافة -في هذه الحالة ربع محيط العجلة الكبيرة-. لكن الآن حدث شيء غريب عندما دُحرجت حافة العجلة الكبيرة بمقدار ربع محيطها على مسارها، قامت حافة العجلة الأصغر بتدوير محيطها الربع الأصغر فقط، ولكن لا يزال يتعين على العجلة الصغيرة أن تقطع نفس المسافة التي تقطعها العجلة الأكبر، دون أن تترك المسار على الإطلاق. لم تكن هناك قفزات، أو على الأقل هكذا يبدو.

ما تخيله جاليليو هو أنه مع دوران العجلة الأصغر يكون هناك عدد لا حصر له من الفجوات الصغيرة متناهية الصغر، والتي تتراكم لتحدث فرقًا بين محيط العجلة والمسافة التي تتحرك فيها.  ومن هنا دخل مفهوم اللانهاية حيز اللعب في جهاز مادي لجعل ما يبدو مستحيلًا يحدث.

بعد أن ترك جاليليو هذا الأمر يتسلل إلى لاوعيه، فإن شخصية جاليليو التقليدية والقاتمة إلى حد ما، سيمبليسيو، لديها شكوى. يبدو أن ما يقوله جاليليو (أو سالفياتي تقنيًا، الشخصية التي تمثل صوت جاليليو في الكتاب) هو أن هناك عددًا لا حصر له من النقاط في عجلة دائرية واحدة وعدد لا حصر له من النقاط في الأخرى. ولكن بطريقة ما، على الرغم من أن كل منها له نفس اللانهاية من النقاط، إلا أن إحداها تضاف إلى مسافة أكبر من الأخرى. كان أحد اللانهاية هو نفسه الآخر وأكبر.

مفهوم العالم جورج كانتور للانهاية

إن جوهر حساب التفاضل والتكامل هو أنك تتعامل مع أشياء كبيرة بشكل لا نهائي. لكننا لم نضطر أبدًا إلى تحديد اللانهاية نفسها، ولم يكن علينا أبدًا القلق بشأن طبيعة اللانهاية، وذلك لأننا دائمًا ما تتعامل مع نفس النوع من اللانهاية -بالمعنى التقريبي، اللانهاية من النقاط التي تشكل خطًا، اللانهاية للجميع الأرقام الحقيقية بين 0 و1 وكان هذا محور الاهتمام في حساب التفاضل والتكامل من القرن السابع عشر إلى القرن التاسع عشر. لكن علماء الرياضيات لم يفكروا في ماهية اللانهاية، لأنهم لم يفكروا في ماهية المجموعة لسبب واحد. ما هي المجموعة؟ ثم ما هو الفرق بين مجموعة محدودة ومجموعة لانهائية؟ هذا شيء فعله العالم كانتور في أواخر القرن التاسع عشر. طور كانتور فكرة المجموعة، ومفهوم المجموعة اللانهائية، وهي المجموعة التي تحتوي على عدد لا نهائي من الأشياء.

كان الألماني جورج كانتور رائداً في الرياضيات وتحديدًا في في مجال أصبح يُعرف باسم نظرية المجموعات. وفقًا لنظرية المجموعات، فإن الأعداد الصحيحة، وهي أرقام بدون كسر أو فواصل عشرية (مثل 1، 5، -4)، تشكل مجموعة لا نهائية قابلة للعد. من ناحية أخرى، فإن الأعداد الحقيقية، والتي تشمل الأعداد الصحيحة والكسور وما يسمى بالأرقام غير النسبية، مثل الجذر التربيعي للعدد 2، هي جزء من مجموعة لا نهائية غير قابلة للعد. دفع هذا كانتور للتساؤل عن الأنواع المختلفة من اللانهاية. اعتقد كانتور أنه لا توجد نهايات بين مجموعات الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية، لكنه لم يكن قادرًا على إثبات ذلك. ومع ذلك، أصبح بيانه معروفًا باسم فرضية الاستمرارية، وصُنّف علماء الرياضيات الذين عالجوا المشكلة على خطى كانتور بمنظري المجموعات

اللانهايات المعدودة والغير معدودة

ذكرنا مسبقًا أن اللانهائيات الممكنة تصف الأشياء غير المحدودة، ومن أمثلتها مجموعة الأعداد الطبيعية لكن الآن تخيل خط مستقيم طويل غير محدود. يبدأ هذا الخط من النقطة التي تقع أمامك مباشرة ويمتد إلى المالانهاية، هل اللانهاية التي يمثلها هذا الخط هي نفسها اللانهاية التي تمثلها مجموعة الأعداد الطبيعية؟

صنّف علماء الرياضيات اللانهاية الممكنة إلى لانهايات معدودة ولانهايات غير معدودة. تُمثل الأعداد الطبيعية لانهاية معدودة، وهذا منطقي لأنه باستطاعتك مواصلة العد إذا كان لديك وقت لانهائي، كما هو الحال بالنسبة لمجموعة لا نهائية من الأشخاص، بإمكانك إدراجهم في قائمة تحمل جميع اسماءهم، وكل اسم يشغل خانته الخاصة ومن ثم عدهم إذا كان لديك وقت لا نهائي أيضًا. بصورةٍ عامة يمكننا القول أنّ أيّ مجموعة غير محدودة من العناصر تمثل لانهاية معدودة إذا كان باستطاعتك إدراج تلك العناصر في قائمة، وكل عنصر لديه مكان خاص في هذه القائمة وكل مكان في القائمة يتسع لعنصر واحد فقط.  

