الكاتب: Nader Elshebli

من تعريفات الرياضيات أنها دراسة البنى المجردة باستخدام المنطق والبراهين الرياضية والتدوين الرياضي، فالرياضيات فرع من فروع المعرفة متشعب في كل مجالات المعرفة، تعرف الموسيقى بأنها صناعة في تأليف النغم والأصوات ومناسباتها وإيقاعاتها وما يدخل منها في الجنس الموزون والمؤتلف بالكمية والكيفية، فالموسيقى من منظور فيزيائي صوت وزمن والرياضيات هي حلقة الوصل بين الصوت الفيزيائي و الصوت الموسيقي، في السطور القادمة إلقاء الضوء على تساؤل قد يبدو غريباً ما هو الرابط بين الرياضيات والموسيقى؟.

الزمن في الموسيقى

للموسيقى وحدات زمنية خاصة بها فعوضاً عن الثواني والدقائق هناك السوداء والبيضاء وذات السن ……إلخ، وتحدد سرعة النبض الإيقاعي بمعادلة تكتب في أول العمل الموسيقى مثلاً نقول (q=120) وتعني في كل دقيقة 120 سوداء، ويمكن أن تستمر هذه المعادلة خلال العمل الموسيقى كاملاً أو تضاف معادلة جديدة، وقد يستخدم الموسيقي جهاز الميترونوم لضبط السرعة.

الصوت

الأذن البشرية لها القدرة على سماع الأصوات ذات الترددات من 16 هرتز إلى 20 كيلو هرتز، وبين هذين الرقمين تظهر الموسيقى غير أنها لا تستخدم وحدة الهرتز بل تستخدم وحدات خاصة بها، فنجد السلم الموسيقي المكون من سبع درجات دو، ري ، مي ، فا ، صول، لا ، سي والفاصلة الموسيقية هي الفاصلة التي تقع بين درجتين متتاليتين، ومن المصطلحات الهامة في الموسيقى الأوكتاف.

استجابة الأذن للترددات استجابة لوغاريتمية؛ لذا تستخدم مسطرة لوغاريتمية، مثل الموضحة بالأعلى، لاحظ أن المسافة بين 1-10 هي نفس المسافة بين 10-100 هي نفس المسافة 100-1000، رغم أن الفرق بين 1و 10 يساوي 9 والفرق بين 10 و100 يساوي 90 والفرق بين 1000 و100 يساوي 900.

الأوكتاف يعرف بأنه المسافة بين التردد الأول وتردد آخر ضعف التردد الأول، فالمسافة بين التردد 100 والتردد 200 هي أوكتاف، والنوتة عندما تكون أعلى من نوتة أخرى بضعف التردد فالمسافة بينهما تكون أوكتاف.

النظام السائد اليوم هو السلم الذي اتخذ الأوكتاف أساساً له وتقسيمه إلى 12 بعد موسيقي متساوٍ فيما بينهما، واعتمد ضبط علامة (لا) المتوسطة بحيث يكون ترددها 449 هرتز كأساس للدوزان(آلة يضبط بها آلات الطرب الوترية) في العالم ، وإن خالف البعض هذه القاعدة لأسباب فنية تتعلق باختلاف طبيعة الصوت بتغيير الدوزان.

النظرية الموسيقية الهندسية

في محاولة لتحليل الموسيقى وفهم كيفية تغيرها عبر الزمن والمقارنة بين أنواع الموسيقى الغربية، قام باحثون باختراع طريقة لتحليل الأنغام تعتمد على الرياضيات المرتبطة بالبنية الموسيقية سميت بالنظرية الموسيقية الهندسية، تصنف النظرية كلاً من الكوردات(مجموعة من المفاتيح بترتيب معين) والإيقاعات والسلالم الموسيقية إلى مجموعات رياضية مختلفة أطلق عليها عائلة، حيث يمكن تمثيل هذه العائلات كنقاط وكل صنف ينتج عنه فضاء هندسي، وتمثل الصورة التالية كورد لأربع علامات موسيقية كما تم تمثيلها حسب النظرية، ونجد أن الألوان تعبر عن البعد بين العلامات الموسيقية، فمثلاً العقد ذات اللون الأزرق تتقارب مع بعضها في حين أن الألوان الدافئة تتباعد، أما العقدة الحمراء في رأس الهرم فتمثل الكورد ذات البعد السابع وبالقرب منها أغلب الكوردات المعروفة في الموسيقى الغربية.

