ما هي تطبيقات الطوبولوجيا وأنواعها؟ وكيف بدأت؟

ما هي تطبيقات الطوبولوجيا وأنواعها؟ وكيف بدأت؟

يرجع ظهور الطوبولوجيا، كمجال في الرياضيات، إلى تحليل المواقع للفرنسي «هنري بوانكاريه-Henri Poincaré». وبالرغم من أن العديد من الأفكار الطوبولوجية، ظهرت خلال القرن ونصف القرن الماضي ،إلا أن «Geometria sites»، التي تعني هندسة المواقع، قد استخدمها عالم الرياضيات السويسري «ليونارد أويلر-Leonhard Euler»، في عام 1735 لوصف حله لمشكلة جسور كونيجسبرج. إذ إن عمل أويلر في هذه المشكلة، هو بداية نظرية الرسم البياني. التي تشترك في العديد من الأفكار مع الطوبولوجيا. لكن ما هي تطبيقات الطوبولوجيا وما أنواعها؟ هذا ما سنعرفه في المقال التالي.

ما هي الطوبولوجيا ببساطة؟

‏الطوبولوجيا هي فرع من فروع الرياضيات. تُسمى أيضًا باسم «هندسة الألواح المطاطية». يتم اعتبار أي شكلين متكافئين طوبولوجيًا، إذا كان بإمكاننا تشويههما أو تغيير شكلهما كالمطاط . يتم ذلك من خلال حركات مثل الانحناء، والالتواء، والتمدد، والانكماش. دون السماح بتمزيقهما أو لصق أجزاء منهما ببعضهما.

ماذا يهم الطوبولوجيا؟

الموضوعات الرئيسة التي تهم الطوبولوجيا، هي الخصائص التي تظل ثابتة دون تغيير، بسبب أي تشوه يحدث لها. وتختلف الطوبولوجيا عن الهندسة بالرغم من تشابهما.

في الهندسة، تكون الأشكال كالدوائر، والأشكل متعددة السطوح، أجساما صلبة. إذ إن الأشكال المكافئة هندسيًا، غالبًا ما تشترك في الكميات المقاسة عدديًا مثل الأطوال والزوايا، بينما الأشكال الطوبولوجية تشبه بعضها البعض أكثر بالمعنى النوعي. حيث تعتبر الأشكال أشياء مرنة كما لو كانت مصنوعة من المطاط.

الطبولوجي حر في تمديد وتحريف الشكل. الكرة والمكعب أشكال هندسية مميزة، ولكن بالنسبة إلى الطوبولوجي لا يمكن تمييزهما.
‏
‏ إذا كنت تسعى إلى إثباتٍ رياضيٍّ بأن القميص والسروال مختلفان. فيجب عليك اللجوء إلى الطوبولوجيا.
‏
‏التفسير عندئذ سيكون: لديهم أعداد مختلفة من الثقوب.

أنواع الطوبولوجيا

أولًا: الطوبولوجيا العامة أو طبولوجيا النقاط

الطوبولوجيا العامة، هي فرع الطوبولوجيا الذي يتعامل مع التعريفات، والتركيبات الأساسية، لنظرية المجموعات المستخدمة في الطوبولوجيا. وهي الأساس في معظم الفروع الأخرى للطوبولوجيا، بما في ذلك الطوبولوجيا التفاضلية، والطوبولوجيا الهندسية، والطوبولوجيا الجبرية.

ثانيًا: الطوبولوجيا الاندماجية

تأخذ الطوبولوجيا الاندماجية في الاعتبار، الخصائص العامة للمساحات التي اُنشأت من شبكة من الرؤوس والحواف والوجوه. تُعد الطوبولوجيا الاندماجية أقدم فرع من فروع الطوبولوجيا. يعود تاريخها إلى أويلر، حينما أثبت أن الفراغات المتكافئة طوبولوجيًا، لها نفس الثابت العددي، والذي نسميه الآن صيغة أويلر.

ثالثًا: الطوبولوجيا الجبرية

نشأت فكرة ربط الأشياء أو الهياكل الجبرية بالفراغات الطوبولوجية، في وقت مبكر من تاريخ الطوبولوجيا. كان الحافز الأساسي في هذا الصدد، هو إيجاد ثوابت طوبولوجية مرتبطة بهياكل مختلفة. أبسط مثال على ذلك هو صيغة أويلر.

تأخذ الطوبولوجيا الجبرية الخصائص العامة للمساحات أيضا، وتستخدم أشكالًا جبرية مثل الحلقات للإجابة عن الأسئلة الطوبولوجية. إذ تقوم بتحويل المشكلة الطوبولوجية إلى مشكلة جبرية لحلها بشكل أسهل، فمثلًا من خلال الاختلاف في مجموعات التماثل يمكننا التمييز بين شكلين.

يوجد أفرع للطوبولوجيا الجبرية مثل:

-الطوبولوجيا التفاضلية.

-‏نظرية العقدة.

-‏الطوبولوجيا الهندسية.

تطبيقات الطوبولوجيا

‏تُستخدم الطوبولوجيا في العديد من فروع الرياضيات، مثل المعادلات القابلة للتفاضل، والأنظمة الديناميكية، ونظرية العقدة، وسطوح ريمان في التحليل المعقد. كما أنها تستخدم في نظرية الأوتار في الفيزياء، ولوصف بنية الكون والمكان.

• تساعدنا طوبولوجيا الشبكات على فهم:

– العناصر المختلفة لشبكاتنا ومكان اتصالهم.
– ‏توضح لنا كيف يتفاعلون، وما يمكن أن نتوقعه من أدائهم.

• الطوبولوجيا، شرطٌ رئيسيُّ لنظام المعلومات الجغرافية، لإدارة البيانات وسلامتها. بشكل عام، يدير نموذج البيانات الطوبولوجية العلاقات المكانية، عن طريق تمثيل الأشكال المكانية (معالم النقطة والخط والمساحة)، كرسم بياني أساسي للأولويات الطوبولوجية، العقد والوجوه والحواف. تدخل الطوبولوجيا أيضًا في علم الأحياء التطوري ، وذلك لتمثيل العلاقة بين النمط الظاهري والنمط الجيني. يمكن فصل الأشكال المظهرية التي تبدو مختلفة تمامًا عن طريق عدد قليل من الطفرات. اعتمادًا على كيفية تعيين التغييرات الجينية، لتغيرات النمط الظاهري أثناء التطور.
• في الكيمياء، توفر الطوبولوجيا طريقة لوصف البنية الجزيئية والتنبؤ بها.
• في فيزياء الكم، تُسخر التكنولوجيا فيزياء الكم لإجراء العمليات الحسابية بشكل أسرع، إذ ‏اقترح الفيزيائي «أليكسي كيتاييف-Alexei Kitaev» الكمبيوتر الكمومي الطوبولوجي في عام 1997، والذي سيُساعد على حل مشكلات، لا تستطيع حلها أجهزة الكمبيوتر العملاقة. ففي الحوسبة الكمومية، البت الكمي أو الكيوبت هو الوحدة الأساسية للمعلومات الكمومية. وتأتي الأنظمة الطوبولوجية لتوفر أحد الحلول لمشكلة الدقة وجعل الكيبوتات مستقرة. إذ إن أحد الألغاز في الحوسبة الكمومية، هو عدم استقرار الكيوبت.

المصادر

• uwaterloo
• britannica