الوسم: مسائل الألفية

حدسية ريمان من أصعب مسائل الرياضيات وأقدمها. استعصت على عقول العلماء منذ صاغها عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان عام 1859. حتى يومنا هذا لم يستطع أحد تقديم برهان رياضي مقبول لها. كانت ثامن مسألة ضمن مسائل هيلبرت الثلاث والعشرين والتي طرحت في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس عام 1900. كما أنها إحدى مسائل الألفية السبع التي اختارها معهد كلاي عام 2000، ورصد لحلها مليون دولار.

حدسية ريمان هي المسألة الوحيدة المشتركة بين اللائحتين السابقتين وذاك دليل على أهميتها. لنحاول الآن الإجابة بصورة مبسطة على سؤال ما هي حدسية ريمان؟

دالة زيتا ريمان

لفهم فرضية ريمان علينا أولاً أن نتعرف على دالة زيتا ريمان التي تحدد قيمة معينة لكل رقم عند التعويض عنه في هذه العلاقة.

فمثلا لإيجاد قيمة الدالة عند التعويض عن s بالرقم 3 تصبح العلاقة

ظن ريمان في البداية أن أي قيمة أكبر من الواحد يمكننا استبدالها بـ s وتكون الدالة معرفة. لكنه لاحقاً نجح في اكتشاف أن هذه الدالة تصبح معرفة عند جميع الأعداد حتى الأعداد المركبة (الأعداد التخيلية) ما عدا الرقم واحد.

ما المطلوب لأكسب المليون دولار؟

سؤال المليون دولار في حدسية ريمان ببساطة، ما هي أصفار دالة زيتا كاملة؟، أو بمعنى آخر ما هي جميع القيم التي يمكن أن نستبدل حرف s بها وتصبح قيمة الدالة تساوي صفر، جدير بالذكر أن هناك بعض الأصفار واضحة ومثبتة رياضياً وهي مجموعة الأعداد الزوجية السالبة لكن للدالة أصفار أخرى، ابتكر ريمان افتراض طريف للمنطقة التي تقع فيها كل الأصفار الغير واضحة للدالة وهي المنطقة المحصورة بين الخط الرأسي الذي يمر بالصفر والخط الرأسي الذي يمر بالواحد وأن الأصفار الغير واضحة للدالة تقع على الخط الرأسي الذي يمر بالنقطة 0.5 ويسمى الخط الحرج

تم استخدام الحواسيب العملاقة في محاولة لتفنيد فرضية ريمان لكنها باءت بالفشل، تريليونات الأعداد تم تجربتها وكلها تؤكد على فرضية ريمان، الآن لكي تكسب مليون دولار في هذه الحدسية هناك وسيلتان، إما تقديم برهان رياضي جيد لإثبات صحة الحدسية أو تقديم عدد واحد يفند حدسية ريمان.

مايكل عطية

عالم الرياضيات البريطاني ذو الأصول اللبنانية مايكل عطية الحائز على ميدالية فيلدز وجائزة أبيل وميدالية دي مورغان، زعم أنه حل الحدسية، لكن بعد عرضه لبرهانه الرياضي في منتدى هايدلبرج لورييت، قوبل بالرفض والشك من قبل الرياضيين.

ما الفائدة من حل هذه الحدسية؟

إحدى القضايا المرتبطة بحدسية ريمان هي قضية توزيع الأعداد الأولية، فحل هذه الحدسية يعني أن يصبح لدى الرياضيين خريطة تمكنهم من تحديد مواقع الأعداد الأولية، ومن المعروف أن الأعداد الأولية هي اللبنات الأساسية لباقي الأعداد الأخرى.

المصادر:

1ـ claymath
2ـ newscientist
3ـ primes

أعلن عن جائزة مسائل الألفية في خطاب شهير، ألقاه عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت في المؤتمر الدولي، لعلماء الرِياضيات في باريس في 8 أغسطس 1900، وقد طرح هيلبرت 23 مسألة غير محلولة على عدد كبير من علماء الرياضيات، وتوصلوا إلى حل بعض هذه المسائل مطورين أفكار وبحوث جديدة، إلا أن حل بعض تلك المسائل ظل مجهولاً.