العدد باي  والموسيقى

العدد باي هو النسبة بين محيط أي دائرة وقطرها وهو كسر عشري غير منته، يدرس عادة في المناهج التعليمية بالقيمة 3.14 ، اقترح بعض الموسيقيين تحويل هذا العدد إلى قطعة موسيقية، بالاعتماد على سلم دو الكبير لتمثيل الأرقام بحيث  دو=1، ري=2، مي=3، فا=4، صول=5، لا=6، سي=7، دو جواب=8، ري جواب=9 وتم تحديد معدل سرعة المقطوعة الموسيقية باستخدام أول ثلاث أرقام من العدد باي فكانت سرعة الإيقاع =314/2 =157 نبضة إيقاعية في الدقيقة، ومن ثمَّ تمت إضافة الهارموني المناسبة للحن.

الجمال في الرياضيات
يسود عند غالبية الناس بأن الرياضيات والموسيقى مختلفان ومتباعدان لكن الحقيقة عكس ذلك فهناك ترابط بينهما ومازال الباحثون يكرسون العديد من الأبحاث لمحاولة اكتشاف هذا الترابط، فنجد النظرية الموسيقية الهندسية، وصياغة قطعة موسيقية باستخدام أرقام العدد باي، بل في دراسة أجرتها جامعتا ييل وباث اكتشفتا أننا  نستطيع رؤية الجمال في المعادلات الرياضية بالطريقة نفسها التي يمكن بها رؤية الجمال في مقطوعة موسيقية دون أن تكون عالماً في الرياضيات.

المصادر

1ـ Maths

2ـ Sciencedaily

3 ـ Phys

تؤدي الرياضيات دوراً حيوياً في عالمنا، فالجميع يستخدم الرياضيات في حياته اليومية، وفي معظم الأحيان دون أن يدرك ذلك، الرياضيات فرع عميق من فروع اللغة، ليست من ضمن العلوم؛ لأنها لا تتبع الطريقة العلمية، لكنها توجد في كل مجال وتخصص، حتى في تلك التي تبدو بعيدة عنها، تنسب مقولة “الرياضيات هي اللغة التي كتب الله بها الكون” إلى عالم الفلك والفيزيائي جاليليو جاليلي، ولكن هل تعتبر الرياضيات لغة؟ مثل اللغة العربية أو اللغة الإنجليزية، للإجابة على هذ التساؤل لابد أولاً وأن نفهم ماهية اللغة.

ما هي اللغة؟
للغة تعريفات كثيرة ومتعددة لعل أبسط وصف لها بأنها نظام اتصال يستخدم الرموز والأصوات، ولكن بالرغم من تعدد التعريفات تحتوي أي لغة على عناصر ثابتة منها:
مفردات من الكلمات أو الرموز.
معنى مرتبط بالكلمات أو الرموز.
قوانين تحدد كيفية استخدام الكلمات أو الرموز.
وجود أشخاص في الحاضر أو الماضي يستخدمون هذه الرموز ويفهمونها.
والآن نستعرض معاً مدى تحقق هذه العناصر في الرياضيات، حتى يصبح من الصواب أن نطلق على الرياضيات لغةً.