تخيل الآن أن لدينا خط مستقيم لانهائي، أي أنه يتكون من عدد من العناصر اللانهائية أيضًا، وفي هذه الحالة تُسمى تلك العناصر نقاطاً على الخط، إذا وضعنا على الخط مسطرة طويلة لانهائية، فإن كل نقطة على الخط يمثلها عدد على المسطرة، النقطة الأولى على الخط تقع على العدد 0، النقطة التي تبعد نصف متر عن البداية تقع على العدد 0.5، وهكذا. يطلق على المجموعة العددية التي تمثلها المسطرة اسم مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة وهي تشمل الاعداد الطبيعية والكسور والأرقام النسبية. هل يمكنك وضع قائمة لهذه الأعداد لكي ترى إذا كانت تمثل لانهاية معدودة أيضًا؟ ربما بإمكانك ترتيب هذه الأعداد عن طريق الحجم، لكن ستزيد هذه الطريقة من صعوبة المسألة. وبالتأكيد العدد الأول سيكون 0، لكن ماذا يجب أن يكون العدد الذي يليه؟ ربما 0.1؟ لكن 0.01 أصغر منه ويجب أن يأتي قبل 0.1. لكن ماذا عن 0.001؟ لكل عدد تظن أنه من الممكن أن يحل المرتبة الثانية في القائمة سوف تجد عدد أصغر منه (ببساطة تضيف صفرًا بعد الفاصلة)، فلذلك ترتيب هذه الأعداد على المسطرة بواسطة الحجم غير مجدي.   هل من الممكن إيجاد طريقة أخرى لإدراج الأعداد في قائمة؟ الإجابة هي لا يمكن ذلك، وهناك سبب منطقي ومباشر لهذه المسألة وينص على أنه في أي قائمة لأعداد حقيقية موجبة هناك على الأقل عدد واحد مفقود، وبالتالي لا يمكنك كتابة قائمة كاملة أبدًا، وهذا يثبت أن اللانهاية الممثلة عن طريق الخط المستقيم (أو الأعداد الحقيقية الموجبة) هي لانهاية غير معدودة.

المصادر

firstscience
livescience
plus.maths
gyllenwatches
britannica
pbs.org

إن إعداد الجيل القادم للمستقبل يحتاج إلى فهم ثغرات سوق العمل. وأجهزة الحاسوب والذكاء الاصطناعي لا تستطيع الوصول إلى المهارات البشرية، حيث المكان المناسب للإبداع. فبات لا يمكن التقليل من أهمية الإبداع في عالم أصبح رقميًا، فالمنافسة أصبحت على أشدها. لاسيما بعد أن أشار المنتدى الاقتصادي العالمي-2020 أن الإبداع لا يقل أهمية عن الذكاء الاصطناعي في وظائف المستقبل. لكن غالبًا ما يرتبط الإبداع بالفنون والأعمال الأدبية، فما محل العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات من الإبداع؟ وأيهما أكثر إبداعًا: الفنون أم العلوم؟

إلى أي مدى أصبح الإبداع عاملاً هامًا فى النجاح الوظيفي؟

تأتي الدعوة للاهتمام بتدريس المواد في جميع التخصصات بشكل مختلف ينطوي على مفاتيح الإبداع في الوقت الذي يظهر فيه بحث جديد يؤكد أن الإبداع أصبح كفاءة أساسية في جميع التخصصات أكثر من أي وقت مضى، فقد أصبح عاملاً حاسمًا لضمان النجاح الوظيفي في المستقبل.

على الموسيقي صاحب الرؤية الفريدة أن يكافح من أجل تأليف لحن جديد بإيقاع جميل على النفوس، فلا سبيل له إذَا إلا الإبداع. وعلى المهندس الذكي أن يحل مشكلة وجود قنوات المياه والمرافق الاخرى بينما يضع دائرة كهربية، فلن يجد بغير الإبداع حلاً لها.

إذا اعتقدت أن أدوات ومعايير الإبداع مختلفة في هاتين المشكلتين، فأنت مُخطئ! على الرغم من أن للموسيقي أوتاره وأدواته وللمهندس أدواته، إلا أن أساليب الإبداع متشابهة للغاية. فلا يحتاج أي منهما سوى الانفتاح على الأفكار الجديدة، وتوظيف التفكير المتشعب، واعتماد المرونة والحياد عن الطرق التقليدية.

دراسة جديدة ستغير طرق التعليم

كثيرّا ما ارتبط مصطلح الإبداع في أذهان الطلاب بالفنون والآداب فقط. ظنًا منهم أن مجالات العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات مجالات صماء، تخضع للقوانين فقط لا مجال للإبداع فيها.

حتى صدور هذه الدراسة، لم نكن نعلم ما إذا كان الإبداع في العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات هو نفسه الإبداع في كل شئ، أو إذا ما كان هناك شيء فريد حول الإبداع في تلك المجالات.

تعاون الباحث «ديڨيد كروبلي-David Cropely» من جامعة جنوب استراليا، والباحث «كيم فان برويكهوفن-Kim Van Broekhoven» من جامعة ماستريخت، في دراسة للتحقيق في وجود اختلافات بين الإبداع في العلوم والإبداع في الفنون. أجريت الدراسة على 2277 طالبًا تتراوح أعمارهم بين 17 و 37 عامّا، بينهم 2147 طالبًا مُسجلين بمساقات العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات، و130 طالبًا مسجلين بالمساقات الأدبية والفنون.

