ما هي نظرية يانج-ميلز؟

مسائل الألفية أو مسائل الميلينيوم هي مسائل رياضية سبع، اختارها معهد كلاي للرياضيات، وقدم جائزة مالية مقدارها مليون دولار لمن يحل أي مسألة من هذه المسائل، ومن غير المستغرب أن يكون هناك نصيب لميكانيكا الكم من هذه الجوائز، لنحاول الآن الإجابة على سؤال ما هي نظرية يانج-ميلز؟.

بعض خصائص ميكانيكا الكم

الجسيمات الصغيرة جداً مثل الإلكترونات، وجدت في بعض التجارب تتبع سلوك الموجة وفي البعض الآخر تتبع سلوك الجسيم، ولعل أشهر تجربة حول هذا الأمر هي تجربة الشق المزدوج، هذا السلوك برغم غرابته الشديدة إلا أن كثيراً من التقينات الحديثة تعتمد عليه، فهو الأساس لسلوك أشباه الموصلات في جميع الأجهزة الإلكترونية، وسلوك المواد النانوية، وعلوم الحوسبة الكمومية.
حالياً بدأت عملية استبدال المفاهيم الكلاسيكية في الفيزياء بمقابلاتها الكمومية، كمحاولة لتقديم نظرية أشمل وأعم، فنجد نظرية الكهرومغناطيسية الكلاسيكية تستبدل بنظرية الديناميكا الكهربائية الكمية، تدعى عملية الاستبدال هذه في الفيزياء بعملية التكميم.

يكون الوصف الكمومي ناجحاً عندما نتعامل مع عدد محدود من درجات الحرية ( يقصد بدرجة الحرية بالصفة الفيزيائية المستخدمة في وصف حالة نظام فيزيائي ما، فالغازات درجات الحرية لجسيماته هي خاصية الحرارة النوعية ومعامل الإنضغاط) ولكن عندما ننتقل لدراسة الحقول الكهربائية والمغناطيسية يصبح الأمر معقداً حيث درجات الحرية تصبح لانهائية، وهنا ظهرت نظرية الحقل الكمومي التي تمكن الفيزيائين من تحقيق العديد من النجاحات باستخدام هذه النظرية، فالعديد من الحسابات المبنية عليها أعطت نتائج متوافقة مع التجارب حتى الآن، ورغم ذلك فالأساس الرياضي لهذه النظرية لازال غير مفهوم بشكل كامل.

ما علاقة الرياضيات بنظرية يانج-ميلز؟

في نظريات الحقول يوجد قسم يسمى نظريات المقياس، حيث يتم دراسة الجسيمات والحقول الموافقة لها من وجهة نظر رياضية والبحث فيما إذا كانت تحقق تناظرات رياضية معينة، فمثلاً لو غيرنا شحنات الجسيمات كلها ولم تتغير المعادلات قلنا إن الجملة تحقق تناظر الشحنة ولو لم تتغير المعادلات بعكسنا بين اليمن واليسار قلنا أن الجملة تناظر المرآة.
عندما قام علماء الفيزياء بمراقبة التفاعلات النووية الشديدة لم يجدوا جسيمات عديمة الكتلة كما كانت النظريات الكلاسيكية تتنبأ، فاستحدثوا مصلطحات جديدة مثل “فجوة الكتلة” الموجودة فقط في نظيرتها الكمومية، فكانت الحاجة لمقاربة مبنية بشكل دقيق رياضياً لنظرية يانج- ميلز الكمومية، وحتى يومنا هذا لانملك الرياضيات اللازمة لفعل ذلك، رغم كفاءة النظرية الكمومية بشكلها الحالي لوصف الواقع.
فالمطلوب من حل هذه المسألة الرياضية، هو إيجاد تفسير وجود ” فجوة الكتلة” في نظرية يانج-ميلز الكمومية، وهذا يتطلب صياغة للنظرية في أربعة أبعاد لتفسير خاصية وجود فجوة الكتلة.

ما أهمية المسألة في الرياضيات؟

نظرية يانج- ميلز هي نظرية فيزيائية، فلماذا هي مهمة لعلماء الرياضيات؟، ولماذا توضع في لائحة معهد كلاي لمسائل الألفية؟، وضع الفيزيائيون أدوات لإجراء حساباتهم ضمن نظرية الحقل الكمومي، قدمت هذه الأدوات توقعات دقيقة في مجال الهندسة والتوبولوجيا، وبخاصة عندما يكون عدد الأبعاد منخفضة، ولكن هذه الأدوات ليست واضحة بشكل قوي رياضياً إلا في حالات بسيطة، وهذا يدل على أن هناك مجموعة كبيرة من الطرق الفعالة في الرياضيات بانتظار من يكتشفها، وبحل هذه المسألة نتوقع اكتشاف بعضها.

المصادر

1ـ Claymath

2ـ Theconversation

3ـ Maths