ما هي حدسية هودج؟

أعلن معهد كلاي في 24 مايو 2000 عن جائزة مالية مقدارها مليون دولار لمن يقدم حلاً صحيحاً لإحدى المسائل السبع التي حددها المعهد، وليومنا هذا لم ينجح العلماء في حل هذه المسائل سوى مسألة واحدة نجح العالم الروسي جريجوري بيرلمان في حلها، لكنه رفض الجائزة، كما رفض ميديالية فيلدز والتي يعتبرها الكثيرون جائزة نوبل في الرياضيات، وفي هذه المقالة نتعرف على إجابة مبسطة عن ما هي حدسية هودج؟.

الحدسية

عندما يتوصل عالم الرياضيات إلى مقولة يعتقد أنها حقيقة دون أن يقدم برهان رياضي يؤكد صحتها، فإنها تسمى حدسية أو فرضية؛ لذا فالحدسية غير قابلة للاستعمال على مبرهنات جديدة.

حدسية هودج

تعتبر حدسية هودج الأكثر صعوبة في مسائل الألفية لمعهد كلاي؛ لأنها تحتاج إلى معرفة متقدمة في عدة حقول في الرياضيات وهي التوبولوجيا والهندسة الإقليدية والجبر والتحليل، سميت هذه الحدسية بهذا الاسم نسبة إلى صاحبها عالم الرياضيات الأسكتلندي وليام فالانس دوغلاس هودج والذي أعلن عنها عام 1950.

لعلنا نتذكر تلك المعادلة y=X² والتي ينتج عند التعويض بمجموعة من النقاط في هذه المعادلة منحى مميز يسمى القطع المكافئ، والمعادلة X²+y²=1 ينتج عنها رسم دائرة ، الشكل الجبري يتعامل مع الأبعاد الأعلى المماثلة لذلك النوع من المنحنيات حينما نتعامل مع نظام متعدد المعادلات أو معادلات ذات أكثر من متغير أو معادلات على مستوى الأعداد المركبة (التخيلية).
في القرن العشرين اكتشف الرياضيون طرق للتحقق من الصيغ الرياضية لأشكال معقدة، متسائلين إلى أي مدى يمكننا الاقتراب من الصيغة الرياضية الحقيقية لشكل معقد ما، وذلك بتجميع عدة أشكال هندسية بسيطة بالتزامن مع زيادة أبعادها.
لاحقاً تم اعتماد هذا المبدأ واستخدامه في مسائل كثيرة وبطرق مختلفة مكنت الرياضيين من القيام بعمليات فهرسة وتصنيف جميع العناصر والأشكال التي ظهرت خلال أبحاثهم الرياضية، الأساس الهندسي لهذا المبدأ مازال مبهماً بل أحياناً كان من الضروي إضافة قطع دقيقة من أشكال معينة ليس لها أساس هندسي معروف.

حدسية هودج تؤكد فعالية هذا المبدأ من أجل الأنواع البسيطة من الفضاءات الجبرية المتعددة وتسمي هذه القطع الدقيقة بحلقات هودج و هي في الحقيقة صيغة رياضية من الجبر الخطي مصاغة من قطع هندسية تسمى الحلقات الجبرية.

ما أهمية حدسية هودج؟

تقوم الحدسية بافتراض علاقة بين نظرية هودج والحلقات الجبرية وهذا الافتراض دفع الرياضيين إلى سلسلة طويلة من الاكتشافات عن الحلقات الجبرية، كما أنها تعتبر جزء من مجموعة كبيرة من الفرضيات التي تتناول الحلقات الجبرية، تتآذر هذه الفرضية مع بعضها البعض، ويحرز الرياضييون تقدماً في هذه الفرضيات مع الوقت، هذا التقدم أدى إلى تطور ضخم على صعيد نظرية الأرقام والجبر والهندسة الجبرية.

ما المطلوب لأربح جائزة المليون دولار؟

للفوز بجائزة المليون دولار المقدمة من معهد كلاي، عليك تقديم برهان رياضي لهذه الحدسية يحظى بالقبول أو إيجاد مثال مضاد يدحض هذه الحدسية مع العلم أن ما تقدمه سيتعرض لتدقيق شديد من قبل جميع الرياضيين في العالم لمدة عامين على الأقل.

المصادر

1ـ Claymath

2ـ brilliant

3ـ Sciencealert