مرت الدراسة بثلاث خطوات:

الخطوة الأولى: اختبرت الكفاءة الذاتية الإبداعية للطلاب، وثقتهم في قدراتهم الإبداعية. فقد طُلب من  الطلاب التفاعل بالموافقة أو عدم الموافقة مع عبارات مثل: “أنا جيد في ابتكار أفكار جديدة” و “لدي خيال جيد”، وغيرها.

المرحلة الثانية: اختبرت تفكيرهم المتباين، فقد طُلب منهم تكوين أكبر عدد من الأفكار لمشكلة محددة، مثل تحسين استخدام القطارات العامة.

وفي المرحلة الثالثة والأخيرة: طُلب منهم أن يسجلوا حلولاً معينة بمعايير معينة لمشكلات في جميع المجالات. وقد حدد الباحثون حدًا أدنى من الاختلافات والفروق بين أداء طلاب الفنون وطلاب العلوم.

فالإبداع هو كفاءة متعددة الأوجه، تتضمن مواقف وتصرفات ورؤى ومهارات ومعارف متشابهة. كما يعَرَّف الإبداع أنه الميل إلى توليد أفكار وبدائل واحتمالات لحل مشكلة والتواصل مع الآخرين. ولكي تميل لأن تكون مبدعًا، يجب أن تكون قادرًا على رؤية الأشياء بعين جديدة، أو من منظورٍ مختلف. كما يجب أن تكون قادرّا على توليد أفكارٍ جديدة. وعلى الرغم من ذلك، فلا تقيس اختبارات الإبداع عدد البدائل التى يمكن إيجادها فحسب. بل تقيس أيضّا مدى تفرد تلك البدائل؛ فالقدرة على توليد البدائل الصالحة أو حتى رؤية الأشياء بشكل مختلف لا يحدث عن طريق التغيير فقط. فهو مرتبط بصفاتٍ أُخرى أكثر جوهرية في التفكير، مثل المرونة والغموض والقدرة على التنبؤ، فالإبداع ليس عملاً سهلاً.

الفائدة

قد ساعدت تلك الدراسة على تقديم نظرةً ثاقبةً حول كيفية تقييم أنظمة التعليم للقدرات الإبداعية. بالإضافة إلى إمكانية إتباع المعلمين نهج شامل لتدريس الإبداع، ودمجه في المناهج واعتماده مبدءًا هامًا في جودة الأنشطة التعليمية، بشكل أكثر عمومية وشمولية أيًا كان مجال الدراسة، مبتعدين عن النهج التقليدى في تناول المحتوى الدراسي.

وأخيرًا، يجب على الطلاب في القرن الحادي والعشرين أن يكونوا أكثر انفتاحًا على التنوع المذهل للإمكانات المتاحة لهم في التعليم؛ تلبيةً لمتطلبات وظائف العصر، فلا يمكن الآن أن نتساءل أيهما أكثر إبداعًا: الفنون أم العلوم؟ فلقد أصبح لكل طالب فرصته لخلق مساره الفريد الخاص به، لإن الإبداع هو الأساس المتين لضمان الازدهار وعدم النجاح فحسب.

المصادر:

csun
sciencedaily
weforum

أشهر خمس خرافات حول مادة الرياضيات

مادة الرياضيات مثل باقي المواد الدراسية الأخرى، تحتاج إلى جهد ووقت لتعلمها، صحيح أن هناك أشخاص يجدون الرياضيات صعبة الفهم مقارنة بغيرهم، لكن هؤلاء يحتاج فقط إلى جهد ومثابرة أكثر؛ لاستيعاب الرياضيات، وليس الاعتقاد بأن الرياضيات شيء مستحيل الفهم والاستيعاب لديهم، أو الإيمان بخرافات تؤثرسلباً في المتعلم، ترى ما هي أشهر الخرافات حول مادة الرياضيات؟

1ـ جين الرياضيات

فكرة وجود جين وراثي يميز الطالب المتفوق في مادة الرياضيات عن أقرانه، فكرة لا تدعمها الأبحاث العلمية بصورة دامغة، وإن كان البعض يرى بوجود أثر للوراثة في النبوغ في مادة الرياضيات لكنه يقر بأن هذا الأثر الوراثي ضعيف، صحيح بأننا نجد أطفال في المراحل الدراسية الأولى  ظهرت لديهم قدرات وفهم للرياضيات بسرعة عن أقرانهم، ولكن يعزى هذا إلى الخبرات والتجارب التي تعرض لها الطفل خارج المدرسة، فالطفل الذي حصل على هذه التجارب والخبرات من خلال الألعاب واحتكاكه المباشر مع البالغين حول الرياضيات، من المؤكد أنه سيفهم الرياضيات بسرعة أكبر مقارنة بأقرانه.

خرافة جين الرياضيات، خرافة ذات تأثير سلبي على أطفالنا، تدفعه إلى الاستسلام، وأنه لا يستطيع فهم الرياضيات؛ لأن عقله جينياً غير مهيأ لهذا، والمفترض أن نحث أبناءنا على الدراسة وبذل الجهد بغية التفوق.

2ـ الأولاد أفضل من البنات في الرياضيات من الناحية الجينية

صحيح أن هناك نسبة كبيرة من البنات غير محبة لمادة الرياضيات، ولكن هذا الأمر ليس بسبب الجينات، بل لأسباب أخرى ، لعل أهمها

أ ـ طريقة تدريس مادة الرياضيات التقليدية، فالفتيات في بداية المراحل الدراسية تميل عادة إلى معرفة السبب، بدلاً من حفظ الحقائق، وهذا الميل يصطدم مع طريقة التدريس التقليدية.
ب ـ تتأثر الفتيات بنظرة المجمتع السلبية نحو الرياضيات بصورة أكبر، فتستسلم لتلك التلميحات الخفية التي تخرج من نساء تعتبرهن قدوة لهن، مثل الأم أو المعلمة.