المفردات والقواعد اللغوية والنحو في الرياضيات
تعتمد مفردات الرياضيات على العديد من الأبجديات المختلفة وتتضمن رموزًا فريدة للرياضيات، فعندما نقول ” سبعة زائد ثلاثة يساوي عشرة” يمكننا ترجمتها إلى معادلة رياضية مفهومة فنقول: 3+7=10 هذه المعادلة يمكننا وصفها بأنها جملة مكتوبة بلغة الرياضيات.

من أمثلة الأسماء في الرياضيات:
الأرقام العربية (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 0)
الكسور (1/2 ، 1/3 ، 1/10…………)
المتغيرات (س ، ص ، ع ، ………..)
التعبيرات (س+3 ، ص-18 ………..)
المخططات أو العناصر المرئية (الدائرة ، الزاوية ، المثلث ، الموتر ، المصفوفة)

من أمثلة الأفعال في الرياضيات:
أكبرمن ، أصغر من ، يساوي (= ، <،>)
الجمع والطرح والضرب والقسمة (- ، + ، × ، ÷)
عمليات أخرى (……. sin، cos، tan، sec)

الجملة الرياضية
إذا حاولت تحليل رموز الجملة رياضية، فستجد أسماء وأفعال وحروف عطف…إلخ ويعتمد الدور الذي يلعبه الرمز على سياقه في الجملة الرياضية، كما هو الحال في اللغات الأخرى، عندما يتخصص الطالب في الرياضيات نجده يلتزم بقواعد رياضية دولية ، حيث تكتب الصيغ الرياضية من اليسار إلى اليمين، تستخدم بعض الأبجديات اللاتينية لكتابة المعادلات والمتغيرات مثل X ، y ….. إلخ كذلك عند تمثيل الأرقام الطبيعية أو الصحيحة أو النسبية أو الحقيقية، أيضاً تستخدم بعض الأبجديات اليونانية، تشير الأقواس إلى ترتيب تفاعلات الرموز معاً، صيغة الدوال والتكاملات المثلثية والمشتقات موحدة .

الرياضيات لغة مدهشة
قليل جداً من اللغات لديه القدرة على صياغة محتوى علمي يمكنه أن يملأ عدة مجلدات بإيجاز ودقة، على سبيل المثال المعادلات الشهيرة لعالِم الفيزياء الإسكتلندي جيمس كلارك ماكسويل، والتي لم تقتصر على التعبير عن كل ما كان معروفاً عن الكهرومغناطيسية في ستينيات القرن التاسع عشر في أربع معادلات فقط، بل وتوقعت أيضاً وجود موجات الراديو قبل أن يكتشفها عالِم الفيزياء الألماني هاينريش هيرتز، ومن الطريف أن تجد كثير من الطلاب يجدون صعوبة في حل المشاكل الحياتية ولكن عند استخراجهم الأسماء والأفعال والمعادلات من اللغة المنطوقة وترجمتها إلى معادلة رياضية، يسهل عليهم حلها إلى حد كبير، ولأن الرياضيات هي نفسها في جميع أنحاء العالم، يمكن للرياضيات أن تكون بمثابة لغة عالمية، العبارة أو الصيغة لها نفس المعنى، بغض النظر عن اللغة الأخرى التي تصاحبها، وبهذه الطريقة تساعد الرياضيات الناس على التعلم والتواصل، حتى لو كانت هناك حواجز اتصال أخرى.

المعارضون لكون الرياضيات لغة
لا يتفق الجميع على أن الرياضيات لغة، فبعض تعريفات “اللغة” تصفها بأنها شكل من أشكال الاتصال المنطوق، والرياضيات هي شكل مكتوب من التواصل، في حين أنه قد يكون من السهل قراءة جملة رياضية بسيطة بصوت عالٍ على سبيل المثال 2 +2= 4، فإنه من الصعب قراءة معادلات أخرى بصوت عالٍ، على سبيل المثال معادلات ماكسويل، كذلك عند قراءة الجملة الرياضية سينطقها عادة المتكلم بلغته الأم، مع العلم أننا باتباع هذه التعريف نستبعد لغة الإشارة، ومعظم اللغويين يقبلون لغة الإشارة كلغة حقيقية.

