ما هي الأعداد المركبة، كيف ظهرت وما تطبيقاتها؟

ما حل المعادلة الموضحة أدناه يا تُرى؟

غالبا ما ستكون قد درست حل هذه المعادلة والذي هو i. ولكن لماذا حل تلك المعادلة مختلف؟ وما معنى i وما علاقتها بعنوان المقال أصلًا؟ هذه هي معادلتنا الشهيرة التالية في سلسلة أشهر المعادلات الرياضية في التاريخ، حيث سنركز حديثنا حول ماهية الأعداد المركبة وأهميتها وتاريخها والكثير من المعلومات المثيرة حولها.

ما هي الأعداد المركبة؟

في نظام الأعداد الحقيقية لا يوجد حل للمعادلة التالية:

لذا هناك نظام رقمي آخر يوضح حل تلك المعادلة، وذلك النظام يعتمد على جزئين. الجزء الأول يسمى بالجزء الحقيقي والثاني بالجزء التخيلي والصيغة موضحة كالتالي:

أمثلة على الأعداد المركبة:

• 7i−2 حيث 2- الجزء الحقيقي و7 الجزء التخيلي.
• 4−3i حيث 4 الجزء الحقيقي و3- الجزء التخيلي.
• 9i حيث 0 الجزء الحقيقي و9 الجزء التخيلي.
• 2- حيث الجزء الحقيقي 2- والجزء التخيلي 0.

لندرس الآن بعض العمليات على الأعداد المركبة:

• الجمع

• الطرح

• الضرب

كيف ظهرت الأعداد المركبة؟

تتميز الأعداد بتاريخها الطويل، والحديث هنا سيرتكز على الأعداد المركبة؛ حيث ظهرت الأعداد المركبة للحاجة إلى حل المعادلات التكعيبية وليست المعادلات التربيعية كما هو شائع. فيمكننا رؤية حلول مختلفة الأنواع للمعادلات التربيعية وهي حلول جبرية وجدها الخوارزمي وتلك الحلول تُدرس إلى وقتنا هذا لكنها تقتصر على الحلول الموجبة فقط، لا السالبة. وقد كان الخوارزمي حينها عضوًا في بيت أو دار الحكمة وهي شبه أكاديمية للعلماء، أُنشأت في بغداد.

وقد أُدخلت الطرق الجبرية المعروفة عند العرب إلى إيطاليا عن طريق الترجمة اللاتينية لجبر الخوارزمي من قِبل جيرارد كريمونا ومن خلال أعمال ليوناردو دا بيزا (فيبوناتشي).

وفي حوالي عام 1225م، حينما عقد فريدريك الثاني محكمة في صقلية وتم تقديم فيبوناتشي للامبراطور، طرح عالم رياضيات محلي عدة مشكلات قام فيبوناتشي بحلها جميعًا ومن بينها حل المعادلة الموضحة أسفله: (فمن خلال ملاحظة ما يأتي جيدًا، يمكنك تتبع تلك المشكلة ومن توصل إلى حلها لفهم كيفية ظهور الأعداد المركبة).

حيث المعادلة التكعيبية العامة هي:

يمكن اختزال وتبسيط المعادلة على النحو الآتي:

ومن خلال تغير المتغير

حيث ظهر هذا التغيير للمتغير لأول مرة في مخطوطتين مجهولتي الهوية حوالي نهاية القرن الرابع عشر.

فإذا أخذنا المعاملات والقيم الموجبة لـ X فقط، فستكون لدينا ثلاث حالات، تُعرف باسم Depressed cubic وهي:

من سيبيوني إلى تارتاليا

فكان أول من حل المعادلة 1 وربما أيضًا المعادلتين 2 و3 هو سيبيوني ديل فيرو، وعلى فراش موته، أسند الصيغة إلى تلميذه أنطونيو ماريا فيوري، الذي تحدى عالم رياضيات يسمى نيكولو فونتانا تارتاليا في مسابقة رياضيات. وقد أعاد هذا الأخير اكتشاف الصيغة وأخبر جيرولامو كاردانو بها ووقع معه قسمًا على السرية بعد أن أخبره بالصيغة فقط. إلا أن كاردانو تمكن فيما بعد من بناء إثبات. وبعدها عرف كاردانو أن ديل فيرو لديه الصيغة وتحقق من ذلك من خلال مقابلة أقاربه والذين منحوه حق الوصول إلى أوراق ديل فيرو. فنشر كاردانو الصيغة بجميع حالاتها الثلاث في Ars Magna وذكر أن ديل فيرو هو المؤلف الأول، وأن تارتاليا عمل بطريقة مستقلة وحصل على الصيغة.