عدم حب المعلمات لمادة الرياضيات، وخاصة في المرحلة الابتدائية يسبب في نقل رسائل خفية إلى الطالبات تؤثر سلباً على رغبتهم في حب تعلم مادة الرياضيات.

3ـ الرياضيون يحلون المسائل بسرعة وبدون خطأ

عندما تحل مسائل جديدة في الرياضيات، فأنت بحاجة إلى وقت، كما أنك معرض لأن تقع في الخطأ، هذأ أمر طبيعي وبديهي، وهذا ما يفعله الشخص المحب للرياضيات، لكن ما يميزه هو قدرته على تحليل المسائل الرياضية، واستعداده لتجربة أفكار جديدة، وقدرته على المثابرة وعدم الاستسلام للإخفاقات التي ستحدث في طريقه للنجاح.

4ـ السرعة هي مقياس القدرة في الرياضيات

تستخدم الاختبارات المحددة بوقت معين كمحاولة لتحفيز الطلاب على التعلم، ولكن هذا النوع من الاختبارات يصيب الطالب بالقلق والتوتر الذي قد يلازمه بقية حياته، ولكن من الأفضل أن تتيح للطالب فرصة للتفكير وتحليل المشكلة الرياضية، فعندما يندفع الطالب في الصف الدراسي للإجابة عن سؤال في الرياضيات، لا يحبذ للمعلم أن يخبره هل حله صواب أم خطأ مباشرة، بل يناقشه كيف توصل للإجابة أولاً.

5ـ الذاكرة القوية مفتاح تفوقك في مادة الرياضيات

صحيح توجد بعض الحقائق الحسابية التي يحبذ حفظها في مادة الرياضيات، لكن الذاكرة القوية وحدها لا تضمن لك التفوق في مادة الرياضيات، بل أن هناك علماء رياضيات اعترفوا بأنهم واجهوا صعوبات في حفظ حقائق الرياضيات.

الاعتماد على الحفظ دون الفهم، يضعف القدرة على التحليل وحل المشكلات، وقد يكون هذا السبب الرئيس في فشل الطالب في حل المسائل الرياضية الحياتية.

لعل الإجابة عن سؤال ما هي أشهر الخرافات حول مادة الرياضيات؟ يحتاج إلى استفاضة أكثر، لكن هذه أكثر الخرافات، وأتوقع لو نجح المجتمع في القضاء عليها، سيحدث تغيراً كبيراً في نظرته نحو الرياضيات.

المصادر

1ـ Mathplusacademy
2ـ Quickanddirtytips
3ـ Forbes

الرياضيات هي اللغة التي تقوم بشرح عالمنا الفيزيائي، توصف أحياناً بأنها البرق الذي يعقبه الرعد المتمثل بالاختراعات والابتكارات التكنولوجية، حيث أنها تخدم وتساهم بتطوير جميع المجالات. يطرح البعض تساؤل هل هناك تشابه بين الجمال الرياضياتي والجمال في الأعمال الفنية؟

الجمال مفهوم غامض، يصعب تحديده وتوصيفه بدقة، كما أنه يأتي على هيئات مختلفة، فقد يتجلى في وجه حسن الملامح، أو منظر طبيعي خلاب، أو مقطوعة موسيقية آسرة، وقد يأتي من تجارب حسية مختلفة، وقد يأتي من مصادر على مستوى عال من الفكر مثل الرياضيات.

تنشط المناطق الموجودة في دماغ الأشخاص الذين يقدرون جمال الرياضيات ومعادلاتها، مثلما تنشط هذه المناطق لدى الأشخاص الذين يستمتعون بالفن والموسيقى، وهذا بالطبع يشير إلا أن هناك أساساً عصبياً واحداً.

تجربة على علماء الرياضيات

وفي تجربة عملية قام بها البروفيسور سمير ذكي بجامعة UCL  مستخدماً تصوير الرنين المغناطيسي الوظيفي؛ لتصوير النشاط الدماغي عند 15 عالماً في الرياضيات في أثناء مشاهدتهم لمعادلات رياضية كانوا قد صنفوها مسبقاً على أنها جميلة أو قبيحة.

أظهرت نتائج التجربة بأن المناطق التي حفزت عند رؤية المعادلات، تتداخل مع المنطقة المسئولة عن المشاعر في الدماغ، بنفس الطريقة التي تحدث عند رؤية جمال يتعلق بالفن والموسيقى.

وقد صنف علماء الرياضيات المشتركين في هذه التجربة متطابقة أويلر ومبرهنة فيثاغورث ومعادلات كوشي ريمان على أنها معادلات جميلة بينما صنفت سلسلة رامانجون وتابع أويلر زيتا على أنها معادلات قبيحة.

هل يجب أن تكون عالم رياضيات لتشعر بجمالها؟

في دراسة أجرتها جامعتا ييلYale وباثBath ونشرت في مجلة علوم الإدراك، ركزت الدراسة حول تساؤل هل هناك تشابه بين الجمال الرياضياتي والجمال في الأعمال الفنية؟، وهل هذا الأمر ينطبق على عالم الرياضيات فقط؟ أم من الممكن أن ينطبق على الشخص العادي؟، واختار القائمون على الدراسة أربعة براهين رياضية، هي مجموع سلسلة هندسية غير منتهية، ومجموع جاوس للأعداد الصحيحة، ومبدأ بيجيونهول Pigeonhole، والبرهان الهندسي لصيغ فاولهابير.

