ما هي معادلات نافييه-ستوكس؟

في حياتنا اليومية نلاحظ ظواهر فيزيائية كثيرة، كاضطراب الماء عند تصادمه مع اليابسة أو مرور سفينة، والتيارات الهوائية التي تحدث مع إقلاع الطائرة، يعتقد العلماء أنهم تمكنوا من تفسير هذه الظواهر والتنبؤ بحدوثها من خلال معادلات نافييه-ستوكس المنسوبة للعالمين الفرنسي كلود لويس نافييه والأيرلندي جورج جابرييل ستوكس، في السطور التالية إجابة مبسطة عن ما هي معادلات نافييه-ستوكس؟.

مفاهيم فيزيائية

قبل الحديث عن معادلات نافييه-ستوكس لابد وأن نلقي الضوء على بعض المفاهيم الفيزيائية
الموائع: هي مادة قادرة على أخذ شكل الإناء الذي توضع فيه، فالغازات والسوائل تعتبر موائع لإتخاذها شكل الإناء التي توضع فيه بعكس الأجسام الصلبة التي لا تتبع نفس السلوك.
قانون نيوتين الثاني: ينص قانون نيوتين الثاني إذا أثرت قوة على جسم ما، فإنها تكسبه عجلة (تسارعاً)يتناسب طردياً مع هذه القوة وعكسياً مع كتلته ويعبر عن ذلك رياضياً بأن القوة تساوي الكتلة مضروبة في العجلة F=m.a

اضطراب الموائع

اضطراب الموائع هي حركة معقدة فوضوية للمائع، وهي موجودة في كل مكان حولنا فقط لوح بيدك الآن أمام وجهك تكون قد صنعت اضطراب، صحيح أنه اضطراب بسيط، لكن هناك اضطرابات مزعجة للبعض مثل اضطراب حركة الطائرات في الرحلات الجوية والأعاصير وشلالات المياه.

ولكي يعتبر الاضطراب مشكلة قابلة للحل في الفيزياء نحتاج إلى وضع معادلة تصف حركة المائع ثم حلها للتنبؤ الدقيق بكيفية تحرك المائع تحت مجموعة معينة من الظروف، الصيغة الأكثر قبولاً لوصف اضطراب الموائع هي معادلات نافييه-ستوكس، وقد تم الحصول عليها من تطبيق قانون نيوتن الثاني على الموائع، ولهذه المعادلات عدة صيغ مختلفة يمكننا كتابة هذه المعادلات بها منها ما هو موضح أدناه

F: محصلة القوى المؤثرة على المائع
u: تأثير الكتلة
ρ: الكثافة
p: الضغط المؤثرعلى المائع

من الصعب حل معادلات نافييه-ستوكس لأنها معادلة غير خطية، بمعنى آخر إن وجود تغيير بسيط في الحالة الأولية للنظام يؤدي إلى تغيير شديد في النتائج يصعب التنبؤ به بدقة، بعكس معادلة الموجات الصوتية على سبيل المثال فهي معادلة خطية لذا يمكنك بناء صوت معقد من خلال الجمع بين العديد من الأصوات البسيطة ويمكننا التنبؤ بالنتائج؛ ولذا ليس من المستغرب أن تكون معادلات نافييه-ستوكس من مسائل الألفية السبع التي رصد لها معهد كلاي جائزة مليون دولار لمن يقدم برهان رياضي جيد لها.

قد يكون من الغريب أننا نستخدم لليوم معادلات فيزيائية تعود للقرن التاسع عشر لم نستطع حلها لليوم، ولكن من ناحية أخرى فإن العلماء لديهم حلول تتفق مع العديد من حركات الموائع ولكنها حلول تقريبية للحلول الكاملة لمعادلات نافييه-ستوكس مستخدمين الحاسوب في هذا.

ما المطلوب لأربح المليون دولار؟

1ـ إيجاد حلول كاملة لمعادلات نافييه ستوكس.
2ـ في حالة وجود حلول غير معرفة أو تسعى في قيمتها نحو اللانهاية(الحلول المتفردة) فتذهب جائزة المليون دولار لمن يكتشف المفاهيم الفيزيائية الجديدة اللازمة لإزالة هذا التفرد وإيجاد صيغة شاملة يمكننا تطبيقها على كل الظواهر التي تخص حركة الموائع.

محاولات لحل المعادلات

في عام 2014 تناقلت وكالات الأنباء عن خبر ادعاء عالم الرياضيات الكازاخستاني”مختار باي أوتيلبايف” الأستاذ في معهد الرياضيات والتصميم الرياضي التابع لوزارة التعليم في جمهورية كازاخستان، أنه وجد حلاً لمعادلات نافييه – ستوكس، وذلك في مقال نشره بمجلة الرياضيات، وأن العلماء الكازاخستانيين بحثوا هذا الحل واعتبروه صحيحاً لكن على ما يبدو لم يحظى الحل بالقبول المطلوب، ليستحق جائزة المليون دولار من معهد كلاي.

المصادر

1ـ Scienceabc

2ـ Theconversation

3ـ Claymath