المصادر

1ـ Thoughtco

2ـ Languagemagazine

3ـ Sciencedaily

الرياضيات علم بالمعنى الواسع للمعرفة المنهجية الوضعية، لكن القطاع الأكبر من الناس تستخدم مصطلح العلم-science لوصف العلوم الطبيعية فقط، الرياضيات تستخدمها العلوم الطبيعية كلغة لوصف وتحليل الكون بإيجاز ودقة، هل تعتبر الرياضيات علماً؟ ، جوهر الإجابة على هذا السؤال في فهم المنهج العلمي والمنهج الرياضي ومعرفة الفرق بينهما.

المنهج العلمي
يستخدم العلم منهجاً يتكون من صياغة الفروض ثم اختبارها ثم بناء على نتائج الاختبار يتحدد موقفنا من الفرضية، فالنظرية العلمية تعبر عن أفضل التقديرات المقبولة وفق الأدلة التجريبية المتاحة في وقت صياغتها، ومن الممكن تعديلها في حالة ظهور دليل جديد، على سبيل المثال نظرية التطور هي نظرية تحظى باحترام كبير في الأوساط العلمية، ولكن لا يمنع هذا من إحداث تغييرات فيها إذا ظهرت أدلة جديدة.

المنهج الرياضي
الرياضيات تعتمد على البرهان وليس الدليل التجريبي، والنظرية الرياضية تكون صحيحة دائماً وفق شروطها، ولإثبات صحتها تحتاج سلسلة من البراهين المنطقية تبدأ من الشروط لتصل إلى الاستنتاج المطلوب، على سبيل المثال مبرهنة أن كل عدد زوجي أكبر من أربعة هو مجموع عددين فرديين، هناك العديد من الأدلة التجريبية لا حصر لها تثبت صحة هذه المبرهنة 17+3=20، 333+7=340، 15+15=30، 101+3=104 …..…..إلخ، لكن لا يمكننا الجزم بصحة هذه المبرهنة بدون وجود برهان رياضي، وحتى يأتي هذا الإثبات من المقبول رياضياً أن نتصور وجود عدد زوجي أكبر من أربعة لا يتكون من مجموع عددين فرديين.

جدير بالذكر أنه في عصرنا الحديث ومع تعقيداته على المرء أن يضبط استعماله للمعادلات الرياضية بالمعرفة التجريبية والاختبار في بعض نواحي المعرفة، مثال ذلك التنبؤات الاقتصادية بعيدة المدى.

لماذا لا توجد جائزة نوبل للرياضيات؟
قد يتبادر للذهن عندما نعلم أنه لا توجد جائزة نوبل للرياضيات، بأن الرياضيات تعامل معاملة من الدرجة الثانية، وأن قيمتها مبالغ فيها بعض الشئ، قد يكون هذا الأمر قد تسرب لألفريد نوبل وشعر بأن الرياضيات ليس لها تأثير كبير في عصره الذي عاش فيه، وأن الكيمياء والفيزياء والطب والأدب لها تاثير أكبر على العالم ، لكن علينا ألا نهمل سبب رئيس آخر هو وجود جائرة ذات قيمة معتبرة للرياضيات يمنحها ملك السويد أوسكار الثاني، ولم يرد ألفريد نوبل وقتها أن يكون منافس للملك في ذلك، فمالسألة هنا مرتبطة بتصور شخصي لألفريد نوبل وفق ظروف عصره، كما أن الجائزة من ماله الخاص يعطيها لمن يشاء، ولا يعتبر هذا حكماً على شئ بالدونية إذا لم يكن يشعر بالحاجة لإعطاء الجائزة لمجالات أخرى مثل الرياضيات.