واختاروا أيضاً أربع مقطوعات موسيقية وأربع لوحات مناظر طبيعية عالمية، وكانت العينة التي خضعت للدراسة لا تحتوي على أي عالم رياضيات، لكنهم لا يكرهون الرياضيات، وأظهرت النتائج إجماع على تقدير الجمال سواء من مقطوعة موسيقية أو لوحة فنية أو برهان رياضي، وعلى الرغم من أن الدراسة كانت محدودة بحيث يصعب تعميمها على الرياضيات والموسيقى والفنون عموماً، لكنها أعطت مؤشر مهم حول وجود الجمال الرياضياتي حتى لو لم يمكن الشخص عالماً متخصصاً في الرياضيات.

ما الفرق بين الجمالين؟

على الرغم من أن الأبحاث تؤكد على تطابق الخصائص العصبية بين الجمال الرياضياتي والجمال من مصادر أخرى كالموسيقى واللوحات الفنية، فلا تزال هناك بعض الاختلافات، فنحن لسنا بحاجة لفهم السلم الموسيقى لاستشعار الجمال في مقطوعة موسيقية، لكننا بحاجة إلى فهم أساسيات الرياضيات لنستشعر الجمال الرياضياتي، وإن ظهرت بعض الدلائل التي تناقض هذا القول، فبعض الرياضيين صنفوا بعض الصيغ والمعادلات على أنها قبيحة بالرغم من فهمهم لها، ووصف بعض الأشخاص صيغ رياضية بأنها جميلة بالرغم من عدم فهمهم لها.

المصادر:

1ـ sciencedaily
2ـ maths
3ـ sciencedaily

أوتمار هيتسفيلد لاعب كرة قدم ألماني سابق، اعتزل اللعب و اشتغل مدرباً لعدة نوادي رياضية، وذيع صيته كأحد أفضل المدربين في العالم، صرح في عام 2007 بأنه يتمنى أن يعلم اللاعبين أساسيات  الرياضيات في كرة القدم  للرفع من كفاءتهم في الملعب، قد يجد البعض بأن هذا التصريح غريب، لكن الحقيقة تصريحه ينم عن فهم ما علاقة الرياضيات بكرة القدم؟

تعتمد مباراة كرة القدم في ثلثيها على الحظ والعشوائية، بينما الثلث الأخير يعتمد على المهارة، وفي المتوسط سيتم تسجيل 3 أهداف في كل مبارة، أحد هذه الأهداف للفريق الأفضل، بينما الهدفان الآخران ينقسمان بين الفريقين، ولمعرفة الفريق الأفضل عليك أن تنظر إلى شبكة التمريرات التي يصنعها اللاعبون، وكيفية تزامن خط الدفاع، ولكل هذه الأمور جانب رياضي جدير بالاهتمام.

الملعب

من الطريف أنه لليوم لم ينجح مجلس الاتحاد الدولي لكرة القدم في توحيد أبعاد ملعب كرة القدم تحديداً دقيقاً، لكن هناك شروط لابد وأن تنفذ في تصميم الملعب، فمبدأ التناظر لابد وأن يتحقق بمعنى أن يكون نصف الملعب يطابق النصف الآخر؛ لتحقيق العدالة لجميع اللاعبين، وكذلك يحتوي الملعب على أشكال هندسية ترمز إلى مناطق مهمة في الملعب، كخط التماس ومنطقة الجزاء ومنطقة المرمى وخط منتصف الملعب.

الكرة

تتشكل كرة القدم من تجمع 32 رقعة، 20 منها سداسية الأضلاع، و12 منها خماسية الأضلاع، كما أن أضلاع هذه الرقع متساوية الأطوال، تلتحم هذه الرقع لتكون شكلاً كروياً ذو حواف ملساء، ويقدر محيط الكرة بـ 27-28 بوصة.

اللاعبون

لاعب كرة القدم الجيد على دراية بالزوايا، فعندما يكون في حالة هجوم، يستخدم زوايا أعرض للتمرير، بدلاً من توجيه الكرة بشكل مستقيم، فهذا يؤدي إلى تقليص احتمالات إعاقة الكرة من قبل الفريق الخصم، كذلك الأمر بالنسبة لحارس المرمى، فمكان وقوفه لصد الكرة يعتمد على معلوماته عن الزوايا، وفي علم الرياضيات الهدف المثالي يكون على بعد ثلاث أمتار من منتصف المرمى وبارتفاع متر ونصف، في الزاوية العليا اليسرى أو اليمنى.

الحكام

يستخدم الحكم نظام التحكم القطري بحيث يساعده على تغطية رؤية الملعب بأفضل شكل ممكن مع تحرك المساعدين بشكل عكسي لـخطوط رؤية الحكم الرئيسي، هذا التشكيل الهندسي هو الأكثر كفاءة لتغطية الملعب.

القُرعة

يتم تحديد الفريق الذي يلعب ركلة البداية في مباراة كرة القدم عن طريق القرعة باستخدام عملة معدنية، يعتقد الكثير بأن القرعة باستخدام هذه الطريقة تحقق العدالة الكاملة بين الفريقين، لكن الحقيقة بأن الوجه الأعلى للعملة يكون احتمال اختياره 51% مقابل 49% للوجه الآخر، يرجع هذا الاختلاف الطفيف إلى أن وجهي العملة ليسا متطابقين، بالطبع هذا الفارق صغير ولا يلتفت إليه.