معهد كلاي للرياضيات

بعد مائة عام من مؤتمر هيلبرت، قرر معهد كلاي للرياضيات-Clay Mathematics Institute، والذي أسسه رجل الأعمال الأمريكي لندن كلاي بجامعة كامبريدج بولاية ماساتشوستس الأمريكية، أن تعيد التجربة في العام الذي أعلنته اليونيسكو عاماً دولياً للرياضيات، فأعلنت المؤسسة في 24 مايو 2000 في معهد كوليج دو فرانس بباريس، أنها ستمنح جوائز مالية لحل مسائل رياضية، أطلقت عليها اسم “جوائز الألفية”، وأعلن عن الجوائز خلال “لقاء الألفية” الذي نظم للاحتفال بذكرى المؤتمر الذي عقد في 1900، وبذكرى مرور مائة عام على كلمة هيلبرت، وشارك في اللقاء خمسمائة من علماء الرياضيات والفيزياء.

مسائل الألفية

اللائحة الجديدة بها سبع مسائل سيمنح من ينجح في حل أي منها مليون دولار، وتحوي اللائحة أهم المسائل الرياضية التي لا تزال دون حل حتى الآن، فهي تغطي مجموعة متنوعة من المواضيع، من علوم الكمبيوتر النظرية والفيزياء، وصولاً إلى المجالات الرياضية البحتة مثل نظرية الأعداد والهندسة الجبرية والطوبولوجيا.
وقد اختارت تلك المسائل السبع اللجنة العلمية التابعة لمعهد كلاي، والمؤلفة من ألان كون والأميركيين أرثور جاف وإدوارد ويتن والبريطاني أندرو وايلز الذي حل في 1994 النظرية الأخيرة لعالم الرياضيات الفرنسي بيار دو فيرما بعد 350 عاما على وضعها.

أسماء مسائل الألفية

1 ـ حدسية بوانكاريه.
2ـ P=NP.
3ـ فرضية ريمان.
4ـ معادلات نافييه-ستوكس.
5ـ حدسية هودج.
6ـ نظرية يانغ-ميلز.
7ـ حدسية بريتش-داير.
أشارت اللجنة إلى أن هذه المسائل “تشكل تحديات أساسية لعالم الرياضيات في فجر الألفية الجديدة”، بينما أعلن وايلز أن “حل هذه المسائل المعروفة من قبل علماء الرياضيات، سيجعل تطوير عالم جديد أمرا ممكنا”.

طريقة تقييم الحلول المطروحة

قبل تقديم الحل لمعهد كلاي، يجب أن يكون معروضاً من قبل على هيئة تحكيم ذات مصداقية عالمية، أو أي هيئة يحدد مؤهلاتها المجلس الاستشاري العلمي للمعهد، وأن ينال الحل قبولاً عاماً من المجتمع الرياضي لمدة سنتين، إذا تم قبول الحل من هيئة التحكيم والمجتمع العلمي، حينها يتم عرضه على المجلس الاستشاري العلمي للمعهد حيث سيشكل لجنة استشارية خاصة تشمل على الاقل عضواً منه وعلى الاقل عضوين من خارجه ممن يملكون الخبرة في مجال المسألة التي تم حلها، وكل عنصر من عناصر حل المسألة يجب أن يوافق عليه عضو أو أكثر من هذه اللجنة الاستشارية الخاصة، وبعد النظر في الحل يتم تزويد المجلس الاستشاري العلمي بتقرير كامل عنه، بناء على هذا التقرير سيوصي المجلس معهد كلاي بمنح الجائزة لصاحبها.
تم حل مسألة واحدة فقط من هذه المسائل، وهي حدسية بوانكاري عام 2006 عن طريق عالم الرياضيات الروسي جريجوري بيريلمان، والذي رفض الجائزة المالية ورفض أيضاً وسام فيلدز وهي أعلى جائزة تقدم في الرياضيات، أما المسائل ال6 المتبقية فإنها تنتظر جهودنا مع 6 ملايين دولار.

المصادر

1ـ Claymath

2ـ Sciencealert

3ـ Claymath