المصادر

1ـEuclid

2ـ Cisthetaglobal

3 ـ Phys

لا يختلف اثنان على أهمية الرياضيات في حضارتنا الإنسانية، فلولاها لما قامت حضارتنا على الإطلاق، فالرياضيات تجعلنا نرى الكون بمرآة نفهم من خلالها كيف يدار، وعلى الرغم من ذلك نرى البعض يخاف من الرياضيات ويعتبرها عقبة أمامه في مراحل التعليم المختلفة، وكثيرا ما نسمع مشاعر سلبية من كره وخوف وقلق تجاه الرياضيات، لماذا يخاف البعض من الرياضيات؟ وهل هذا الأمر مبرر؟.
الخوف الذي تسببه الرياضيات حقيقة لا يستطيع المرء إنكارها، فهي حالة نفسية تجعل الشخص ينفر من رؤية المعادلات بل حتى من اسم المادة نفسها!، وهذا الأمر تنفرد به مادة الرياضيات فقط، بل أن هناك رهاب يعرف برهاب الأرقام (النّوميروفوبيا Numerophobia أو الأرِثموفوبيا Arithmophobia) وهو عبارة عن خوف غير مبرر وغير عقلاني من الأرقام، كما أن هناك من يصاب بنوع من الرهاب بسبب أرقام أو أعداد محددة مثل 13 ، 666 ، 8.
أما عن أسباب هذه المشاعر السلبية تجاه الرياضيات فتنقسم إلى سببين رئيسيين:
أولا: الوراثة
فجيناتنا لها دور في هذه المعضلة، فقد وجد مجموعة من الباحثين من جامعة ولاية أوهايو أن الخوف من الأرقام موجود في جينات البعض منا، إذ لاحظو استعداداً للقلق عند بعض الناس عند إجراء العمليات الحسابية، ولكن لا يعني هذا أن العوامل الوراثية حتمية الأثر، بل يمكن أن تزيد أو تنقص مخاطر الأداء السئ في الرياضيات.
ثانياً: البيئة
الوسط المحيط بالإنسان هو السبب الرئيس في مشاعرنا السلبية تجاه الرياضيات، فالبيئة هي المسئولة بنسبة 60% عن هذه المشاعر، بداية من الأهل الذي قد يسمع الأطفال منهم بعض العبارات عن صعوبات الرياضيات ليتلقاها الطفل ويترجمها إلى بذرة خوف تنمو معه مع الزمن، مروراً بالمعلم الذي يقدم له مادة الرياضيات بطريقة جافة ومملة، ويرى العديد من الخبراء أن الخوف من الأرقام له جذور مع تطور الحضارة الإنسانية عندما بدأ الإنسان بحفظ الوقت والتقويمات واستخدام النظم العددية فلم يعد بحاجة ملاحظة الظواهر السماوية وإنما يلجأ إلى الحسابات العددية والتسلسل الزمني وأدى هذا إلى ترسيخ حقيقة أن الوقت والأعداد أمور معقدة ومجهولة، كما أن الرهاب من أعداد أو أرقام معينة عادة ما يكون سببه جذور ثقافية أو دينية ساهم تفاعل المجتمع مع افراده إلى نموها.

ومن أجل عالم محب للرياضيات ومقدراً لأهميتها:
ـ على الكبار أن لا يزروعوا بذور الخوف من الرياضيات لأولادهم، بل يشجعوهم على التعلم والمثابرة على التعلم فعملية التعلم لأي مادة ليست سهلة أو سريعة بل تحتاج إلى وقت وجهد والرياضيات ليست نشازاً عن هذه القاعدة.
ـ على المعلم أن يوصل لطلابه أن جوهر الرياضيات في المحاولة والتجريب والخطأ، فقط لا تيأس فعندما تخطئ وتحاول مرة أخرى فأنت في الطريق الصحيح.

المصادر

sciencealert

telegraph

medicalxpress