شبكة التمريرات

علم الرياضيات والهندسة هو العامل الرئيس في تكوين شبكات التمرير، فيمكننا أن ننظر لطريقة تمرير لاعبي الفريق لبعضهم البعض، والحصول على فهم جيد لكيفية استخدام المساحات، وهل يقومون باستخدامها الاستخدام الأمثل؟، وهل يمكنهم موازنة الهجمات أسفل الجناحين الأيسر والأيمن؟.

وكما هو موضح في الصورة، كيف يتحرك لاعبو فريق برشلونة، على شكل مثلثات بصورة مبهرة، تعلم فريق برشلونة هذه الأمور بالممارسة الفعلية على مدار السنوات، لكن ماذا لو صقل هذه المهارة بدراسة قواعدها الموجودة في الرياضيات.

عالم رياضيات محلل رياضي

ديفيد سمبتر أستاذ الرياضيات التطبيقية في جامعة أوبسالا في السويد، أراد شرح بعض المسائل الرياضية باستخدام كرة القدم، لكن بعد الدراسة وجد الكثير من الطرق التي يمكنها توضيح الفهم التكتيكي لكرة القدم باستخدام الرياضيات، وقد قام بنشر ذلك في كتابه “سوكِرماتيكس – Soccermatics: مغامرة رياضية في اللعبة الجميلة”.

ما علاقة الرياضيات بكرة القدم؟ ، كرة القدم ليست فرعاً من فروع الرياضيات، فهي فن للمتعة، لكن إدخال علم الرياضيات في تحليل كرة القدم يعطي نظرة أشمل وأعمق لتقديم مستوى أداء أفضل للاعبين، وفهم أكبر لأساليب تدريبهم، وهذا أمر فائدته تعود على الجميع بما في ذلك جمهور المشاهدين.

المصادر

1ـ sciencenews
2ـ the42
3ـ wikipedia

في عام 1904 طرح العالم الفرنسي هنري بوانكاريه حدسيته في الطوبولوجي، ظلت هذه الحدسية عصية على البرهان قرابة قرن من الزمان، حتى عام 2002 نجح عالم الرياضيات الروسي جريجوري بيرلمان من حلها.

سطع نجم بيرلمان وتهافتت عليه الجوائز العالمية، ولكنه فاجأ الجميع برفضه كل الجوائز، رفضاً قاطعاً على الرغم من حياته المعيشية المتواضعة، ليتساءل الجميع، لماذا رفض بيرلمان تسلم الجوائز العالمية في الرياضيات؟

من هو بيرلمان؟

ولد في 13 يونيو 1966 لعائلة يهودية بسانت بطرسبرج بروسيا، وكان والده مهندسأً كهربائياً، وأمه مدرسة رياضيات، كما أن له أخت صغرى تشتغل في الرياضيات أيضاً.

في الرابعة عشرة من عمره كان هو الألمع بين زملائه في حل المسائل الرياضية، حيث حصل على إعجاب رئيس مركز سان بطرسبرج لرعاية الموهوبين في الرياضيات، وبعد عامين حصل على المركز الأول في أولمبياد الرياضيات الدولي في بودابست بالمجر.

دخل بيرلمان جامعة سان بطرسبرج في السادسة عشرة من عمره، ونال شهادة الدكتوراه في الهندسة الإقليدية في نهاية الثمانينات، عمل في بداية التسعينات في معهد ستيكلوف في سان بطرسبرج، ونظراً للظروف الاقتصادية الصعبة في روسيا آنذاك انتقل إلى الولايات المتحدة.

عمل كأستاذ زائر في جامعات نيويورك، وأتاحت له فترة بقائه في الولايات المتحدة التواصل مع أعظم علماء الرياضيات في عصره، ومناقشتهم حول حدسية بوانكاريه، وبالأخص ويليام ثورستون، الذي عرض بيرلمان عليه بعض أبحاثه التي سينشرها مستقبلاً حول هذه الحدسية.

نجاحه في حل الحدسية وتصرفه الغريب

قام بيرلمان بإثبات حدسية بوانكاريه بعد بحث ودراسة بمفرده ولمدة 7 أعوام، نجح بعدها في حل الحدسية.

الغريب أنه نشر الإثبات في موقع متواضع لنشر المسودات الإلكترونية للأبحاث، وليس في أحد الدوريات العلمية المشهورة، وصفه البعض بالجنون على هذا التصرف، فإثبات معضلة ظلت عصيّة على علماء الرياضيات حوالي قرن من الزمن لا يُنشر في هذا المكان.

لماذا لم ينشر بيرلمان بحثه في أحد الدوريات المشهورة؟

ببساطة لأنه لا يبحث عن الشهرة، هو عكف على حل الحدسية؛ لأنه رغب في هذا، ونشرها في مكان يسهل الوصول له، لمن أراد الاطلاع عليه، قد يشعر البعض بالغرابة من هذا التصرف لكن الأغرب ما حدث بعد ذلك.

ميدالية فيلدز

من الطبيعي أن يمنح بيرلمان ميدالية فيلدز، والتي تعادل جائزة نوبل في الرياضيات، وتعتبر أعلى وسام يحلم به أي شخص يعمل في مجال الرياضيات، ولكن مع بيرلمان الأمر مختلف، فقد رفض استلام الميدالية، على الرغم من سفر جون بول رئيس الاتحاد الدولي للرياضيات إليه، ومحاولة إقناعه ولكنه فشل.

