تقنية

مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة

حصد كل من المجري لازلو لوفاس والإسرائيلي آفي ويغدرسون على جائزة أبيل لعام 2021 في الرياضيات وكانت مساهمتهما متعلقة بنظرية الرسومات التي وضع فيها العالم ليونارد أويلر حجر الأساس وفي مقالنا هذا سنتعرف على مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة التي غيرت تاريخ الرياضيات.

يُعد «ليونارد أويلر-Leonhard Euler» عالم رياضيات وفيزيائي سويسري، وأحد مؤسسي الرياضيات البحتة، لم يقدم فقط مساهمات في موضوعات الهندسة وحساب التفاضل والتكامل والميكانيكا ونظرية الأعداد بل طور أيضًا طرقًا لحل المشكلات في علم الفلك الرصدي وقدم تطبيقات في التكنولوجيا وله الدور الرئيس في تبسيط مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة.

مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة، إنها لغز رياضي نشأ في مدينة كونيجسبيرج الروسية القديمة (كالينينجراد، روسيا حاليًا) وأدت تلك المشكلة إلى تطوير فروع الرياضيات المعروفة باسم الطوبولوجيا ونظرية الرسومات. لذا دعنا عزيزي القارئ قبل أن نتعرف على مشكلة جسور كونيجسبيرج السبعة أن نأخذ نبذة عن كل من الطوبولوجيا ونظرية الرسومات.

محتويات المقال :

ما هي الطوبولوجيا؟

تدرس الطوبولوجيا خصائص المساحات الثابتة التي تخضع لتشوه وسُميت بذلك لأن الأشياء يمكن أن تتمدد وتتقلص مثل المطاط. لكن لا يمكننا كسرها فمثلًا يمكن أن يتحول المربع إلى دائرة وبهذا نقول أن المربع مكافئ طوبولوجيًا للدائرة. تُعتبر فرعًا جديدًا نسبيًا من الرياضيات، إذ أن معظم الأبحاث في الطوبولوجيا منذ عام 1900.

فيما يلي بعض فروع الطوبولوجيا

الطوبولوجيا

العامة أو طوبولوجيا النقاط.
الاندماجية وهو أقدم فرع من فروع الطوبولوجيا.
الجبرية.

نظرية الرسومات

نظرية الرسومات هي فرع من فروع الرياضيات يهتم بشبكات النقاط المتصلة بخطوط وكان موضوع نظرية الرسومات بدأ في مسائل الرياضيات الترفيهية. لكنه سرعان ما تتطور وأصبح مجالًا مهمًا للبحث الرياضي وارتبط بتطبيقات في الكيمياء والعلوم الاجتماعية وعلوم الكمبيوتر.

يمكننا إرجاع تاريخ نظرية الرسومات تحديدًا لعام 1735، عندما قام عالم الرياضيات السويسري أويلر بتبسيط مشكلة جسور كونيجسبيرج.

ما حكاية مشكلة جسر كونيجسبيرج؟

في أوائل القرن الثامن عشر، كان مواطنو كونيجسبيرج يسيرون على الترتيب المعقد للجسور عبر مياه نهر بريجيل، إذ احتوى نهر بريجيل على جزيرتين. ربُطت الجزر والجزئين من البر الرئيسي بسبعة جسور.

مشكلة جسور كونيجسبيرج

لكن تبادر سؤال في أذهان المواطنين ألا وهو.. ألا يمكن أن يتجول المرء في المدينة بطريقة يعبر فيها كل جسر مرة واحدة فقط!

أويلر يغير مستقبل الرياضيات!

وصلت تلك المشكلة لعالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر في عام 1735. إذ بسطها إلى شبكة من النقاط تمثل الجزر، والجسور تمثل خطوطًا وأثبت أن ما يريده المواطنون مستحيل. لأن كل نقطة أو كتلة أرضية بها عدد فردي من الجسور متصل بها. أي أنه لابد أن يكون عدد الجسور زوجيًا إذا أردنا السير فوق كل جسر مرة واحدة فقط.

استغرق الأمر ما يقرب من 150 عامًا قبل أن يتخيل علماء الرياضيات مشكلة جسر كونيجسبيرج كرسم بياني. يتكون من عقد (رؤوس) تمثل كتل اليابسة والأقواس (الحواف) التي تمثل الجسور. تحدد درجة رأس الرسم البياني عدد الحواف الواقعة عليه، وفي نظرية الرسومات الحديثة، يجتاز مسار أويلر كل حافة من حواف الرسم البياني مرة واحدة فقط. بالتالي، فإن تأكيد أويلر على أن الرسم البياني الذي يمتلك مثل هذا المسار يحتوي على أكثر من رأسين من الدرجة الفردية كان أول نظرية في نظرية الرسومات.

تبسيط مشكلة جسور كونيجسبيرج

وصف أويلر عمله بأنه «هندسة المواقع-Geometria situs». أدى عمله في هذه المشكلة وبعض أعماله اللاحقة مباشرة إلى الأفكار الأساسية للطوبولوجيا التوافقية، والتي أشار إليها علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر باسم تحليل المواقع. تعد نظرية الرسومات والطوبولوجيا مجالات رئيسية للبحث الرياضي.

ترتبط تواريخ نظرية الرسومات والطوبولوجيا ارتباطًا وثيقًا، ويتشارك المجالان في العديد من المشكلات والتقنيات الشائعة.