كانت تتمثل الصعوبة بالحالة 2، في ظهور جذر تربيعي لرقم سالب في الصيغة. فهنا الاشتقاق، حيث سنعوض X= U+V في المعادلة التي بالصورة.

لتكون النتيجة:

حيث 3uv = p وu^3+v^3=q، وu^3 v^3=(p/3)^3.

وبذلك يكون جمع وحاصل الضرب لمكعبين معروفين. فيستخدم ذلك لتكوين معادلة من الدرجة التانية، يتم حلها بسهولة.

لكن يوجد W- وقد تجنب كاردانو مناقشة تلك الحالة وتوضيحها في Ars Magna وربما قد يكون برر ذلك في ذهنه بعدم وجود حل حقيقي موجب للمعادلات التكعيبية. فتقول بعض المصادر أن كاردانو هو أول من أدخل الأعداد المركبة a+√-b في الجبر على الرغم من شكوكه، حيث طرح المشكلة الآتية في Ars Magna والتي تخص تقسيم 10 إلى جزئين ويكون حاصل ضربهمها 40.

ما حل مشكلة كاردانو؟

على ما يتضح أن تلك الحالة مستحيلة، لكن لنقسم 10 إلى جزئين متساويين، فيكون بذلك كل جزء 5. من ثم نربع 5، فستكون 25. لنطرحها من 40، فيكون الناتج 15- والجذر التربيعي المضاف إلى 5 أو مطروحًا منه سيعطينا أجزاء حاصل ضربها 40، لنرى ذلك.

الأجزاء هي 15-√- 5 و 15-√+ 5 ولنضرب الأجزاء في بعضها، ستعطينا (15-)-25، سيكون الناتج بذلك 40.

هذه ببساطة المشكلة المطروحة وحلها، لذلك ينسب البعض الفضل لكاردانو في إدخال الأعداد المركبة.

ما بعد كاردانو

بعد ذلك يأتي رافائيل بومبيلي بمجموعة كتبه (I’Algebra) المتكونة من ثلاثة كتب ويطرح فكرة 1-√ ويتعمق بشكل أكثر من كاردانو. حيث اعتبر بومبيلي المعادلة الآتية:

التي تعطيها صيغة كاردانو:

فيحصل على a=2, b=1 وهكذا ينتج:

يأتي بعد ذلك ديكارت لكي يربط الأرقام التخيلية التي توجد في العدد المركب بالاستحالة الهندسية، وصاغ مصطلح (لأي معادلة يمكن للمرء أن يتخيل لها العديد من الجذور ولكن قد لا يوجد كمية تتوافق مع ما يتخيله المرء). من ثم ينظر جون واليس إلى الأرقام السالبة بشكل مختلف ويوضح أنها تقدم تفسير مادي جيد وأعطى تفسير هندسي لـ 1-√. ننتقل بعدها لأبراهام دي موفر صاحب نظرية دي موفر الشهيرة والتي صيغتها بالأسفل وهي لحساب الجذور التكعيبية.

وقد أتى بعد ذلك العديد من العلماء والكثير من الاجتهادات في سبيل توضيح واستخدام العدد المركب أكثر وأكثر ووضع نظريات مثل جاوس وهاملتون وأرجاند وأويلر، نهاية بكوشي.

ما فائدة الأعداد المركبة؟

بعد ما تم توضيحه في الإطار التاريخي لتلك الأعداد وكيفية ظهورها على نحو موجز، تتبين أهميتها في العديد من العلوم، فللأعداد المركبة تطبيقات عدّة نجدها مثلًا في ميكانيكا الكم والهندسة الكهربائية والميكانيكية وعلوم الحاسوب وغيرها، والتي تعتمد على المعادلات بكل تأكيد، خاصة وأن سبب ظهورها، كما أسلفنا، هو حل المشكلات المتعلقة بالمعادلات التكعيبية والمثير أنها تسمح لنا بحل أي معادلة متعددة الحدود.

المصادر

1. khanacademy
2. ShortHistoryComplexNumbers2006
3. khanacademy
4. study
5. livescience
6. brilliant.org