وفي 22 أغسطس 2006 في المؤتمر الدولي للرياضيات بمدريد تم الإعلان عن فوز بيرلمان بميدالية فيلدز، بحضور ملك إسبانيا وعدم حضور بيرلمان، وهو أمر لم يحدث في تاريخ الجائزة.

جائزة مسائل الألفية

حدسية بوانكاريه كانت إحدى مسائل الألفية السبع، التي رصد معهد كلاي للرياضيات جائزة مالية مقدارها مليون دولار لمن ينجح في حل واحدة من هذه المسائل، وقد تقرر في عام 2010 منح ليبرلمان هذه الجائزة المالية.

لكن رفض الجائزة معللاً رفضه بأنه لابد أن يكون لعالم الرياضيات ريتشارد هاميلتون نصيب من هذه الجائزة، فأبحاث هاميلتون كانت نقطة الانطلاق لبيرلمان لحل الحدسية.

لماذا رفض بيرلمان تسلم الجوائز العالمية في الرياضيات؟

عالم الرياضيات الروسي جريجوري بيرلمان، دليل ملموس على أن هناك علماء زاهدين في كل شيء سوى العلم، ولا تلتفت أبداً إلى الشهرة أو المال،عُرضت عليه الكثير من الجوائز والوظائف المرموقة ذات العائد المالي الكبير، لكنه رفض وفضل العودة إلى مؤسسته الأم، معهد ستيكلوف، حيث عاد إلى منزله ليعيش مع أمه في شقته المتواضعة بعد رحيل والده.

المصادر
1ـ Notablebiographies
2ـ Wikiwand
3ـ Claymath

تعد فكرة الصفر كعدد فكرة ثورية في عالم الرياضيات، فينظر له الكثير من العلماء على أنه أحد أكبر الابتكارات في تاريخ البشرية، فهو حجر الأساس في الرياضيات والفيزياء الحديثة وعلوم الحاسوب، فلا عجب أن نجد مؤسسة تدعى مشروع الصفر مقرها هولندا، هدفها البحث عن أصول العدد صفر، و ما هو تاريخ الصفر ومن اكتشفه؟

هناك فرق بين مفهوم الصفر بمعنى العدم والصفر كمفهوم رياضي، فالأول يمكن حتى لبعض الحيوانات أن تدركه، أما الثاني فاحتاج وقت كبير نسبياً من الحضارة الإنسانية لاستيعابه.
بدأت إشارات للصفر الرياضي مع السومريين، حيث استخدموا مساحة فارغة للإشارة إلى قيمة لا شيء، ثم استخدموا زوج من أوتاد الزوايا كعنصر نائب للمساحة الفارغة، ويشير هذا الزوج إلى عدم وجود رقم، وليس رقماً في حد ذاته.

انتقل النظام العددي السومري عبر الإمبراطورية الأكادية إلى البابليين من حوالي 300 قبل الميلاد، حيث نجد آثاراً بابلية تشير إلى الصفر بمساحة فارغة أو وتدين بزاوية، وفي حضارة المايا ظهرت إشارات إلى الصفر وعبروا عنه برمز القذيفة لكنهم لم يستخدموه في المعادلات، برغم مهاراتهم الجيدة في مجال الرياضيات.

الصفر في الهند

يرى البعض بأن مفهوم الصفر انتقل من البابليين إلى الهند، لكن هناك من يرى بأن مفهوم الصفر نشأ في الهند بشكل مستقل دون تأثر بحضارة أخرى، وقد ساهمت العوامل الفلسفية والثقافية التي وجدت في الهند على تطوير الصفر كمفهوم رياضي، وليومنا هذا تحتفل الهند بيوم الصفر وتعتبره جزءاً من هويتها، حيث من المفترض أن يعرف المواطن، ما هو تاريخ الصفر ومن اكتشفه؟

مخطوطة بخشالي

عندما قام مزارع بالحفر في حقله في قرية بخشالي، بالقرب من بيشاور بجمهورية باكستان، اكتشف مخطوطة تتألف من 70 ورقة من لحاء البتولا، وتحتوي على مئات الأصفار على شكل نقاط، ويرجح أن تكون كتبت بين القرنين الثامن والثاني عشر، فعلى ما يبدو أن هذه المخطوطة كتبت في ثلاث حقب من الزمن المختلفة، وينظر لهذه المخطوطة على انها تمثل أول استخدام لرمز الصفر.

براهماغوبتا

جدير بالذكر بأن عالم الفلك والرياضيات الهندوسي براهماغوبتا تحدث في عام 628 عن الصفر كمفهوم رياضي، وطور معادلات رياضية باستخدام الصفر، وكتب قواعد للوصول إلى الصفر من خلال الجمع والطرح ونتائج استخدام الصفر في المعادلات، لكن لم يدعي براهماغوبتا في كتبه اختراع الصفر، مما يرجح أنه كان موجوداً من قبل.

الصفر عند العرب

مع تطور الصفر في الهند كعدد ، انتقل منها إلى بغداد حيث أصبح جزء من نظام الأرقام العربية، وأدخل عالم الرياضيات الفارسي محمد بن موسى الخوارزمي الصفر إلى الأعداد الطبيعية واستخدم للتعبير عنه رمز الدائرة، وكان الصفر بالغ الأهمية للخوارزمي حيث استخدمه لاحقاً لاختراع الجبر.

