فلسفة الرياضيات | من هو العبقري جورج كانتور؟
هل لك أن تتخيل كيف ستكون حياتك إن لم يكن هناك طريقة لتمثيل الأعمار والوزن والوقت والنتائج والحسابات المصرفية وأرقام الهواتف؟ بالطبع مستحيلة. تُستخدم الأرقام الرياضية، لتحديد كل هذه الكميات.
فمازلنا مستمرين في حديثنا في سلسلة «فلسفة الرياضيات»، وموضوعنا اليوم عن العبقري «جورج كانتور-Georg Cantor» الذي له تأثير كبير في مفهوم اللا نهائية.
لكن ما رأيك قبل أن نتعرف على ذلك العبقري المُؤثر في مفهوم اللانهائية. أن نلقي نظرة على تاريخ الأعداد التي من الواجب أن نعرفها، إذ أن للأرقام قصة مع عالمنّا في إحدى نظرياته!
محتويات المقال :
بداية من سومر
حيث الكتابة والزراعة والقوس والمحراث والري والعديد من الابتكارات في مهد الحضارة سومر -منطقة من بلاد ما بين النهرين، العراق حاليًا-. ظهرت الرياضيات السومرية قبل الرياضيات المصرية وكما هو الحال في مصر، ظهرت استجابة للاحتياجات البيروقراطية عندما استقرت حضارتهم وطوروا الزراعة. إذ أنهم احتاجوا إلى وصف أعدادًا كبيرة جدًا أثناء محاولتهم رسم مسار السماء ليلًا أو تطوير تقويمهم القمري…
ربما كانوا أول من قاموا بتعيين رموز لمجموعات من الكائنات لتسهيل وصف الأعداد الكبيرة. انتقلوا من استخدام الرموز المميزة أو الرموز المنفصلة لتمثيل حزم القمح، وأواني الزيت وما إلى ذلك، إلى استخدام رموز لأرقام محددة لأي شيء.
يوجد أدلة عدة على تطوير نظام مُعقد للقياس في سومر منذ حوالي 3000 قبل الميلاد وجداول الضرب والقسمة وجداول المربعات والجذور التربيعية والجذور التكعيبية والتمارين الهندسية. كذلك تغطي الألواح البابلية التي يرجع تاريخها إلى حوالي 1800 إلى 1600 قبل الميلاد مواضيع متنوعة مثل الكسور والجبر وطرق حل المعادلات الخطية والتربيعية وحتى بعض المعادلات التكعيبية…
من هو جورج كانتور؟
ولد «جورج كانتور_Georg Cantor» في مارس 1845م في سانت بطرسبرغ بروسيا. تُوفي في 6 يناير 1918م في ألمانيا. هو عالم رياضيات ألماني أسس نظرية المجموعات وأثبت أن الأرقام الحقيقة أكثر من الأرقام الطبيعة. كذلك جادل بأن الأعداد اللانهائية لها وجود فعلي.
حياته
كان أبويه دنماركيين، إذ كانت والدته كاثوليكية من عائلة موسيقية وكان والده بروتستاننيًا وتاجرًا. عندما مرض والده في عام 1856م، انتقلت العائلة إلى فرانكفورت. ظهرت مواهب كانتور في الرياضيات قبل سن الخامسة عشر. عندما كان يدرس في المدارس الخاصة في دارمشتات ومن ثم انتقل إلى فيسبادن. في النهاية تغلب على اعتراضات والده الذي كان يُود منه أن يصبح مهندسًا.
بعد الالتحاق لفترة قصيرة بجامعة زيورخ، انتقل كانتور عام 1863م إلى جامعة برلين، ليتخصص في الفيزياء والفلسفة والرياضيات. تعلم على يد علماء في الرياضيات كـ “كارل ويرستراس، وإرنست إدوارد كومر، وليوبولد كرونيكر”. بعد فصل دراسي واحد في جامعة غوتنغن عام 1866م، كتب كانتور أطروحة الدكتوراه في عام 1867م حول معادلات الدرجة الثانية غير المحددة. قضي كانتور فترة قصيرة في التدريس في مدرسة للبنات في برلين. ثم انضم إلى هيئة التدريس في جامعة «هاله_Halle»، ثم أستاذًا مساعدًا في عام 1872م، ومحاضرًا وأستاذًا أساسي في عام 1879م.
عشر ورقات
في سلسلة من 10 أوراق بحثية من عام 1869م إلى 1873م، وضح كانتور أولًا نظرية الأعداد. إذ كان مولعًا بالموضوع ودراساته عن غاوس وتأثير كرونيكر. بناء على اقتراح زميل له في «هاله_ Halle» الذي كان مدركًا قدراته. اتجاه كانتور إلى نظرية السلسلة المثلثية التي وسع فيها مفهوم الأعداد الحقيقية. بداية من العمل على المتسلسلة المثلثية وعلى وظيفة المتغير المعقد التي وضعها عالم الرياضيات الألماني «برنارد ريمان_Bernhard Riemann» في عام 1854م.
أظهر كانتور في عام 1870م أنه يمكن تمثيل المتغير بطريقة واحدة فقط من خلال سلسلة مثلثية. بعد ذلك، حدد كانتور الأرقام الغير منطقية حيث المتواليات المتقاربة للأرقام المنطقية (حاصل الأعداد الصحيحة) ثم بدء عمله الرئيس. ألا وهو نظرية المجموعات ومفهوم الأعداد العابرة للحدود في عام 1872م.
نظرية المجموعات
كانت الرسائل المتبادلة بين عالم الرياضيات «ريتشارد ديديكيند-Richard Dedekind» في معهد برونزويك التقني، والذي كان صديقه وزميله طوال حياته بمثابة بداية لأفكار كانتور حول نظرية المجموعات. اتفق كلاهما أن المجموعة هي سواء كانت محدودة أو غير محدودة، فالمجموعة عبارة عن مكونات مثال: الأعداد الصحيحة {0، ± 1، ± 2، …} تشترك في خاصية معينة بينما يحتفظ كل مكون منهم بخواصه.
أثبت كانتور في عام 1873م أن الأعداد المنطقية على الرغم من أنها غير محدودة، يمكن حصرها. أن مجموعة الأعداد الحقيقة المكونة من أرقام غير منطقية كانت لا نهائية وغير معدودة. لكن تلك الورقة التي طرح فيها كانتور هذه النتائج تم رفض نشرها، وبمداخلة من ديديكيند، تم نشرها في عام 1874 باسم «خاصية مميزة لجميع الأعداد الجبرية الحقيقية».
المصادر
سعدنا بزيارتك، جميع مقالات الموقع هي ملك موقع الأكاديمية بوست ولا يحق لأي شخص أو جهة استخدامها دون الإشارة إليها كمصدر. تعمل إدارة الموقع على إدارة عملية كتابة المحتوى العلمي دون تدخل مباشر في أسلوب الكاتب، مما يحمل الكاتب المسؤولية عن مدى دقة وسلامة ما يكتب.
التعليقات :