الصفر في أوروبا

وجد الصفر طريقة إلى أوروبا مع الفتح الإسلامي لإسبانيا، غير أن رجال الدين في هذه الحقبة لم يؤيدوا استخدام الصفر، ورأوه فكرة شيطانية، وقامت الحكومة الإيطالية بحظر استخدام الصفر، لأنه في زعمهم يؤدي إلى الغش والتدليس فيمكن تحول الصفر إلى رقم تسعة، ولكن استمر التجار في استخدامه بشكل سري، وبحلول عام 1600 استخدم الصفر على نطاق واسع في جميع أنحاء أوروبا.
ولحسن الحظ بالنسبة للرياضيات لم يدم التحريم، فبدونه لن يقدر نيوتن ولايبنتز التوصل إلى حساب التفاضل والتكامل، ولن يستطع ديكارت التوصل إلى كيفية رسم النقاط.

المصادر:

1ـ Livescience

2ـ Nationalgeographic

3ـ Sciencefriday

العدد التخيلي هو الجذر التربيعي لسالب واحد (1-)، أما العدد الذي على الصورة a+bi حيث a و b أعداد حقيقية وi عدد تخيلي، فيسمى عدداً مركباً أو عدداً عقدياً، تعتبر الأعداد التخيلية من أكثر المفاهيم صعوبة للفهم لدي الكثير، على الرغم من أهميتها الكبيرة في عالمنا المعاصر، وكم من شخص سيصدم لو سألته ما أهمية الأعداد التخيلية؟ .

نبذة تاريخية عن الأعداد التخيلية

من الطريف أن بداية ظهور الأعداد التخيلية ليست مع محاولات إيجاد حلول للدالة التربيعية، بل عند حل معادلات من الدرجة الثالثة، بدأ هذا الأمر للعلن مع عالم الرياضيات والطبيب الإيطالي جيرولامو كاردانو، وفي عام 1637 جاء العالم الفرنسي الملقب بأبو الفلسفة الحديثة رينيه ريكارد بصيغة نموذجية للعدد التخيلي، وفي عام 1777 قام العالم السويسري ليونهارت أويلر بوضع رمز للعدد التخيلي i، حتى جاء العالم الأيرلندي ويليام هاملتون فقام بتطوير الأعداد المركبة تطويرا هائلا.

أين توجد الأعداد التخيلية في الحقيقة؟

يجد الكثير من الغير الرياضيين صعوبة في تقبل أن الأعداد التخيلية لها قيمة وفائدة في حياتنا، على عكس الأعداد الحقيقية فهي عندهم لها معنى وفائدة واضحة، يرجع ذلك في الأساس لاسم هذه الأعداد، فوصفها بالتخليلية يعني بالنسبة لهم أنها لا علاقة لها بالواقع، ولكن الحقيقة أن التطبيقات الحياتية للأعداد التخيلية كثيرة جداً، فيندر أن يخلو علم من وجودها فيه، بل إن بعض العلوم قامت على وجودها مثل علم فيزياء الكم.

الأعداد التخيلية لا توجد في الطبيعة، ولا غرابة في هذا فالأعداد السالبة لا توجد في الطبيعة أيضاً، فمن منا رأي عدداً سالباً، فعندما نقول أن بائعاً خسر 100 جنيهاً، فنرمز لهذا رياضياً (100ـ) وليس هذا معناه أن البائع معه سالب 100 جنيهاً في محفظته، .وعلينا أن نلاحظ هنا الفرق بين علوم الطبيعة مثل الأحياء والكيمياء وبين الرياضيات فالأولى مرتبطة بالواقع الفعلي الذي نعيشه، بينما الرياضيات مرتبطه بما يستطيع العقل أن يعقله ويربطه ربطاً منطقياً سليماً، وقدرات العقل أوسع من واقعنا الملموس فالرياضيات بها جزء ينتمي لواقعنا الملوس وجزء أكبر مرتبط بعالم يستطيع العقل أن يتصوره أو يتخيله.

هل يحق لنا أن نصف الواقع بأعداد تخيلية؟

لا يوجد أي تعارض أن نصف واقعنا الفعلي بأعداد ليست جزء منه، فالعبرة بمرونة هذه الأعداد وقدرتها على الوصول إلى النتيجة النهائية بشكل مرضي، فالنموذج الرياضي يعبر عن الواقع ولكنه ليس الواقع بعينه.

ما أهمية الأعداد التخيلية؟

الأعداد التخيلية توجد في ميكانيكا الموائع وعلم الفوضى والكسيريات والكهربية والمغناطيسية والاهتزازات الميكانيكية وغيرها الكثير ونكتفي هنا بذكر مثالين فقط للتوضيح

1ـ في التيار المتردد نجد أن فرق الجهد وشدة التيار والمقاومة، كميات متجهة،هذه الكميات التي تتعاقب في الاتجاه والسعة تؤثر عليها أمور أخرى هي التردد وانزياح طور الموجة ومن أجل تحليل الدارات للتيار المتردد بصورة دقيقة يتم استخدام الأعداد المركبة، للتعبير عن بعدي التردد وانزياح طور الموجة في الوقت ذاته.
2ـ بدلاً من محاولة توصيف المجال الكهرومغناطيسي عن طريق كميتين حقيقيتين فقط هما قوة المجال الكهربي و وقوة المجال المغناطيسي، يمكننا وصفه بطريقة أفضل مستخدمين عدد مركباً حيث تكون المكونات الكهربية والمغناطيسية الجزئين الحقيقي والتخيلي للعدد المركب.

المصادر:

1ـ Livescience

2ـ Math

3ـ Mathshistory